精品解析：湖北天门市华斯达学校2026-2027学年九年级上学期9月作业数学试卷A卷

数学试卷 一、单选题 1. 若点在反比例函数的图象上，则a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线与轴只有一个交点，则的值是（　　） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 7. 如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 8. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 9. 如图，绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（ ） A. 15 B. C. D. 18 二、填空题 11. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为______． 12. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的周长为1，则的周长是__________． 13. 在给农田灌溉时，水泵的出水流量v（立方米/分钟）与水管横截面积S（平方米）成反比例函数关系．当水管横截面积平方米时，出水流量立方米/分钟．则出水流量v与水管横截面积S的函数表达式为________． 14. 能说明“若，则”是假命题的一个反例是___________．（写出一个即可） 15. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为．给出四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是__________． 三、解答题 16. 用配方法解方程：． 17. 如图，在矩形中，点是对角线上的两点，且，垂足分别为．求证：． 18. 如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F． （1）E是线段的___________，点A与点F关于点___________成中心对称； （2）若，求证：是等腰三角形． 19. 电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全．为提高大家的防范意识，某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识测试．七、八年级各有名学生，现从这两个年级各随机抽取名学生参加测试，为了解本次测试成绩的分布情况，将两个年级的测试成绩按，，，四个评价等级进行整理，得到如下不完整的统计图表． 七年级成绩统计表： 评价等级 成绩x分 频数 频率 八年级测试成绩评价等级为的全部分数（单位：分）如下： （1）表格中， ____________； （2）八年级测试成绩的中位数是______________分； （3）若测试成绩不低于分，则认为该学生对防电信诈骗意识较强．请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？ 20. 已知关于的一元二次方程． （1）试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）设，为方程的两个实数根，且，求的值． 21. 如图，是的直径，点在上（点不与重合），直线交过点的切线于点，点为的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求四边形的面积． 22. 我市干鲜经销公司，进了一种海味虾米共2000千克．进价为每千克20元，物价局规定其销售单价不得高于每千克50元，也不得低于每千克20元．市场调查发现：单价定为50元时，每天平均销售30千克；单价每降低1元，每天平均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用400元（天数不足一天时按整天计算）．设销售单价为每千克x元，每天平均获利为y元，请解答下列问题： （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）当销售单价是每千克多少元时，每天平均获利最多，最多利润是多少元？ （3）若将这种虾米全部售出，比较每天平均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利润最多？多多少？ 23. 如图1所示，边长为4的正方形与边长为（）的正方形的顶点重合，点在对角线上． 【问题发现】 （1）如图1所示，与的数量关系为______； 【类比探究】 （2）如图2所示，将正方形绕点旋转，旋转角为（），请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由； 【类比迁移】 （3）如图3，四边形，都是矩形，，，，小明将矩形绕点顺时针旋转（），如图4所示。 ①直接写出的值为______． ②在旋转过程中，当点，，在同一条直线上时，请直接写出的长度． 24. 如图，抛物线（k为常数）与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，直线，l交y轴于点C，交抛物线于点M，N（M在N的左侧）． （1）当时， ①直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标，并求的长； ②当时，最大值为m，最小值为n，求的值； （2）当时，抛物线的最高点到直线l的距离为1，请直接写出此时k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、单选题 1. 若点在反比例函数的图象上，则a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在函数图象上的坐标特征，代入计算求a的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入解析式， 解得． 2. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均增长率的等量关系，列方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 3. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：A、为一次函数，故本选项不符合题意； B、等号右边不是整式，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、化简后没有二次项，故本选项不符合题意． 4. 抛物线与轴只有一个交点，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特征，根据题意转化为求一元二次方程有两个相等的实数根即可，解题的关键是要熟练掌握二次函数与坐标轴的交点求解方法． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴当方程时，， 解得， 故选：． 5. 将抛物线向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，得． 6. 已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵，当时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为． 7. 如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 8. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可． 【详解】解：对于反比例函数，知图象分别位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且第二象限内对应的函数值大于第四象限内对应的函数值． ∵ 点 和在反比例函数的图象上， ∴ ，， ∴． ∴ 当 时，，即． 当 时，，即 ． ∵A选项与B选项中，与的值的大小不确定， ∴选项 A 和 B 不一定正确； ∵ 当 时，， ∴点 和都在第四象限内的反比例函数的图象上，在此象限内，随的增大而增大． ∴，选项 C 正确，符合题意； 选项 D 中，当时，点 和不一定都在同一象限内的反比例函数的图象上， ∴选项 D 不一定正确，不符合题意． 故选：C． 9. 如图，绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，故A错误，C错误；得到∠ACD=∠BCE，故D正确；题目无法得到等于，故B错误． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，故A、C错误； 又题目无法得到等于，故B错误． ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴，即，故D正确． 10. 如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（ ） A. 15 B. C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴， 故选：B． 二、填空题 11. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把直接代入方程即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的周长为1，则的周长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质与相似三角形的周长比，熟练掌握位似图形是相似图形、相似三角形周长比等于相似比是解题的关键． 先根据位似图形的性质，确定两个三角形的相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，求出的周长． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴与的相似比为， ∵的周长为，相似三角形周长比等于相似比， ∴的周长为， 故答案为：． 13. 在给农田灌溉时，水泵的出水流量v（立方米/分钟）与水管横截面积S（平方米）成反比例函数关系．当水管横截面积平方米时，出水流量立方米/分钟．则出水流量v与水管横截面积S的函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知与成反比例函数关系，先设反比例函数的一般形式，再代入已知的和的值求出待定系数，即可得到函数表达式. 【详解】解：因为与成反比例函数关系， 所以设， 将，代入得： ， 因此出水速度与水管横截面积的函数表达式为， 14. 能说明“若，则”是假命题的一个反例是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】只需找到满足，但不满足的一组即可． 【详解】解：取，， 计算得，． ，即满足条件， 而，即不满足结论， 这组数可以说明原命题是假命题． 15. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为．给出四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是__________． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题．由图象的开口方向与对称轴方程可判断①，由图象与x轴有两个交点可判断②③；根据抛物线顶点位置可判断④；根据抛物线图象过点结合对称轴方程可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵， ∴，故①错误， ∴，故③错误， 图象与x轴有两个交点， ， 即，故②正确； 当时，，故④正确， ∵图象过点， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤错误， 综上：正确的有：②④． 故答案为：②④ 三、解答题 16. 用配方法解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查利用配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤：一除，二移，三配，四变形，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴，． 17. 如图，在矩形中，点是对角线上的两点，且，垂足分别为．求证：． 【答案】 证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明，即可得证． 【详解】略 18. 如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F． （1）E是线段的___________，点A与点F关于点___________成中心对称； （2）若，求证：是等腰三角形． 【答案】（1）中点，E （2） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，中心对称图形的定义，等腰三角形的等腰，证明是解题的关键。 （1）由中心对称图形的定义可得E是线段的中点，再由平行线的性质得到，则可证明，则，即点A与点F关于点E成中心对称； （2）由全等三角形的性质得到，则可证明，即可证明是等腰三角形． 【小问1详解】 解：∵点D与点C关于点E中心对称， ∴E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点A与点F关于点E成中心对称， 故答案为：中点，E； 【小问2详解】 略 19. 电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全．为提高大家的防范意识，某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识测试．七、八年级各有名学生，现从这两个年级各随机抽取名学生参加测试，为了解本次测试成绩的分布情况，将两个年级的测试成绩按，，，四个评价等级进行整理，得到如下不完整的统计图表． 七年级成绩统计表： 评价等级 成绩x分 频数 频率 八年级测试成绩评价等级为的全部分数（单位：分）如下： （1）表格中， ____________； （2）八年级测试成绩的中位数是______________分； （3）若测试成绩不低于分，则认为该学生对防电信诈骗意识较强．请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？ 【答案】（1） （2） （3）估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有人 【解析】 【分析】（1）七年级随机抽取名学生参加，根据频数分布表可知的人数，由此即可求解； （2）根据扇形图的比例，分别算出的人数，再根据中位数的定义即可求解； （3）根据样本的频率估算总体的数量的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：七年级成绩分组中，组有人，组有人，组有人， ∴组的人数为（人），即， 故答案为：． 【小问2详解】 解：八年级的成绩分组中，组占，组占，组占，组占， ∴组有人，组有人，组有人，组有人， 根据中位数的定义可知，八年级成绩的中位数落在组的第名学生的成绩上， ∴八年级成绩的中位数是， 故答案为：． 【小问3详解】 解：七、八年级各有名学生，七年级测试成绩不低于分的人数有人，八年级测试成绩不低于分有人， ∴估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有（人）． 【点睛】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握根据频率计算总体数量，中位数的概念等知识是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）设，为方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：，，． ． ∵， ∴，即， ∴无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式,即可得出，结合可得出，进而可证出：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，为方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，熟练掌握以上知识解题的关键． 21. 如图，是的直径，点在上（点不与重合），直线交过点的切线于点，点为的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：连接，， ∵是的直径， ∴ ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）四边形的面积． 【解析】 【分析】（）连接，，根据圆周角定理得到求得 ，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （）根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，于是得到四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，矩形的判定，正方形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 22. 我市干鲜经销公司，进了一种海味虾米共2000千克．进价为每千克20元，物价局规定其销售单价不得高于每千克50元，也不得低于每千克20元．市场调查发现：单价定为50元时，每天平均销售30千克；单价每降低1元，每天平均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用400元（天数不足一天时按整天计算）．设销售单价为每千克x元，每天平均获利为y元，请解答下列问题： （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）当销售单价是每千克多少元时，每天平均获利最多，最多利润是多少元？ （3）若将这种虾米全部售出，比较每天平均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利润最多？多多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价是每千克元时，每天平均获利最多，最多利润是612.5元 （3）销售单价最高这种销售方式获总利润最多，多6200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，依据：销售问题的数量关系日获利每千克的获利销售数量支出费用运用，求出函数的解析式是关键． （1）由日均获利（售价成本）销售量其他费用400元，由此关系式列出函数关系式； （2）由（1）中的关系式配方，求最大值． （3）分别计算出日均获利最多时的利润额和销售单价最高时的利润额，做差比较即可． 【小问1详解】 解： ， 答：与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解： ， 二次函数开口向下， 当时， 答：当销售单价是每千克元时，每天平均获利最多，最多利润是612.5元； 【小问3详解】 解：当每日平均获利最多时，，日销售量， 销售天数为， 获总利润为：（元； 当销售单价最高时，，日销售量， 销售天数为 获总利润为：； 故当销售单价最高时获总利润最多． （元 答：销售单价最高这种销售方式获总利润最多，多6200元． 23. 如图1所示，边长为4的正方形与边长为（）的正方形的顶点重合，点在对角线上． 【问题发现】 （1）如图1所示，与的数量关系为______； 【类比探究】 （2）如图2所示，将正方形绕点旋转，旋转角为（），请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由； 【类比迁移】 （3）如图3，四边形，都是矩形，，，，小明将矩形绕点顺时针旋转（），如图4所示。 ①直接写出的值为______． ②在旋转过程中，当点，，在同一条直线上时，请直接写出的长度． 【答案】（1）； （2）解：上述结论还成立，理由如下： 如图2：连接， 由旋转得，， ∴， 在和中，， ∴， ∴ ∴， ∴； （3）①； ②或 【解析】 【分析】本题考查了矩形和正方形的性质、相似三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识点，熟练运用相关知识成为解决问题的关键． （1）先根据正方形的性质可得，，再根据平行线等分线段定理即可解答； （2）如图2：连接，根据正方形的性质证明，然后根据相似的性质列比例式求解即可； （3）①如图4，连接．根据矩形的性质可得，进而得到，再证明，然后根据相似三角形的性质即可解答； ②分点E在线段上和点E在的延长线上两种情况，分别根据勾股定理、相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴，即． 故答案为：； （2）略 （3）①如图4，连接． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在图中，， ∵在图中，， ∴在图中， ∴在图中，， ∵四边形，都是矩形， ∴在图中，， ∴， ∴， ∵， ∴在图4中， ∴， ∴； ②在图3中，，， ∴， ∴， ∴， 如图5中，当点E在线段上时，连接，过点C作于J． ∵，， ∴CJ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图6中，当点E在的延长线上时， 同法可得：， ∴． 综上，的长为或． 24. 如图，抛物线（k为常数）与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，直线，l交y轴于点C，交抛物线于点M，N（M在N的左侧）． （1）当时， ①直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标，并求的长； ②当时，最大值为m，最小值为n，求的值； （2）当时，抛物线的最高点到直线l的距离为1，请直接写出此时k的值． 【答案】（1）①对称轴为直线，顶点坐标为，；②8 （2）或或或 【解析】 【分析】（1）①代入k值，把抛物线解析式化为顶点式即可得到抛物线对称轴和顶点坐标；然后求出A、B坐标即可求出AB的长；②根据抛物线的性质求出抛物线的最大值和最小值即可得到答案； （2）先求出顶点的坐标为．，，然后分当和当时，两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：（①当时，得， 抛物线的对称轴为直线， 顶点坐标为； 当时，， ； 当时，则， 解得，． ． ，， ． ②如图1，设直线与抛物线交于点， ，且， 当时，； 当时，，当时，，且， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：设直线交抛物线于点，抛物线的顶点为点， ， 抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标为． 当时，， ，． 当时，如图3，则， 当时，随的增大而减小， 当时，抛物线的最高点为点， ， 即或， 由，解得，（不符合题意，舍去）， 由，解得，（不符合题意，舍去）； 当时，则， 当时，抛物线的最高点为抛物线的顶点． ． 即或， 由，解得，（不符合题意，舍去）， 由，解得，（不符合题意，舍去）， 综上所述，的值为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理等等，熟知二次函数图象的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $