精品解析：山东省济宁市泗水县2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

《课程标准》阶段性质量检测 八年级数学试题 （时间：120分钟） 同学们，你们好！一转眼一个学期飞快地过去了．在这一个学期里，我们学到了许多新的数学知识，也提高了我们的数学思维能力，现在让我们在这里展示一下自己的真实水平吧！祝大家成功！ 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，请把正确选项前的字母填在答题纸上）注意可以用各种不同的方法来解决你面前的选择题哦！ 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 2，3，4 C. 4，5，7 D. 5，11，12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据勾股定理的逆定理分别判断即可． 【详解】解：A．，能组成直角三角形，故此选项符合题意； B．，不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； C．，不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； D．，不能组成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列二次根式中是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可判断. 【详解】A. 被开方数含分母，不是最简二次根式，故A选项错误； B. 被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故B选项错误； C. 是最简二次根式，故C选项正确； D. 被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项错误； 故选：C 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 3. 甲、乙、丙、丁四名学生近4次数学测验成绩的平均数都是90分，方差分别是，，，，则这四名学生的数学成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 故这四名学生的数学成绩最稳定的是甲， 故选：A． 4. 4月23日是世界读书日．习总书记说“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长，”读书正当时，莫负好时光，某校积极开展全员阅读活动，小明为了解本组同学4月份的课外阅读量，对本组同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），下列说法中，错误的是（ ） A. 小明这组共有14名同学 B. 本组同学4月份的课外阅读量的中位数是3本 C. 本组同学4月份的课外阅读量的众数是3本 D. 本组同学4月份的课外阅读量的平均数是本 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数，根据统计图的数据即可判断A；把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可判断B；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，据此可判断C；根据平均数的定义计算出平均数即可判断D． 【详解】解：A、随机选取了（名）同学，原说法错误，符合题意； B、将数据从小到大排列，位于第8个位置的阅读量为3本，则中位数为3本，原说法正确，不符合题意； C、课外阅读量为3的出现次数最多，则众数为3本，原说法正确，不符合题意； D、该组数据的平均数为（本），原说法正确，不要符合题意． 故选：A． 5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 6. 实数在数轴上的位置如图所示：那么的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质化简，进而得出答案，正确化简各式是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， 则原式， ， ， 故选：． 7. 在同一坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分情况讨论的取值范围，根据正比例函数图象的性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征进行判断，即可得出答案． 【详解】解：当时，的图象过原点并经过第一、第三象限，的图象过第一、第三象限且与轴交点的纵坐标小于0，无选项符合题意； 当时，的图象过原点并经过第二、第四象限，的图象过第一、第三象限且与轴交点的纵坐标大于0，选项B符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象和性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征，熟练掌握正比例函数及一次函数的图象和性质是解题关键． 8. 如图，直线（，是常数，且）与直线相交于点，且点的纵坐标为1，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，把代入得点的坐标为，再将方程组变形为，得出方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，即可得解． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴点的坐标为， ∴关于的二元一次方程组即的解是， 故选：C． 9. 在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，小明从A地跑步到达B地，休息后按原速跑步到达C地．小明距B地的距离与时间之间的函数图象如图所示．下列说法中①从A地到C地的距离为；②小明从B地到C地的速度是；③小明出发后到达C地；④小明距B地时所用的时间是．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从函数图像中获取信息．纵坐标代表距B 地的距离，横坐标代表时间，小明一开始在A地，即A地距B 地的距离为，用时；到期间距离B 地，即此时小明在B 地；按原速跑步到达C地后，距离B 地，据可判断①；根据速度等于路程除以时间即可判断②③④． 【详解】解：①A地到达C地的距离为：，原说法正确， ②小明原速度为：，原说法正确； ③小明到达C 地实际用时为：，原说法正确； ④小明距 B 地时所用的时间为：，原说法错误， ∴说法正确的有①②③，共3个， 故选：C． 10. 如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点 和点 都落在边 上的点处，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边 上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 11. 如图①，在矩形中，动点从点 出发，沿、、运动至点 停止，设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，则的最大面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出三角形的面积是本题的关键． 根据函数的图象、结合图形求出 、的值，根据三角形的面积公式得出的面积的最大值． 【详解】解：∵动点从点 出发，沿、、运动至点 停止，而当点运动到点， 之间时，的面积不变， 函数图象上横轴表示点运动的路程，时，开始不变，说明，时，接着变化，说明， ∴，， 则的最大面积是：． 故选：． 12. 如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第12个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第10个图中正方形和等边三角形的个数之和为（ ）个． A. 102 B. 91 C. 93 D. 103 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察前三个图形可得第n个图中正方形和等边三角形的个数之和，据此规律求解即可. 【详解】解：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和； ∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和； ∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的和， …， ∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和， ∴第10个图中正方形和等边三角形的个数之和． 故选：C． 二、开动脑筋，耐心填一填！ 13. 若最简二次根式与可以合并，则a的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意得出二次根式与是同类二次根式，根据被开方数相等得出，求解即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 函数中自变量的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范围． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 15. 七巧板是我国民间流传的一种益智玩具，它由等腰直角三角形、正方形和平行四边形组成．如图，这是一个由边长为的正方形纸板制作的七巧板，则平行四边形（图中⑥）的面积是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质．根据平行四边形和三角形的面积公式即可得图中⑥的面积． 【详解】解：如图，， ∵， ∴平行四边形（图中⑥）的面积是， 故答案为：8． 16. 正比例函数的图像经过，且，则k的范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，根据题意可知y随x增大而减小，则，可得．对于正比例函数，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过，且， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在 中，，按以下步骤作图：①以点 为圆心，的长为半径作弧，交 边于点；②分别以点D，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线，交边 于点．若，则线段的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，勾股定理，等腰三角形的性质，利用基本作图得到，于，则根据等腰三角形的性质得到，结合已知条件可得，接着利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：连接，如图， 由尺规作图可得平分，， ，， ∵，， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：4． 18. 如图，直线与轴、轴分别相交于点和，当点在直线EF运动时，OP的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，过点作于点，连接，根据垂线段最短，则的最小值等于的长,由，，可求出，，然后结合勾股定理和等积法即可求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵点在直线运动， ∴（当点和点重合时，）， ∴的最小值等于的长， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 三、解答题（解答題要求写出必要的计算步踿或证明过程） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算． （1）原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果； （2）先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，化为最简二次根式，合并即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF． 【答案】 证明：∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AB=CD， ∴∠DCB=∠FBE， 在△CED和△BEF中，， ∴△CED△BEF（ASA）， ∴CD=BF， ∴AB=BF． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质知AB=CD，再有中点定义得CE=BE，从而可以由ASA定理证明△CED△BEF，则CD=BF，故AB=BF． 【详解】略 【点睛】本题考查了以下内容：1．平行四边形的性质 2．三角形全等的判定定理． 21. 为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年段参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，下面给出了部分信息： 七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99； 八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89． 七、八年级学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 b 62.1 八年级 85.2 a 91 85.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共840名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生共有多少人？ 【答案】（1），86，40 （2）八年级， 理由：因为八年级学生成绩的中位数比七年级的高，所以八年级成绩较好； （3）估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生大约共有294人． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键． （1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出、，用“1”分别减去其它组所占百分比可得的值； （2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论； （3）用总人数乘七、八年级不低于90分人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，八年级 组有：（人）， 组有：（人）， 把被抽取八年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87，88，故中位数； 在被抽取的七年级20名学生的数学竞赛成绩中，86分出现的次数最多，故众数； ，故． 故答案为：，86，40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生大约共有294人． 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为； （2）如图2，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）45° 【解析】 【分析】（1）以直角边构造斜边为，再以2和3为直角边构造斜边为，再以2为边，即可求解； （2）连接，根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：（1）以直角边构造斜边为，再以2和3为直角边构造斜边为，再以2为边，作图如下： （2）连接，如下图： 由勾股定理可得：、、 ∵ ∴ ∴ 为直角三角形， 又∵ ∴ 为直角直角三角形 ∴ 【点睛】此题考查了勾股定理以及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 23. 2024年是中国农历甲辰龙年，某购物中心有A，B两种龙年吉祥物出售．B种每个售价比A种多2元；购买20个A种龙年吉祥物和30个B种龙年吉祥物共需花费360元． （1）A，B两种吉祥物每件售价各是多少？ （2）购买A，B两种龙年吉祥物共60个，且购买A种的数量不多于B种的3倍，购买多少个A种龙年吉祥物花费最少？最少花费是多少？ 【答案】（1）A种吉祥物每件售价6元，B种吉祥物每件售价8元 （2）购买45个 种龙年吉祥物花费最少，最少花费是390元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的应用、一元一次不等式的应用， （1）设 种吉祥物每件售价元，则 种吉祥物每件售价元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购买 种吉祥物个，则购买 种吉祥物个，根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，设购买 ， 两种龙年吉祥物共花费元，写出关于的函数，根据它的增减性和的取值范围，确定当取何值时的值最大，求出其最大值即可． 【小问1详解】 解：设 种吉祥物每件售价元，则 种吉祥物每件售价元． 根据题意，得， 解得， （元， ∴A种吉祥物每件售价6元，B种吉祥物每件售价8元． 【小问2详解】 解：设购买 种吉祥物个，则购买 种吉祥物个． 根据题意，得， 解得． 设购买 ， 两种龙年吉祥物共花费元，则， ， 随的增大而减小， ， 当时，取最小值，， 购买45个 种龙年吉祥物花费最少，最少花费是390元． 24. 如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，一次函数的图象经过点 ，并与轴交于点 ，点是直线 上的一个动点． （1）求直线 的表达式和点 的坐标； （2）若点在轴上方，且的面积为18，求点坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线，交直线 于点Q．M是x轴上一点，在直线 上是否存在点N，使四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积，勾股定理，待定系数法，平行四边形的性质． （1）根据坐标轴上点的坐标特征求 点和 点坐标，再将 点坐标代入一次函数即可求解； （2）过点作轴于，设点，则，根据可得的值，即可求解． （3）推导出，，，设点，根据四边形是平行四边形可以得到到与到的平移方式一致，据此求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 解得， ∴ 点坐标为； 当时，，则 点坐标为； 将 代入一次函数得：， 直线 的表达式为， 当时，，解得，则 点坐标为； 【小问2详解】 解：过点作轴于，如图1， 设点， ∵点在轴上方， ， 点坐标为， 点坐标， ， ， ， ， 解得； 存在，点的坐标为； 【小问3详解】 解：当时，， ∵过点P作x轴的垂线，交直线 于点Q，， ， ∴向下移动3个单位长度到， 设点， 如图： ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴到与到平移方式一致， 即向下移动3个单位长度到， ∵M是x轴上一点， ∴，解得， 点的坐标为． 25. 问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图，边长为的正方形的对角线相交于点，分别延长到点，到点，使，再以为邻边做正方形，连接； （1）解决问题：与之间的数量关系是______，位置关系是______； （2）深入研究：如图正方形固定不动，将正方形绕点顺时针方向旋转，判断与的关系，并证明： （3）拓展延伸：如图，在正方形旋转过程中，分别交于点，连接．当时，求的值． 【答案】（1），； （2） ，． 证明：连接，设与相交于点， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）延长交于，根据证，得，，推出 ，即可得出； （）连接，设与相交于点，根据证，得，再根据角的代换得出即可； （）连接，根据证，得出，当时，得出，，的值即可得出面积和； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，延长交于， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，， 又∵ ∴， ∴，， 即， 又∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《课程标准》阶段性质量检测 八年级数学试题 （时间：120分钟） 同学们，你们好！一转眼一个学期飞快地过去了．在这一个学期里，我们学到了许多新的数学知识，也提高了我们的数学思维能力，现在让我们在这里展示一下自己的真实水平吧！祝大家成功！ 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，请把正确选项前的字母填在答题纸上）注意可以用各种不同的方法来解决你面前的选择题哦！ 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 2，3，4 C. 4，5，7 D. 5，11，12 2. 下列二次根式中是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁四名学生近4次数学测验成绩的平均数都是90分，方差分别是，，，，则这四名学生的数学成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 4月23日是世界读书日．习总书记说“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长，”读书正当时，莫负好时光，某校积极开展全员阅读活动，小明为了解本组同学4月份的课外阅读量，对本组同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），下列说法中，错误的是（ ） A. 小明这组共有14名同学 B. 本组同学4月份的课外阅读量的中位数是3本 C. 本组同学4月份的课外阅读量的众数是3本 D. 本组同学4月份的课外阅读量的平均数是本 5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 6. 实数在数轴上的位置如图所示：那么的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线（，是常数，且）与直线相交于点，且点的纵坐标为1，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 9. 在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，小明从A地跑步到达B地，休息后按原速跑步到达C地．小明距B地的距离与时间之间的函数图象如图所示．下列说法中①从A地到C地的距离为；②小明从B地到C地的速度是；③小明出发后到达C地；④小明距B地时所用的时间是．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（ ） A. B. C. D. 11. 如图①，在矩形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，则的最大面积是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第12个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第10个图中正方形和等边三角形的个数之和为（ ）个． A. 102 B. 91 C. 93 D. 103 二、开动脑筋，耐心填一填！ 13. 若最简二次根式与可以合并，则a的值为 _______． 14. 函数中自变量的取值范围________． 15. 七巧板是我国民间流传的一种益智玩具，它由等腰直角三角形、正方形和平行四边形组成．如图，这是一个由边长为的正方形纸板制作的七巧板，则平行四边形（图中⑥）的面积是______． 16. 正比例函数的图像经过，且，则k的范围是________． 17. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点；②分别以点D，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线，交边于点．若，则线段的长为______． 18. 如图，直线与轴、轴分别相交于点和，当点在直线EF运动时，OP的最小值是______． 三、解答题（解答題要求写出必要的计算步踿或证明过程） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF． 21. 为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年段参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，下面给出了部分信息： 七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99； 八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89． 七、八年级学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 b 62.1 八年级 85.2 a 91 85.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共840名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀(90分及以上）的学生共有多少人？ 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为； （2）如图2，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数． 23. 2024年是中国农历甲辰龙年，某购物中心有A，B两种龙年吉祥物出售．B种每个售价比A种多2元；购买20个A种龙年吉祥物和30个B种龙年吉祥物共需花费360元． （1）A，B两种吉祥物每件售价各是多少？ （2）购买A，B两种龙年吉祥物共60个，且购买A种的数量不多于B种的3倍，购买多少个A种龙年吉祥物花费最少？最少花费是多少？ 24. 如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． （1）求直线的表达式和点的坐标； （2）若点在轴上方，且的面积为18，求点坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q．M是x轴上一点，在直线上是否存在点N，使四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 25. 问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图，边长为的正方形的对角线相交于点，分别延长到点，到点，使，再以为邻边做正方形，连接； （1）解决问题：与之间的数量关系是______，位置关系是______； （2）深入研究：如图正方形固定不动，将正方形绕点顺时针方向旋转，判断与的关系，并证明： （3）拓展延伸：如图，在正方形旋转过程中，分别交于点，连接．当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $