精品解析：山东青岛市崂山区实验学校2026-2027学年上学期八年级数学阶段检测试卷

青岛市崂山区实验学校八年级数学阶段性检测试卷 （考试时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 在下列四个数中，其中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据是勾股数的一组是（ ） A. B. 7、24、25 C. 0.3、0.4、0.5 D. 2、3、5 3. 下列属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 6. 如图，，两点相距，机器狗由点出发，沿北偏东方向行走到达点，然后从点行走到达点，此时机器狗位于点的（ ） A. 北偏东方向上 B. 北偏西方向上 C. 北偏西方向上 D. 北偏西方向上 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 8. 根据下列条件，分别判断以a，b，c为三边的，不是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 9. 对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数，例如：，，现对进行如下操作：，即对需进行次操作后变为．类似地：对只需进行次操作后变为，则的值为(　　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（ ） A. 7.5米 B. 8米 C. 9米 D. 10米 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 一个数的立方等于，那么这个数是_____． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝24，分别以点A、B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点D，连接CD，则CD的长是________ 13. 已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为____． 14. 如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 15. 如图，某同学在公园荡秋千．已知秋千静止时绳索，踏板离地的垂直高度．当他往前荡至点C处时．测得水平距离．假设人在荡秋千的过程中秋千绳索始终拉直不变形．则点C处踏板离地的垂直高度的长为______． 16. 勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，点M，G，E，D，Q，P均在长方形的边上．若，，则长方形内空白部分的面积之和是______． 三、作图题（本大题共2小题，满分10分） 17. 请在数轴上找到表示的点．（作图过程中需标出必要线段的长） 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图． （1）在图①中，画出线段，使； （2）在图②中，画一个钝角等腰三角形，且点、均在格点上； （3）在图③中，画一个面积是的正方形，且点在正方形的内部． 四、解答题（本大题共7小题，满分62分） 19. 计算 （1） （2） 20. 已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 （1）求、、的值； （2）求的算术平方根． 21. 如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． （1）如图1请你用它验证勾股定理． （2）如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 22. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） （1）求的长． （2）如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 23. 综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； （2）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 24. 小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； （1）根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． （2）现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 25. 阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求的最大值，做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值2．所以y的最大值是2． （1）利用分母有理化化简的结果是______； （2）由材料可知，______； （3）比较和的大小； （4）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛市崂山区实验学校八年级数学阶段性检测试卷 （考试时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 在下列四个数中，其中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简含根号的数，再判断各数是否为无理数． 【详解】解：∵是分数，是有限小数，是整数， ∴，，均为有理数， ∵开方开不尽， ∴是无理数． 2. 下列各组数据是勾股数的一组是（ ） A. B. 7、24、25 C. 0.3、0.4、0.5 D. 2、3、5 【答案】B 【解析】 【分析】勾股数的定义：勾股数是能构成直角三角形三边的一组正整数；需同时满足三个数均为正整数、两个较小数的平方和等于最大数的平方两个条件，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A中的、、都不是正整数，选项C中的0.3、0.4、0.5都不是正整数， ∴A、C都不是勾股数，不符合题意； 选项B：，且7、24、25都是正整数， ∴ 7、24、25是勾股数，符合题意； 选项D：，，， ∴ D不是勾股数，不符合题意． 3. 下列属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义处理：被开方数的因数是整数，因式是整式；不含开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．是最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．的根指数为3，不是二次根式，不符合题意． 4. 如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据矩形的性质可得，由勾股定理解得；由折叠的性质可得，进而可得，；设，则，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即，解得， ∴． 5. 估计的值应在（ ） A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 【答案】B 【解析】 【分析】先化简原式，再估算的范围． 【详解】解：． ∵， ∴， ∴， ∴． 6. 如图，，两点相距，机器狗由点出发，沿北偏东方向行走到达点，然后从点行走到达点，此时机器狗位于点的（ ） A. 北偏东方向上 B. 北偏西方向上 C. 北偏西方向上 D. 北偏西方向上 【答案】B 【解析】 【分析】先通过勾股定理逆定理判定为直角三角形，得到，再利用南北方向线互相平行的性质求出的度数，作差算出与的夹角，从而确定相对于的方位． 【详解】解：， ， ， ，如下图： ， ， ， 此时机器狗位于点的北偏西方向上． 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 8. 根据下列条件，分别判断以a，b，c为三边的，不是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，， 设，，，即， 解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即是直角三角形，故本选项不符合题意； D、， 设，，， ∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的定义和勾股定理的逆定理． 9. 对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数，例如：，，现对进行如下操作：，即对需进行次操作后变为．类似地：对只需进行次操作后变为，则的值为(　　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，新定义，根据新定义以及无理数的估算即可求解． 【详解】解：由题意得， 即对99只需进行3次操作后变为2， 故选：B． 10. 中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（ ） A. 7.5米 B. 8米 C. 9米 D. 10米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为6米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为（米）， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 一个数的立方等于，那么这个数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握立方根的概念． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：因为， 所以这个数是． 故答案为：． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝24，分别以点A、B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点D，连接CD，则CD的长是________ 【答案】13 【解析】 【分析】利用基本作图可判断EF垂直平分AB，则AD=BD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD=AB，再由勾股定理解出AB的长即可解答． 【详解】解：由题意可知，EF垂直平分AB，则AD=BD， CD=AB， BC＝10，AC＝24， ， CD=AB=13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查基本作图—垂直平分线，勾股定理、直角三角形斜边中线性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 13. 已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同，列出等式求出的值，再代入所求根式计算即可． 【详解】解：因为最简二次根式 与 可以合并， 所以。 解得， 故答案为：． 14. 如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【解析】 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 15. 如图，某同学在公园荡秋千．已知秋千静止时绳索，踏板离地的垂直高度．当他往前荡至点C处时．测得水平距离．假设人在荡秋千的过程中秋千绳索始终拉直不变形．则点C处踏板离地的垂直高度的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：，，由勾股定理得出，再根据计算即可． 【详解】解：由题意可知：，， 在中，， ∴． 16. 勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，点M，G，E，D，Q，P均在长方形的边上．若，，则长方形内空白部分的面积之和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．根据勾股定理求出，延长交于点O，求出，，求出，，利用即可求出答案． 【详解】解：在中，，根据勾股定理得， ∴． 如图，延长交于点O， ∵四边形均为正方形，四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴ ． ∴空白部分的面积为． 故答案为：． 三、作图题（本大题共2小题，满分10分） 17. 请在数轴上找到表示的点．（作图过程中需标出必要线段的长） 【答案】 如图，C即为表示的点． 【解析】 【分析】本题考查数轴上无理数的表示，解题的关键是利用勾股定理构造出长度为的线段，再结合数轴的平移来确定表示的点． 先构造直角三角形，使其斜边长度为，以数轴上的点为圆心，以该对角线长度为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为点，从而找到表示的点． 【详解】略 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图． （1）在图①中，画出线段，使； （2）在图②中，画一个钝角等腰三角形，且点、均在格点上； （3）在图③中，画一个面积是的正方形，且点在正方形的内部． 【答案】（1） 如图： （2） 如图： （3） 如图： 【解析】 【分析】（1）结合勾股定理得出，构建一个直角边分别为、的直角三角形，使为斜边，据此即可画图； （2）令等腰三角形的钝角为，则点在边的垂直平分线上，据此即可画图； （3）面积是的正方形的边长为，根据，可以确定正方形的边长是以、为直角边的直角三角形的斜边， 据此画图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 四、解答题（本大题共7小题，满分62分） 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据幂的乘方、绝对值、算术平方根、立方根的意义逐一计算，再合并即得结果； （2）根据二次根式的乘法计算一、三两项，再合并即得结果. 【详解】解：（1） = = =. （2） = =. 【点睛】本题考查实数的混合运算，解决此类题目的关键是熟练掌握算术平方根、立方根、绝对值、二次根式等常见知识点的定义和运算法则. 20. 已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 （1）求、、的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），， （2）４ 【解析】 【分析】（1）先根据平方根和立方根的定义求出a、b,然后估算出的范围即可求出c； （2）根据（1）所求，结合算术平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， 解得：，； ∵，是的整数部分， ∴； 【小问2详解】 解：当，，时，． 21. 如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． （1）如图1请你用它验证勾股定理． （2）如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 【答案】（1） ， 另一方面， 即 ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键. （1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）根据均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可得， 均为直角三角形， 由勾股定理可得， ①，②，③，④ 可得； 可得； 即：， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 22. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） （1）求的长． （2）如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． 【小问1详解】 解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． 【小问2详解】 如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 23. 综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； （2）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 【答案】（1）①如图，点P即为所求作的点； ②千米 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，尺规作线段垂直平分线，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求； ②设千米，则千米，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：①略 ②设千米，则千米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； 【小问2详解】 解：如图，，先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设，则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 24. 小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； （1）根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． （2）现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】（1）25； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【小问1详解】 解：由题意得，若，那么； 若，那么； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 25. 阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求的最大值，做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值2．所以y的最大值是2． （1）利用分母有理化化简的结果是______； （2）由材料可知，______； （3）比较和的大小； （4）求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）对每个分式分母有理化，利用裂项相消法求和； （2）根据题意进行分子有理化即可得解； （3）先根据材料分别给和分子有理化，然后再进行比较即可； （4）先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，然后对无理数部分分子有理化，求最大值即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：依题意得：； 【小问3详解】 解：， ， 而， ， ； 【小问4详解】 解：，， ， ， 当时，分母有最小值， 有最大值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $