专题05 相似、锐角三角函数（期中真题汇编，湖北专用）九年级数学上学期

专题05 相似、锐角三角函数 6大高频考点概览 考点01 平行线分线段成比例 考点02 三角形相似的判定 考点03 相似三角形的性质 考点04 相似三角形的应用 考点05 正弦、余弦与正切 考点06 解直角三角形 考点01 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·湖北武汉水果湖第二中学·期中）如图是由边长为个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． （1）在图中，将线段向上平移个单位长度，点对应点，点对应点，画出平移后的线段，再将线段绕点顺时针旋转，画出对应线段； （2）在图中，点是格线上一点，先作点关于点对称的点，再过点作直线分别交于点，使得． 【答案】（1） 如图所示，线段和即为所求；      （2） 如图所示，点即为所求． 【分析】 （）根据平移和旋转的性质作图即可； （）如图，连接并延长交格线于点，由平行线等分线段定理可得，同理作点关于点的对称点，连接交于点，连接并延长交于点，连接，易得四边形是平行四边形，即得，进而可证，得到，故点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了平移和旋转作图，平行线等分线段定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 考点02 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图，、分别是边、上的点，，若，，，则的长是（     ） A.  B. 3 C. 4 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定及性质；由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 故选：B． 2．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图，直线交于、两点，是的直径，平分交于点，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求弧的长． 【答案】（1） 证明：连接，． ， ， ∵平分， ∴， ， ， ， ， 即， 在上，为的半径， 是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，根据平行线的判定与性质可得，且在上，故是的切线． （2）连接，，证明，利用相似三角形的性质列式计算求得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算求得，证明是等边三角形，利用弧长公式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得（已舍）， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弧的长． 【点睛】 本题考查圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、弧长公式等知识，在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键． 3．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）江老师在教学《图形的旋转》时，发现特殊位置的图形，通过旋转后，在一般情况下的图形中，很多性质有一致性，并且在解决问题的方法上，也有一致性．下面是江老师设计的一个教学片段，请结合问题进行探究思考． 【问题呈现】 在正方形的边上分别有点和，，，，连接，结合图形旋转，探究的数量关系． 【问题探究】 （1）如图1，此时与的数量关系是______，位置关系是______； （2）如图2，当绕点逆时针旋转（）时，与的数量关系是否有变化？如果不变化，请证明结论；如果变化，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，当绕点A逆时针旋转时，延长交于点．已知，求线段的长度． 【答案】（1），（2）不变，理由见解析（3） 【分析】 （1）根据正方形的性质得到，，因为，所以，且，可以解决问题； （2）由旋转性质得：旋转角，由（1）得，可证，根据全等三角形的性质得到．； （3）连接，延长，与交于点．在中，求出，长，然后证明，利用列方程求解即可． 【详解】 解：（1）四边形是正方形， ，，， ∵，， ∴， ， ， ∵， ， 故答案为：，； （2）成立， 理由：由旋转性质得：旋转角， 由（1）得， 在和中， ． ， ， ； （3）连接，延长交于， 四边形是正方形，，， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 由（2）得， ， ，， ， ， ， 解得，． 【点睛】 本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的． 4．（25-26学年九上·湖北武汉水果湖第二中学·期中）在等边中，，于D，点E为边上一点，点F为线段上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段． （1）当点E与点A重合时， ①如图1，连接，若的延长线过点C，连接，则线段________； ②如图2，若，连接、．   M、N分别为、的中点，连接、和，求线段的长； （2）如图3，点E不与点A、B重合，若，的延长线交边于点H，连接、．当的周长最小时， _________． 【答案】（1）①6；②     （2）      【分析】 （1）① 根据题意得是等边三角形，当E和A重合时，可证，得出，根据三角形外角的性质等可求出，，根据等角对等边得出，根据含角的直角三角形的性质得出，则 ，即可求解； ② 由①可求，，过点N作交于点K，证明，根据相似三角形的性质可求出，，根据勾股定理求出，由① 知： ，则，，证明，得出，，则，进而可证为等边三角形，最后根据等边三角形的性质求解即可； （2）根据旋转的性质，等边三角形的判定与性质可求出，，则，故A、E、F、H四点共圆，根据圆周角定理可得出 ， ，，根据含角的直角三角形的性质，根据勾股定理求出，可求的周长为，故当时，最小，即的周长最小，此时可证明是等边三角形，得出，进而可证垂直平分，根据三线合一可求出，然后证明，得出，然后根据含角的直角三角形的性质，最后根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：①等边中，， ，， ， ，， ， 线段绕点E顺时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， 当E和A重合时，， ， 又，， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ； ② 由①知， 又， ，则， 过点N作交于点K，     ，， ， ， ， 点 N为的中点， ， ， ，， ， 在中，， 由① 知： ， ，， M、N分别为、的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形， ； (2) 小问详解： 解：线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接， 为等边三角形， ，， ， ，为等边三角形， ，， ， A、E、F、H四点共圆，如图所示，     ， ，， ， ， 的周长为， 当时，最小，即的周长最小， 如图， 又， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， 垂直平分， 平分， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， 又， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、勾股定理解直角三角形、三角形全等的判定及性质、相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线． 考点03 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）（多选）如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）OE=2． 【分析】 （1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】 （1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 2．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点，图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点，则　　　　　　　　　　　（结果保留根号）． 【答案】 【分析】 本题考查动点的函数图象，根据图象可知，，当点在上，且时，，勾股定理求出的长，三线合一，求出的长，求出三角形的周长，再除以点的移动速度，进行求解即可． 【详解】 解：由图象可知，当时，点与点重合， ∴， 当点在上，且时，最小，对应图象上的点，此时， 在中，， ∵，， ∴， ∴的周长为：， ∴； 故答案为：． 3．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）已知，点F是矩形边上一点，点E在边上，，连接． （1）如图1，点F在边上，且，连接．求证：； （2）如图2，点F在边上，且，连接交于点G．求证：． （3）在（2）的条件下，，，则          ． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ，， ∵在和中 ， ， ， ， ， ， ．     （2） 证明：如图2，过点C作，交于H，连接， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∵在和中 ， ∴， ，， ， ， ， 又， ， ，      （3）      【分析】 （1）根据证明，得出，即可得出答案； （2）过点C作，交于H，连接，证明四边形是平行四边形，得出，即可得出，根据证明，得出，，证明，即可求出，根据平行线的性质，得出； （3）设，则，，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出BE的值，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设，则，， 根据解析（2）可知，， ∵， 即， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不符合题意舍去， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 4．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）如图，在中，，，分别以，为直角边，为直角顶点向外作等腰和等腰，连接，．在的边变化的过程中，当最大时，的长是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先证明，再根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，结合三角形三边关系，得三点共线时，AE最大，画出图形，由勾股定理即可求得． 【详解】 解：， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 在中，由三角形三边关系可得，则当三点共线，即点在上时，最大，如图所示： ， 最大值为， 过点作于，如图所示： 由等腰三角形“三线合一”得， ， ∴BC， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系、勾股定理，证明以及由三角形三边关系得三点共线时，AE最大，是解题的关键． 考点04 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：实施过程： 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量，两点间的距离； 3．在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到树顶A； 4．测量，两点间的距离； 5．测量到地面的高度D． 测量数据：；；． 备注： 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得B． 解决问题：请计算树的高度． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用．根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可． 【详解】 解：由题意得，， ． 又， ， ，即， ． 考点05 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）在如图所示的正方形网格中，的内接的顶点均为格点，则的值为(   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】连接BD，如图,根据圆周角的定理可得∠BDC=∠A,△BDC中，根据正切的定义可直接得出答案． 【详解】解：连接BD，如图 ∵∠BCD是直角， ∴BD是直径， 又∵∠BDC和∠A是所对的圆周角， ∴∠BDC=∠A, ∵RT△BDC中，BC=3,DC=5， ∴=， 故选A. 【点睛】本题主要考查圆周角定理及锐角三角函数的定义，掌握这部分知识是解决本题的关键． 2．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）计算：． 【答案】 【分析】 先计算绝对值，特殊三角函数值，负整数指数幂，分母有理化，计算二次根式的混合运算． 【详解】 解：原式 【点睛】 本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，二次根式的混合运算，分母有理化，负整数指数幂等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 考点06 解直角三角形 1．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则 　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】 解：设，则， ∵，， ∴， 解得：，即， 故答案为：． 2．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图，四边形，，，，，，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为．点和点同时出发． （1）当时，的值为　　　　　　　　； （2）当时，的值为　　　　　　　　； 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、动点问题中的平行与垂直关系，解题的关键是通过作辅助线求出AD的长度，利用相似三角形的比例关系建立方程求解的值． （1） 先求AD长度，当时，利用的相似比列方程； （2） 作构造，利用与互余的正切关系列方程． 【详解】 （1）解：过作于， ∵，， ∴四边形DEBC是矩形，， ∵， ∴， ∴. 当时，， ∴， 即，解得． 故答案为：． （2） 解：过作于， ∵，， ∴， ∴， 其中， 即， ∵， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴ 在中，， 即， 化简得， 解得， 故答案为：. 3．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是　　　　　　　　． 【答案】6或8或9 【分析】 本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点D作交于点E，分类讨论，逐个分析，即可解答． 【详解】 解：过点D作交于点E， ① 当时，如图（1）， ∵是等边三角形，， ∴，，即是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ② 当时，如图（2） 同理可得，， ∴，即， ∴， ∴． ③ 当时，如图（3） 同理可证， ∴ ∴． ∴． ④ 当时，如图（4） 同理可证， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长是6或8或9． 故答案为：6或8或9． 4．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）（1）如图1，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． ①求证：； ②当，时，求和的长； （2）拓展应用：如图2，在中，于，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，点的对应点落在边上，与交于点． ①求证：； ②若，直接写出的值． 【答案】（1）① 证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ∴， ∴，即， ∴； ②，； （2）① 证明：连接，设旋转角为， 则，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②． 【分析】 （1）① 根据旋转可得，则，即可证明; ② 根据，，，可得，即可得出，过作，则，即，在中勾股定理求出，则，在中勾股定理求出，根据，得出，即可求出的长； （2）① 设旋转角为，证明，得出，结合，得出； ②，设，由① 得，得出，证出点四点共圆，根据圆周角定理得出，，证明，得出，设，则，根据旋转可得，则，联立求出，再根据即可求解． 【详解】 （1）① 略 ② 解：∵，，， ∴， ∴， 过作， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：，（舍去）， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）① 略 ② 解：∵， ∴设， 由① 得， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， 即， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴，， ∴， ∴， 设， 则， 根据旋转可得， ∴， 联立可得， ∴． 【点睛】 该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，证明三角形相似． 5．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）如图1，在中，，点在上任意一点，连接． （1）如图1，，为中点，，求的长； （2）如图2，若，为的中点，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，点为边上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转至，连接、，已知，，，当周长取得最小值时，请直接写出此时的面积． 【答案】（1）     （2） ， 延长至点，使，连接，则：，     ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，， ∴，， 又， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）过点作于点，解直角三角形进行求解即可； （2）延长至点，使，连接，先证明，推出为等边三角形，再证明，即可得出结论； （3）过点作，交于点，连接，证明，得到点在直线上运动，作点关于的对称点，得到的周长，进而得到当三点共线时，的值最小，的周长最小，过点作，过点作，解直角三角形，以及等积法和勾股定理，求出，证明，列出比例式求出的长，再利用分割法求出的面积即可． (1) 小问详解： 解：过点作于点，     则：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 过点作，交于点，连接，则，     ∵， ∴， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 作点关于的对称点，则：， ∴的周长 ∴当三点共线时，的值最小，的周长最小，如图，    过点作，过点作，则：， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】 本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称解决线段和最小的问题，等积法求线段，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，添加辅助线，构造特殊三角形，全等三角形和相似三角形，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似、锐角三角函数 6大高频考点概览 考点01 平行线分线段成比例 考点02 三角形相似的判定 考点03 相似三角形的性质 考点04 相似三角形的应用 考点05 正弦、余弦与正切 考点06 解直角三角形 考点01 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·湖北武汉水果湖第二中学·期中）如图是由边长为个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． （1）在图中，将线段向上平移个单位长度，点对应点，点对应点，画出平移后的线段，再将线段绕点顺时针旋转，画出对应线段； （2）在图中，点是格线上一点，先作点关于点对称的点，再过点作直线分别交于点，使得． 考点02 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图，、分别是边、上的点，，若，，，则的长是（     ） A.  B. 3 C. 4 D.  2．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图，直线交于、两点，是的直径，平分交于点，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求弧的长． 3．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）江老师在教学《图形的旋转》时，发现特殊位置的图形，通过旋转后，在一般情况下的图形中，很多性质有一致性，并且在解决问题的方法上，也有一致性．下面是江老师设计的一个教学片段，请结合问题进行探究思考． 【问题呈现】 在正方形的边上分别有点和，，，，连接，结合图形旋转，探究的数量关系． 【问题探究】 （1）如图1，此时与的数量关系是______，位置关系是______； （2）如图2，当绕点逆时针旋转（）时，与的数量关系是否有变化？如果不变化，请证明结论；如果变化，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，当绕点A逆时针旋转时，延长交于点．已知，求线段的长度． 4．（25-26学年九上·湖北武汉水果湖第二中学·期中）在等边中，，于D，点E为边上一点，点F为线段上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段． （1）当点E与点A重合时， ①如图1，连接，若的延长线过点C，连接，则线段________； ②如图2，若，连接、．   M、N分别为、的中点，连接、和，求线段的长； （2）如图3，点E不与点A、B重合，若，的延长线交边于点H，连接、．当的周长最小时， _________． 考点03 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）（多选）如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 2．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点，图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点，则　　　　　　　　　　　（结果保留根号）． 3．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）已知，点F是矩形边上一点，点E在边上，，连接． （1）如图1，点F在边上，且，连接．求证：； （2）如图2，点F在边上，且，连接交于点G．求证：． （3）在（2）的条件下，，，则          ． 4．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）如图，在中，，，分别以，为直角边，为直角顶点向外作等腰和等腰，连接，．在的边变化的过程中，当最大时，的长是　　　　　　　　． 考点04 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：实施过程： 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量，两点间的距离； 3．在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到树顶A； 4．测量，两点间的距离； 5．测量到地面的高度D． 测量数据：；；． 备注： 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得B． 解决问题：请计算树的高度． 考点05 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）在如图所示的正方形网格中，的内接的顶点均为格点，则的值为(   ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）计算：． 考点06 解直角三角形 1．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则 　　　　　　　　　　 2．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图，四边形，，，，，，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为．点和点同时出发． （1）当时，的值为　　　　　　　　； （2）当时，的值为　　　　　　　　； 3．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）（1）如图1，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． ①求证：； ②当，时，求和的长； （2）拓展应用：如图2，在中，于，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，点的对应点落在边上，与交于点． ①求证：； ②若，直接写出的值． 5．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）如图1，在中，，点在上任意一点，连接． （1）如图1，，为中点，，求的长； （2）如图2，若，为的中点，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，点为边上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转至，连接、，已知，，，当周长取得最小值时，请直接写出此时的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似、锐角三角函数 考点01 平行线分线段成比例 考点02 三角形相似的判定 考点03 相似三角形的性质 考点04 相似三角形的应用 考点05 正弦、余弦与正切 考点06 解直角三角形 考点01 平行线分线段成比例 1．【答案】（1） 如图所示，线段和即为所求；      （2） 如图所示，点即为所求． 【分析】 （）根据平移和旋转的性质作图即可； （）如图，连接并延长交格线于点，由平行线等分线段定理可得，同理作点关于点的对称点，连接交于点，连接并延长交于点，连接，易得四边形是平行四边形，即得，进而可证，得到，故点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了平移和旋转作图，平行线等分线段定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 考点02 三角形相似的判定 1．B 2．【答案】（1） 证明：连接，． ， ， ∵平分， ∴， ， ， ， ， 即， 在上，为的半径， 是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，根据平行线的判定与性质可得，且在上，故是的切线． （2）连接，，证明，利用相似三角形的性质列式计算求得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算求得，证明是等边三角形，利用弧长公式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得（已舍）， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弧的长． 【点睛】 本题考查圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、弧长公式等知识，在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键． 3．【答案】（1），（2）不变，理由见解析（3） 【分析】 （1）根据正方形的性质得到，，因为，所以，且，可以解决问题； （2）由旋转性质得：旋转角，由（1）得，可证，根据全等三角形的性质得到．； （3）连接，延长，与交于点．在中，求出，长，然后证明，利用列方程求解即可． 【详解】 解：（1）四边形是正方形， ，，， ∵，， ∴， ， ， ∵， ， 故答案为：，； （2）成立， 理由：由旋转性质得：旋转角， 由（1）得， 在和中， ． ， ， ； （3）连接，延长交于， 四边形是正方形，，， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 由（2）得， ， ，， ， ， ， 解得，． 【点睛】 本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的． 4．【答案】（1）①6；②     （2）      【分析】 （1）① 根据题意得是等边三角形，当E和A重合时，可证，得出，根据三角形外角的性质等可求出，，根据等角对等边得出，根据含角的直角三角形的性质得出，则 ，即可求解； ② 由①可求，，过点N作交于点K，证明，根据相似三角形的性质可求出，，根据勾股定理求出，由① 知： ，则，，证明，得出，，则，进而可证为等边三角形，最后根据等边三角形的性质求解即可； （2）根据旋转的性质，等边三角形的判定与性质可求出，，则，故A、E、F、H四点共圆，根据圆周角定理可得出 ， ，，根据含角的直角三角形的性质，根据勾股定理求出，可求的周长为，故当时，最小，即的周长最小，此时可证明是等边三角形，得出，进而可证垂直平分，根据三线合一可求出，然后证明，得出，然后根据含角的直角三角形的性质，最后根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：①等边中，， ，， ， ，， ， 线段绕点E顺时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， 当E和A重合时，， ， 又，， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ； ② 由①知， 又， ，则， 过点N作交于点K，     ，， ， ， ， 点 N为的中点， ， ， ，， ， 在中，， 由① 知： ， ，， M、N分别为、的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形， ； (2) 小问详解： 解：线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接， 为等边三角形， ，， ， ，为等边三角形， ，， ， A、E、F、H四点共圆，如图所示，     ， ，， ， ， 的周长为， 当时，最小，即的周长最小， 如图， 又， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， 垂直平分， 平分， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， 又， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、勾股定理解直角三角形、三角形全等的判定及性质、相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线． 考点03 相似三角形的性质 1．【答案】（1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）OE=2． 【分析】 （1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】 （1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 2．【答案】 【分析】 本题考查动点的函数图象，根据图象可知，，当点在上，且时，，勾股定理求出的长，三线合一，求出的长，求出三角形的周长，再除以点的移动速度，进行求解即可． 【详解】 解：由图象可知，当时，点与点重合， ∴， 当点在上，且时，最小，对应图象上的点，此时， 在中，， ∵，， ∴， ∴的周长为：， ∴； 故答案为：． 3．【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ，， ∵在和中 ， ， ， ， ， ， ．     （2） 证明：如图2，过点C作，交于H，连接， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∵在和中 ， ∴， ，， ， ， ， 又， ， ，      （3）      【分析】 （1）根据证明，得出，即可得出答案； （2）过点C作，交于H，连接，证明四边形是平行四边形，得出，即可得出，根据证明，得出，，证明，即可求出，根据平行线的性质，得出； （3）设，则，，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出BE的值，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设，则，， 根据解析（2）可知，， ∵， 即， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不符合题意舍去， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 4．【答案】 【分析】 先证明，再根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，结合三角形三边关系，得三点共线时，AE最大，画出图形，由勾股定理即可求得． 【详解】 解：， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 在中，由三角形三边关系可得，则当三点共线，即点在上时，最大，如图所示： ， 最大值为， 过点作于，如图所示： 由等腰三角形“三线合一”得， ， ∴BC， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系、勾股定理，证明以及由三角形三边关系得三点共线时，AE最大，是解题的关键． 考点04 相似三角形的应用 3．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用．根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可． 【详解】 解：由题意得，， ． 又， ， ，即， ． 考点05 正弦、余弦与正切 1．A 2．【答案】 【分析】 先计算绝对值，特殊三角函数值，负整数指数幂，分母有理化，计算二次根式的混合运算． 【详解】 解：原式 【点睛】 本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，二次根式的混合运算，分母有理化，负整数指数幂等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 考点06 解直角三角形 1．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】 解：设，则， ∵，， ∴， 解得：，即， 故答案为：． 2．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、动点问题中的平行与垂直关系，解题的关键是通过作辅助线求出AD的长度，利用相似三角形的比例关系建立方程求解的值． （1） 先求AD长度，当时，利用的相似比列方程； （2） 作构造，利用与互余的正切关系列方程． 【详解】 （1）解：过作于， ∵，， ∴四边形DEBC是矩形，， ∵， ∴， ∴. 当时，， ∴， 即，解得． 故答案为：． （2） 解：过作于， ∵，， ∴， ∴， 其中， 即， ∵， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴ 在中，， 即， 化简得， 解得， 故答案为：. 3．【答案】6或8或9 【分析】 本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点D作交于点E，分类讨论，逐个分析，即可解答． 【详解】 解：过点D作交于点E， ① 当时，如图（1）， ∵是等边三角形，， ∴，，即是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ② 当时，如图（2） 同理可得，， ∴，即， ∴， ∴． ③ 当时，如图（3） 同理可证， ∴ ∴． ∴． ④ 当时，如图（4） 同理可证， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长是6或8或9． 故答案为：6或8或9． 4．【答案】（1）① 证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ∴， ∴，即， ∴； ②，； （2）① 证明：连接，设旋转角为， 则，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②． 【分析】 （1）① 根据旋转可得，则，即可证明; ② 根据，，，可得，即可得出，过作，则，即，在中勾股定理求出，则，在中勾股定理求出，根据，得出，即可求出的长； （2）① 设旋转角为，证明，得出，结合，得出； ②，设，由① 得，得出，证出点四点共圆，根据圆周角定理得出，，证明，得出，设，则，根据旋转可得，则，联立求出，再根据即可求解． 【详解】 （1）① 略 ② 解：∵，，， ∴， ∴， 过作， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：，（舍去）， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）① 略 ② 解：∵， ∴设， 由① 得， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， 即， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴，， ∴， ∴， 设， 则， 根据旋转可得， ∴， 联立可得， ∴． 【点睛】 该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，证明三角形相似． 5．【答案】（1）     （2） ， 延长至点，使，连接，则：，     ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，， ∴，， 又， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）过点作于点，解直角三角形进行求解即可； （2）延长至点，使，连接，先证明，推出为等边三角形，再证明，即可得出结论； （3）过点作，交于点，连接，证明，得到点在直线上运动，作点关于的对称点，得到的周长，进而得到当三点共线时，的值最小，的周长最小，过点作，过点作，解直角三角形，以及等积法和勾股定理，求出，证明，列出比例式求出的长，再利用分割法求出的面积即可． (1) 小问详解： 解：过点作于点，     则：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 过点作，交于点，连接，则，     ∵， ∴， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 作点关于的对称点，则：， ∴的周长 ∴当三点共线时，的值最小，的周长最小，如图，    过点作，过点作，则：， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】 本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称解决线段和最小的问题，等积法求线段，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，添加辅助线，构造特殊三角形，全等三角形和相似三角形，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $