精品解析：山东济宁学院附属中学2024-2025学年第二学期期末考试初二数学试题

2024—2025学年第二学期期末考试初二数学试题 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 成语是汉语言文化的瑰宝，它承载着数千年的历史文化内涵．下列成语描述的事件是随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 瓮中捉鳖 D. 水到渠成 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是事件的分类，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件是指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．解题时根据必然事件、不可能事件、随机事件的特点，逐个选项判断即可． 【详解】解：A、水中捞月是不可能事件，不符合题意； B、守株待兔是随机事件，符合题意； C、瓮中捉鳖是必然事件，不符合题意； D、水到渠成是必然事件，不符合题意； 故选：B． 2. 若，则下列式子中错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．， ，故本选项不符合题意； B．， ，故本选项不符合题意； C．， ， 即，故本选项不符合题意； D．， ， 即，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 3. 把化为用含的代数式表示的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程，移项、系数化为即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 系数化为，得， 故选：． 4. 解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴表示不等式的解集，解题关键是不等式解集在数轴上表示时实心点与空心点． 根据四个图表示的不等式的解集，逐一分析作出判断即可． 【详解】解： 表示提，故A不符合； 表示提，故B不符合； 表示提，故C不符合； 表示提，故D符合， 故选：D． 5. 如图，两直线，被直线所截，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质三角形外角的性质．解题的关键是熟练掌握平行线的性质，正确运用数形结合思想．由，根据两直线平行，同位角相等，可得，由三角形外角的性质可得，求出，即可求得的度数． 【详解】解：如图， ， ∴， ∵，， ， ． 故选：A． 6. 如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． 利用，加上公共边，然后利用全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可； 【详解】解：， 当添加时，可根据“”证明，故A选项符合题意； 当添加时， ∵，，∴， ∴，， ∴，即， 进而可用“” 证明，故B选项不符合题意； 当添加时，不能证明，故C选项符合题意； 当添加时，可根据“” 证明，故D选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若的长为9cm，的长为6cm，则的长为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据，得到答案． 【详解】解：∵是边上的垂直平分线，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 8. 七年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树8棵，则还剩7棵；若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵．设同学人数为x人，则下列各选项能准确表示同学人数与植树棵数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抓住总棵数不变的特点，根据最后1位同学的植树棵数范围列不等式组. 【详解】解：总植树棵数为棵. 每人植9棵时，位同学植9棵，剩余1位同学的植树棵数为. ∵该同学植树棵数不到8棵， ∴. ∵位同学均参与植树，该同学棵数大于0， ∴. 则不等式组为：. 9. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出且，再代入关于的不等式，解不等式即可得． 【详解】解：由得：， 关于的不等式的解集为， ，且， ， 代入关于的不等式得：， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键． 10. 如图，已知中，，，点D是的中点，点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由A点向C点运动，当与全等时，点Q的速度为（ ） A. 厘米/秒 B. 3厘米/秒 C. 厘米/秒或厘米/秒 D. 3厘米/秒或4厘米/秒 【答案】C 【解析】 【分析】表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①是对应边，②是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，，点D为的中点， ∴， 设点P、Q的运动时间为t，则，， ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：（厘米/秒）； ②当时， ∵， ∴， ∴（秒）， 故点Q的运动速度为（厘米/秒）， 综上，点Q的运动速度为厘米/秒或厘米/秒 第Ⅱ卷（非选择题 共70分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率求法进而得出答案． 【详解】∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6， ∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率公式是解题关键． 12. 已知二元一次方程组，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】观察所求式子和方程组的关系，可直接将两个方程相加得到结果，无需单独求解和． 【详解】解： 将①和②相加，得 化简得． 因此所求值为1． 13. 在如图所示的图形中，四边形、、、、都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理得到，，进一步运算即可． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵正方形，，的面积依次为，，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线交点的性质，三角形内角和定理等；由三角形角平分线交点的性质得点是的角平分线的交点，从而可得，，由三角形内角和定理得，即可求解；掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：点在内部，且到三边的距离相等， 点是的角平分线的交点， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 15. 若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先对不等式进行求解，再根据不等式组的整数解有个即可解决问题，能根据不等式组整数解的个数建立关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题知，解不等式得，； 解不等式得，； ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共55分） 16. 解方程组、解不等式组 （1）解方程组：． （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2） 不等式组的解集为，数轴表示 【解析】 【分析】（1）本题使用加减消元法解二元一次方程组，先消去未知数y求出x的值，再代入方程求出y即可； （2）本题先分别求解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，再将解集表示在数轴上． 【小问1详解】 解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得，， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得； 解不等式②得； ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示不等式组的解集略． 17. 如图，已知点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先证明，再由平行线的性质可得，据此根据即可证明． 【详解】略 18. 如图，已知直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与直线相交于点． （1）求m的值及直线的函数表达式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：利用数形结合的思想，通过比较两函数图象的高低确定不等式的解集．也考查了待定系数法求一次函数解析式． （1）把代入直线中可得到的值，然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）结合函数图象，找出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：把代入直线得， 解得； 把，代入直线得， 解得，， 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， 关于的不等式的解集为． 19. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）13 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角，结合等角的余角相等，对顶角相等，得到即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，证明为等边三角形，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，为等边三角形， ∴， ∴． 20. 如图，在中，平分，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1） 如图所示． （2） 证明：由（1）知，，， ，． ， ． 平分， ． 又， ， ，， ． 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线交于点,点即为所求； （2）证明可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 中医药是中华民族的宝贵财富．为更好地弘扬中医药传统文化，传播中医药知识，增进青少年对中华优秀传统文化的了解与认知．明德麓谷学校开展“中草药种植进校园 传承中医药文化”活动，特开设中草药种植课程，计划购买甲、乙两种中草药种子，经过调查得知：每斤甲种种子的价格比每斤乙种种子的价格贵40元，买5斤甲种种子和10斤乙种种子共用1100元． （1）求每斤甲、乙种子的价格分别是多少元？ （2）若学校需购进乙种中草药种子m斤（其中m为整数），且甲、乙两种中草药种子共120斤，总费用低于8500元，并且要求购进乙种的数量必须不超过甲种数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】（1）每斤甲种种子的价格是100元，每斤乙种种子的价格是60元； （2）共有3种购买方案，最低费用是8400元． 【解析】 【分析】（1）设每斤甲种种子的价格是x元，则每种乙种种子的价格是元，根据题意列方程求解，即可得到答案； （2）设需购进乙种种子m斤，则需购进甲种种子斤，根据题意列不等式组，求得，进而确定取值，分别计算费用比较大小，即可得到最低费用． 【小问1详解】 解：设每斤甲种种子的价格是x元，则每种乙种种子的价格是元， 由题意得：， 解得：， ， 答：每斤甲种种子的价格是100元，每斤乙种种子的价格是60元； 【小问2详解】 解：设需购进乙种种子m斤，则需购进甲种种子斤， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 可以取88、89、90， 共有3种购买方案： 当时，费用为元； 当时，费用为元； 当时，费用为元； 最低费用是 8400元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，根据题意正确列方程和不等式组是解题关键． 22. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． （1）在方程①，②，③中，不等式组的“相依方程”是________．（填序号） （2）若不等式组的一个“相依方程”的解是整数，且这个“相依方程”是，则常数________． （3）若方程，都是关于的不等式组的“相依方程”，直接写出的取值范围________． 【答案】（1）② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列出关于的不等式组，再根据“不等式组的一个“相依方程”的解是整数”可得答案； （3）分别解方程与不等式组，再根据新定义列出关于的不等式组，解不等式组可得答案． 【小问1详解】 解：①解方程，得：， ②解方程，得：， ③解方程，得：， 解不等式组，得：， 其中：和不在的范围内，在的范围内， ∴方程②是不等式组的“相依方程”； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为：， 解方程，得：， ∵方程是不等式组的“相依方程”， ∴， 又∵不等式组的一个“相依方程”的解是整数，且这个“相依方程”是， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：解方程，得：， 解方程，得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为：， ∵方程，都是关于的不等式组的“相依方程”， ∴， ∴解不等式组①得：， 解不等式组②得：， ∴的取值范围为：． 23. （1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______； （2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：； （3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系． 【答案】（1），； （2）如图2中，延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴； （3）， 【解析】 【分析】（1）延长至，使，连接，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可； （2）延长至点，使，连接，利用“”证明，易得，可知为的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得，然后由三角形的三边关系可证明结论； （3）延长于，使得，连接，延长交于，首先证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，可得，，进而可证明． 【详解】解：（1）如图1，延长至，使，连接， ∵为边上的中线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据三角形三边关系可得：， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）略． （3）结论：，， 如图3，延长于，使得，连接，延长交于，   ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形内角和定理、三角形中线、垂直平分线的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期末考试初二数学试题 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 成语是汉语言文化的瑰宝，它承载着数千年的历史文化内涵．下列成语描述的事件是随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 瓮中捉鳖 D. 水到渠成 2. 若，则下列式子中错误的是（　　） A. B. C. D. 3. 把化为用含的代数式表示的形式为（ ） A. B. C. D. 4. 解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，两直线，被直线所截，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若的长为9cm，的长为6cm，则的长为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 8. 七年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树8棵，则还剩7棵；若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵．设同学人数为x人，则下列各选项能准确表示同学人数与植树棵数关系的是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知中，，，点D是的中点，点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由A点向C点运动，当与全等时，点Q的速度为（ ） A. 厘米/秒 B. 3厘米/秒 C. 厘米/秒或厘米/秒 D. 3厘米/秒或4厘米/秒 第Ⅱ卷（非选择题 共70分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是___________． 12. 已知二元一次方程组，则的值为______． 13. 在如图所示的图形中，四边形、、、、都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积是______． 14. 如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则______ 15. 若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是_____． 三、解答题（共55分） 16. 解方程组、解不等式组 （1）解方程组：． （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 17. 如图，已知点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 18. 如图，已知直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与直线相交于点． （1）求m的值及直线的函数表达式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解． 19. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 20. 如图，在中，平分，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 21. 中医药是中华民族的宝贵财富．为更好地弘扬中医药传统文化，传播中医药知识，增进青少年对中华优秀传统文化的了解与认知．明德麓谷学校开展“中草药种植进校园 传承中医药文化”活动，特开设中草药种植课程，计划购买甲、乙两种中草药种子，经过调查得知：每斤甲种种子的价格比每斤乙种种子的价格贵40元，买5斤甲种种子和10斤乙种种子共用1100元． （1）求每斤甲、乙种子的价格分别是多少元？ （2）若学校需购进乙种中草药种子m斤（其中m为整数），且甲、乙两种中草药种子共120斤，总费用低于8500元，并且要求购进乙种的数量必须不超过甲种数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 22. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． （1）在方程①，②，③中，不等式组的“相依方程”是________．（填序号） （2）若不等式组的一个“相依方程”的解是整数，且这个“相依方程”是，则常数________． （3）若方程，都是关于的不等式组的“相依方程”，直接写出的取值范围________． 23. （1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______； （2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：； （3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $