第二章 直线和圆的方程 章末测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高二数学“直线和圆的方程”章末测试卷，通过基础计算（如点到直线距离）、综合应用（如圆的切线方程）及轨迹探究（如线段中点轨迹），覆盖核心知识点，梯度设计助力单元复习，培养数学思维与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|点到直线距离、斜率比较、圆的切线|基础巩固，聚焦概念理解| |多项选择|3/18|三角形与直线关系、圆的弦长|知识综合，考查推理意识| |填空|3/15|直线与坐标轴面积、三线共面条件|细节辨析，强化运算能力| |解答题|5/77|圆的切线方程、轨迹方程推导|问题递进，突出模型观念与逻辑推理|

第二章 直线和圆的方程 章末测试卷 2026-2027学年高二数学同步备课系列——原卷版 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.若点(1，a)到直线y=x+1的距离是，则实数a的值为(　　) A.-1 B.5 C.-1或5 D.-3或3 2.已知直线l过直线l1：x-2y+3=0与直线l2：2x+3y-8=0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 3.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 4.若直线的一个方向向量为(3，)，则它的倾斜角为(　　) A.30° B.120° C.60° D.150° 5.过圆x2+y2=4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A，B，则△ABP的外接圆方程是(　　) A.(x-2)2+(y-1)2=4 B.(x-2)2+(y+1)2=5 C.(x-4)2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+(y-1)2=5 6.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(-1，1)且与y轴交于点P，则点P的坐标为(　　) A.(3，0) B.(-3，0) C.(0，-3) D.(0，3) 7.以A(2，-5)，B(4，-1)为端点的线段的垂直平分线的方程是(　　) A.y-(-3)=2(x-3) B.y-3=2(x-3) C.y-3=-(x-3) D.y-(-3)=-(x-3) 8.已知点E，圆O：x2+y2=16，点F是l：2x-y+16=0上的动点，过F作圆O的切线，切点分别为A，B，直线AB与OF交于点M，则|ME|的最小值为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知直线l：y=-x，其中l1，l2，l的图象如图所示，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2，则下列说法正确的是(　　) A.-1<k2<0 B.k1<k2<-1 C.b1>b2 D.>0 10.△ABC的三个顶点坐标分别为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是(　　) A.边BC与直线3x-2y+1=0平行 B.边BC上的中线所在直线的方程为5x+y-20=0 C.BC的垂直平分线的方程为3x+2y-19=0 D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5) 11.已知圆的圆心在直线x=-2上，且与直线l1：x+y-2=0相切于点Q(-1，)，过点D(-1，0)作该圆两条互相垂直的弦AE，BF，线段AE，BF的中点分别为M，N，则下列结论正确的是(　　) A.圆的方程为(x+2)2+y2=4 B.弦AE的长度的最大值为2 C.直线MN恒过定点 D.存在点G，使得|NG|为定值 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.直线3x-2y+6=0与两坐标轴围成的面积为　　　　.  13.若直线l1：x-y=0，l2：x+y-2=0，l3：5x-ky-15=0能围成一个三角形，则k的取值范围是　　　　　　. 14.已知直线l：x+y-4=0与圆C：(x-3)2+y2=4交于A，B两点，与y轴交于点P，H为AB的中点，则PH的长为　　　. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.已知直线2x+y-2=0与圆C：x2+y2+4x-2y+a=0(a∈R)交于A，B两点，且|AB|=4. (1)求a的值； (2)求过点P(1，2)的圆C的切线方程. 16.直线l的方程为(m+1)x+y-2m-3=0(m∈R). (1)证明：无论m为何值，直线l过定点； (2)已知O是坐标原点，若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当△ABO的面积最小时，求△ABO的周长及此时直线l的截距式方程. 17.已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 18.已知两圆和．求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 19.如图，已知圆O：x2+y2=4，P是直线y=4上的动点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B. (1)若PA⊥x轴，求四边形OAPB的面积；(4分) (2)若直线PA，PB与x轴分别交于点M(m，0)，N(n，0)，证明：9m2+9n2+30mn为定值；(5分) (3)求线段AB的中点Q的轨迹方程.(6分) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 章末测试卷 2026-2027学年高二数学同步备课系列——解析版 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.若点(1，a)到直线y=x+1的距离是，则实数a的值为(　　) A.-1 B.5 C.-1或5 D.-3或3 【答案】C 【解析】∵点(1，a)到直线y=x+1的距离是， ∴=，即|2-a|=3， 解得a=-1或a=5，∴实数a的值为-1或5. 2.已知直线l过直线l1：x-2y+3=0与直线l2：2x+3y-8=0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】由得 即直线l过点(1，2).设点Q(1，2)，因为|PQ|==>2，所以满足条件的直线l有2条. 3.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 【答案】A 【解析】设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3， 则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°， 所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0， 即k1<0，k2>k3>0.故k1<k3<k2. 4.若直线的一个方向向量为(3，)，则它的倾斜角为(　　) A.30° B.120° C.60° D.150° 【答案】A 【解析】由直线的一个方向向量是(3，)， 可得直线的斜率k=， 设直线的倾斜角为α，则tan α=，且0°≤α<180°，所以α=30°. 5.过圆x2+y2=4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A，B，则△ABP的外接圆方程是(　　) A.(x-2)2+(y-1)2=4 B.(x-2)2+(y+1)2=5 C.(x-4)2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+(y-1)2=5 【答案】D 【解析】圆x2+y2=4的圆心O(0，0)，半径r=2， 由圆的几何性质可知△OPA≌△OPB， 且均为直角三角形， ∴以OP为直径的圆就是△ABP的外接圆， ∵P(4，2)， ∴|OP|==2， 且线段OP的中点坐标为(2，1)， ∴△ABP的外接圆方程是(x-2)2+(y-1)2=5. 6.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(-1，1)且与y轴交于点P，则点P的坐标为(　　) A.(3，0) B.(-3，0) C.(0，-3) D.(0，3) 【答案】D 【解析】设P(0，y)，因为l1∥l2，所以=2， 所以y=3，即P(0，3). 7.以A(2，-5)，B(4，-1)为端点的线段的垂直平分线的方程是(　　) A.y-(-3)=2(x-3) B.y-3=2(x-3) C.y-3=-(x-3) D.y-(-3)=-(x-3) 【答案】D 【解析】由A(2，-5)，B(4，-1)， 知线段AB的中点坐标为(3，-3)， 又由斜率公式可得kAB==2， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为 k=-=-， 所以线段AB的垂直平分线的方程为 y-(-3)=-(x-3). 8.已知点E，圆O：x2+y2=16，点F是l：2x-y+16=0上的动点，过F作圆O的切线，切点分别为A，B，直线AB与OF交于点M，则|ME|的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设M(x，y)，由题可知△AOF∽△MOA，则=， 即|OA|2=|OF|·|OM|， ∴==，∴点F， 将点F的坐标代入l：2x-y+16=0，化简得(x+1)2+=(x，y不同时为0)， 故点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆(去掉(0，0))， 又(-2+1)2+=5>，点E在该圆外， ∴|ME|min=-=-=. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知直线l：y=-x，其中l1，l2，l的图象如图所示，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2，则下列说法正确的是(　　) A.-1<k2<0 B.k1<k2<-1 C.b1>b2 D.>0 【答案】AC 【解析】由题图可知，k1<-1<k2<0，b2<0<b1. 10.△ABC的三个顶点坐标分别为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是(　　) A.边BC与直线3x-2y+1=0平行 B.边BC上的中线所在直线的方程为5x+y-20=0 C.BC的垂直平分线的方程为3x+2y-19=0 D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5) 【答案】BCD 【解析】直线BC的斜率为=， 而直线3x-2y+1=0的斜率为， 所以两直线不平行，A错误； BC的中点坐标为(3，5)，又边BC上的中线过点A(4，0)，所以中线的斜率为=-5， 则所求直线的方程为y=-5(x-4)， 即5x+y-20=0，B正确； 与边BC垂直的直线的斜率为-，所以垂直平分线的方程为y-5=-(x-3)，即3x+2y-19=0，C正确； 过点A且平分△ABC面积的直线过边BC的中点，中点坐标为(3，5)，D正确. 11.已知圆的圆心在直线x=-2上，且与直线l1：x+y-2=0相切于点Q(-1，)，过点D(-1，0)作该圆两条互相垂直的弦AE，BF，线段AE，BF的中点分别为M，N，则下列结论正确的是(　　) A.圆的方程为(x+2)2+y2=4 B.弦AE的长度的最大值为2 C.直线MN恒过定点 D.存在点G，使得|NG|为定值 【答案】ACD 【解析】对于A，设圆心为C(-2，b)，圆的半径为r， 由题设可知=，解得b=0，所以r==2， 故圆的方程为(x+2)2+y2=4，故A正确； 对于B，当AE过圆心C时，AE长度最长，为圆的直径4，故B错误； 对于C，当AE与BF均不是直径时，如图， 线段AE，BF的中点分别为M，N， 所以CM⊥AE，CN⊥BF， 又AE⊥BF，所以四边形MDNC为矩形， 所以MN与CD互相平分， 即MN过CD的中点，当AE与BF一条为直径时，直线MN即为直线CD，也过点，故C正确； 对于D，存在G， 使|NG|=|CD|=，为定值，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.直线3x-2y+6=0与两坐标轴围成的面积为　　　　.  【答案】3 【解析】令x=0,则y=3;令y=0,则x=-2. S=×|3|×|-2|=3. 13.若直线l1：x-y=0，l2：x+y-2=0，l3：5x-ky-15=0能围成一个三角形，则k的取值范围是　　　　　　. 【答案】{k|k≠±5，且k≠-10} 【解析】由l1∥l3得k=5，由l2∥l3得k=-5， 由得 若点(1，1)在l3上，则k=-10. 故若直线l1，l2，l3能围成一个三角形，则k≠±5，且k≠-10. 14.已知直线l：x+y-4=0与圆C：(x-3)2+y2=4交于A，B两点，与y轴交于点P，H为AB的中点，则PH的长为　　　. 【答案】 【解析】联立得2x2-14x+21=0，解得x=，所以不妨令A，B，则中点H的横坐标为×=，纵坐标为×=，所以H， 又直线l：x+y-4=0， 当x=0时，y=4，所以P(0，4)， 所以|PH|==. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.已知直线2x+y-2=0与圆C：x2+y2+4x-2y+a=0(a∈R)交于A，B两点，且|AB|=4. (1)求a的值； (2)求过点P(1，2)的圆C的切线方程. 【答案】解(1)将圆C：x2+y2+4x-2y+a=0化为(x+2)2+(y-1)2=5-a， 圆心C(-2，1)，半径r=，且a<5， 设AB的中点为D，则|AD|2+|DC|2=r2， 圆心C到直线2x+y-2=0的距离d=|DC|===. 因为|AB|=4，所以|AD|=2， 所以22+()2=5-a， 解得a=-4，满足题意. 所以a=-4. (2)由(1)得(x+2)2+(y-1)2=9， 点P在圆C外， 当过点P的直线斜率不存在时，直线方程为x=1，与圆C相切，满足题意； 当过点P的直线斜率存在时，直线方程可设为y-2=k(x-1)，即kx-y-k+2=0. 所以=3， 解得k=-， 所以切线方程为y-2=-(x-1)， 即4x+3y-10=0. 综上，过点P(1，2)的圆C的切线方程为x=1和4x+3y-10=0. 16.直线l的方程为(m+1)x+y-2m-3=0(m∈R). (1)证明：无论m为何值，直线l过定点； (2)已知O是坐标原点，若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当△ABO的面积最小时，求△ABO的周长及此时直线l的截距式方程. 【答案】(1)证明直线l的方程(m+1)x+y-2m-3=0变形为m(x-2)+x+y-3=0， 由得 故直线l恒过定点(2，1). (2)解由(m+1)x+y-2m-3=0， 依题意m+1≠0，即m≠-1， 令x=0，得到y=2m+3，令y=0，得到x=，由得m>-1， 所以S△ABO=(2m+3)·=， 令m+1=t>0，得到S△ABO===2t++2≥2+2=4， 当且仅当2t=，即t=时取等号，此时m=-，直线l的方程为+=1， 又A(4，0)，B(0，2)，|AB|==2， 所以当△ABO的面积最小时，△ABO的周长为6+2，此时直线l的截距式方程为+=1. 17.已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】解：（1）联立两直线，解得， 设直线垂直于直线， 所以直线的斜率等于； 所以直线的方程为，即. （2）设点关于直线对称的点为， ，解得,所以 所以 ， 所以的最小值为. 18.已知两圆和．求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 【答案】解：(1)圆化为标准方程， 圆心，半径. 圆化为标准方程， 圆心，半径. 两圆外切时，，即. 解得. (2)当时，的方程为，. 两圆方程相减得公共弦所在直线：， 代入，得. 圆心到直线的距离. 公共弦长为. 19.如图，已知圆O：x2+y2=4，P是直线y=4上的动点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B. (1)若PA⊥x轴，求四边形OAPB的面积；(4分) (2)若直线PA，PB与x轴分别交于点M(m，0)，N(n，0)，证明：9m2+9n2+30mn为定值；(5分) (3)求线段AB的中点Q的轨迹方程.(6分) 【答案】(1)解由题可知，圆O的圆心O(0，0)，半径为2，当PA⊥x轴时，不妨设P(2，4)，A(2，0)，如图所示， 所以|AP|=4，|OA|=2，且OA⊥AP， 连接OP，由切线长定理可得|PA|=|PB|，|PO|=|PO|，|OA|=|OB|，故△PAO≌△PBO， 则S四边形OAPB=2S△OAP=2××|OA|×|AP|=2××2×4=8. (2)证明设P(2t，4)，因为M(m，0)， 所以直线PM的方程为4(x-m)=(2t-m)y，即4x-(2t-m)y-4m=0， 因为直线PM与圆O相切，所以=2， 整理得3m2+4tm-4t2-16=0，同理有3n2+4tn-4t2-16=0， 所以m，n是关于x的方程3x2+4tx-4t2-16=0的两个实根， 所以m+n=-，mn=-， 所以9m2+9n2+30mn=9(m+n)2+12mn=16t2-4(4t2+16)=-64为定值. (3)解由题知OA⊥AP，OB⊥BP， 所以点A，B在以OP为直径的圆上， 由O(0，0)，P(2t，4)得该圆的方程为(x-t)2+(y-2)2=t2+4， 将(x-t)2+(y-2)2=t2+4与x2+y2=4相减，得直线AB的方程为tx+2y-2=0. 取x=0，得y=1，所以直线AB过定点R(0，1)， 又因为Q为AB的中点，所以OQ⊥AB，当Q不与R重合时，OQ⊥RQ，又Q可与R重合， 所以点Q在以OR为直径的圆上，该圆的方程为x2+=. 又AB不可能是该圆的直径，所以点Q不可能与原点重合， 所以点Q的轨迹方程为x2+=(y≠0). 学科网（北京）股份有限公司 $