专题04 三角形中与角度有关的计算（期中专项训练·冲刺版）八年级数学上学期新教材人教版

专题04 三角形中与角度有关的计算 题型1 三角形的内角与外角的基础计算（常考点） 题型4 三角形中的折叠（难点） 题型2 直角三角板（重点） 题型5 三角形同一个顶点的高线与角平分线的夹角（重难点） 题型3 三角形与平行线（重点） 题型6 三角形的角平分线的夹角（重难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形的内角与外角的基础计算（共6小题） 1．（2025秋•平塘县期中）两根木条A，B按如图所示的方式放在地面上，若∠3＝100°，∠1＝45°，则∠2＝（　　） A．125° B．100° C．80° D．55° 2．（2025秋•惠州期中）如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 3．（2025秋•栖霞市期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的一条角平分线，BE是△ABC的边AC上的高，AD，BE相交于点O．若∠ABC＝82°，∠C＝56°，则∠AOB的度数是（　　） A．118° B．112° C．111° D．103° 4．（2026春•上海期中）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，若∠D保持不变，则图中∠ECF应（　　） A．减少20° B．减少10° C．增加20° D．增加10° 5．（2025秋•临泉县期中）如图，点D，E分别在线段AC，BC上，连接AE，BD交于点F．若∠A＝23°，∠B＝47°，∠C＝42°，则∠AFD的度数为（　　） A．65° B．68° C．70° D．89° 6．（2025秋•台山市校级期中）如图，在△CEF中，∠E＝78°，∠F＝47°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（　　） A．45° B．47° C．55° D．78° 题型二 直角三角板（共5小题） 7．（2025秋•湖北期中）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．75° 8．（2025秋•龙马潭区校级期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　） A．45° B．60° C．105° D．120° 9．（2024秋•官渡区校级期中）小明把一副三角尺按如图所示摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，∠α+∠β的度数为（　　） A．210° B．235° C．180° D．200° 10．（2026春•浦东新区期中）综合与实践 如图（1），将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ABC＝60°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°；如图（2），固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记∠CAE＝α（0°＜∠α＜180°）． 【操作发现】 （1）在旋转过程中，当α为________ 度时，AD⊥BC； （2）当BC与△ADE的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数； 【拓展应用】 （3）当0°＜∠α＜45°时，连接BD，利用图（3）探究∠BDE+∠CAE+∠DBC的值的大小是否变化，并说明理由． 11．（2025春•常州校级期中）一副三角板如图1摆放，∠C＝∠DFE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转），设旋转时间为t秒． （1）当t＝_____ 秒时，DE∥AB；当t＝_______ 秒时，DE⊥AB； （2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，若△AFP有两个内角相等，求t的值； （3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图2，连接AE，设∠BAE＝x°，∠AED＝y°，∠DFB＝z°，请求出x+y+z的值． 题型三 三角形与平行线（共5小题） 12．（2026春•西湖区校级期中）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠EGF＝∠MPN＝90°，∠GEF＝60°，∠PNM＝45°，则∠BEG＝（　　） A．130° B．135° C．140° D．145° 13．（2025秋•东阳市期中）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝43°，∠2＝103°，则∠A的度数是（　　） A．72° B．50° C．70° D．60° 14．（2026春•和平区校级期中）如图是一架婴儿车的示意图，其中AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝70°，则∠3的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 15．（2026春•浙江期中）数学课上，同学们用△ABC和两条平行线展开探究，如图，a∥b，∠BAC＜∠BCA． （1）若∠ABC＝90°． ①如图1，点B落在a、b之间（不含在a，b上），∠CFG＝60°，求∠BDE的度数； ②如图2，点B落在a上，作∠CBG的平分线并反向延长交∠BDF的平分线于点H，求∠H的度数； （2） 如图3，点A、C落在b上，点B落在a、b之间，作直线AB、CB，分别交a于点D、E，P是AB边上的一点，连结EP，CE恰好平分∠DEP，Q是射线BC上的一点，连结AQ，若∠BAQ＝2∠CAQ，设∠EPA＝α，∠CEP＝β，∠AQE＝γ，直接写出α、β、γ之间的数量关系． 16．（2026春•荔湾区校级期中）在数学活动课上，同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA＝90°，∠B＝60°． （1）在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数； （2）如图2，在探究过程中甲组同学把图1中的直线a向上移动，使直线a与线段AB（不包括端点A、B）相交，且始终保持a∥b．并把∠2的位置改变至图2中的位置，探究∠1+∠2的大小是否发生变化，并说明理由； （3）如图3，乙组同学改变三角板的位置，将直角三角板的一边CA放在直线b上，另一边CB在直线b的下方．过点C在直线b的上方作射线CD，使∠ACD＝110°，将图3中三角板绕点C以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为t秒．当20＜t＜27时，在旋转的过程中∠DCB与∠ECA始终满足关系x∠DCB+∠ECA＝y°（x，y为常数），求x+y的值． 题型四 三角形中的折叠（共5小题） 17．（2025秋•阿克陶县期中）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 18．（2025秋•珠海期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝21°，则∠BDC等于（　　） A．42° B．63° C．66° D．76° 19．（2026春•青岛期中）如图，在三角形纸片ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，将三角形纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若EF⊥AC，∠BDF＝68°，则∠A的度数为（　　） A．68° B．72° C．79° D．82° 20．（2025秋•罗山县期中）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F． （1）【问题呈现】如图1，若∠A＝100°，求∠BFD的度数； （2）【问题推广】如图2，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2＝160°，求∠BFC的度数． 21．（2025秋•皮山县期中）现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠． 研究（1）：如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ___________ ． 研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系是 ______________ ； 研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由． 题型五 三角形重要线段（中线/高/角平分线）（共6小题） 22．（2026春•佛山校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝20°，AD平分∠CAB，AE⊥BC于点E，则∠DAE的度数为（　　） A．20° B．60° C．30° D．40° 23．（2026春•西安校级期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝40°，∠C＝80°，求∠EAD的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 24．（2025秋•鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD是△ABC的高，AE＝BE． （1）若∠B＝40°，求∠EAD的度数； （2）若∠B为∠EAD的4倍，求∠C的度数． 25．（2025秋•汉阴县期中）如图，在△ABC中，∠B＞∠C，AD平分∠BAC交BC于点D，P是AD上一点（不与点D重合），过点P作PE⊥BC于点E． （1）如图1，当∠B＝2∠C＝60°，且点P与点A重合时，求∠EPD的度数； （2）如图2，当△ABC是锐角三角形，且点P与点A不重合时，过点A作AF⊥BC于点F，若∠EPD＝20°，求∠B﹣∠C的度数． 26．（2026春•中原区校级期中）如图1，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝40°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，则∠DAE＝________ ； 【拓展提问】 若将条件“∠B＝70°，∠C＝40°”改为∠B﹣∠C＝20°（∠B＞∠C），其余条件不变，求∠DAE的度数； 【拓展变式】 如图2，在△ABC中，AE平分∠BAC，在AE的延长线上任取一点M，过点M作MD⊥BC于点D．直接写出∠M、∠B、∠C的数量关系____________________ ． 27．（2025秋•蚌山区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ABC＜∠ACB＜90°，AD是BC边上的高线，AE是∠BAC的平分线． （1）若∠ABC＝35°，∠ACB＝65°，求∠DAE的度数； （2）根据（1）的计算结果，猜想∠DAE与∠ABC和∠ACB之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； （3）如图2，若∠ACB是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 28．（2024秋•碧江区 期中）已知△ABC中，∠B＞∠C，射线AE平分∠BAC，点F为射线AE上一点，过点F作FD⊥BC于点D． （1）若∠B＝66°，∠C＝34°． ①如图1，当点F与点A重合时，∠DAE＝________ ； ②如图2，当点F在线段AE上（不与端点重合）时，求∠DFE的度数； （2）设∠B＝x，∠C＝y，如图3，当点F在射线EF上时（不与点E重合），直接写出∠DFE的度数．（用含x，y的式子表示） 题型六 三角形的角平分线的夹角（共4小题） 29．（2025秋•台江区期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 30．（2025秋•周村区期中）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．150° 31．（2025秋•格尔木市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，它的两条外角平分线交于O，则∠BOC的度数为（　　） A．110° B．70° C．55° D．50° 32．（2025秋•包河区期中）已知直线AB与CD相交于点O，点E，F分别在射线OB和OD上． （1）如图1，∠BOD＝60°，EP平分∠OEF，FP平分∠OFE，求∠EPF的度数； （2）如图2，EP平分∠OEF，FG平分∠DFE，FG的反向延长线交EP于点P； ①若∠BOD＝60°，则∠P＝ _______ 度（直接写出结果，不需说理）； ②若∠BOD＝α°，求∠P的度数（请写出完整的推理过程）． （3）如图3，点G在FE的延长线上，∠OEF的角平分线EP、∠AOF的角平分线OP与∠OEG的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若△PEQ的某一个内角是∠P的2倍，请直接写出∠OFE的度数． 33．（2026春•朝阳区校级期中）概念认识：如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三等分线”，BE是“邻BC三等分线”． 【问题解决】 （1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三等分线”，则∠ABE＝_______ °； （2）如图②，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝72°，若∠B的邻AB三等分线与∠C的邻AC三等分线交于点P，则∠BPC＝_______ °； （3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三等分线和∠ACB邻BC三等分线，且∠BPC＝145°，求∠A的度数． （4）【延伸推广】在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三等分线与∠ACD的三等分线交于点P．若∠A＝x°，∠B＝y°，直接写出∠BPC的度数．（用含x，y的代数式表示） 34．（2026春•朝阳区校级期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝62°，则∠BPC＝_________ ； （2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E，其中∠A＝58°，求∠BEC的度数； （3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，其中∠A＝α．求∠BQC＝____________________ （用α表示）； （4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠CBQ、∠BCQ的平分线交于点P，则延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R与∠BPC的数量关系为________________ ． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题04 三角形中与角度有关的计算 题型1 三角形的内角与外角的基础计算（常考点） 题型4 三角形中的折叠（难点） 题型2 直角三角板（重点） 题型5 三角形同一个顶点的高线与角平分线的夹角（重难点） 题型3 三角形与平行线（重点） 题型6 三角形的角平分线的夹角（重难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形的内角与外角的基础计算（共6小题） 1．（2025秋•平塘县期中）两根木条A，B按如图所示的方式放在地面上，若∠3＝100°，∠1＝45°，则∠2＝（　　） A．125° B．100° C．80° D．55° 【答案】A 【解答】解：如图， ∵∠3＝100°，∠1＝45°， ∴由三角形的外角性质得： ∠4＝∠3﹣∠1＝100°﹣45°＝55°， 则∠2＝180°﹣∠4＝180°﹣55°＝125°， 故选：A． 2．（2025秋•惠州期中）如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 【答案】C 【解答】解：∵∠B＝20°，∠A＝40°， ∴∠BEC＝∠B+∠A＝60°， ∵∠C＝40°， ∴∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠BEC＝80°． 故选：C． 3．（2025秋•栖霞市期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的一条角平分线，BE是△ABC的边AC上的高，AD，BE相交于点O．若∠ABC＝82°，∠C＝56°，则∠AOB的度数是（　　） A．118° B．112° C．111° D．103° 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝56°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣82°﹣56°＝42°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAE∠BAC42°＝21°， ∵BE是△ABC的边AC上的高， ∴∠AEO＝90°， 又∵∠AOB是△AOE的外角， ∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝21°+90°＝111°． 故选：C． 4．（2026春•上海期中）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，若∠D保持不变，则图中∠ECF应（　　） A．减少20° B．减少10° C．增加20° D．增加10° 【答案】C 【解答】解：∵∠ABD＝75°，∠D＝35°， ∴∠BCD＝∠ABD﹣∠D＝75°﹣35°＝40°， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ECF＝180°﹣∠BCD﹣∠ACE＝180°﹣40°﹣90°＝50°， ∴50°﹣30°＝20°，即图中∠ECF应20°， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 5．（2025秋•临泉县期中）如图，点D，E分别在线段AC，BC上，连接AE，BD交于点F．若∠A＝23°，∠B＝47°，∠C＝42°，则∠AFD的度数为（　　） A．65° B．68° C．70° D．89° 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝23°，∠C＝42°， ∴∠AEC＝115°， ∵∠AEC＝∠B+∠BFE，∠B＝47°， ∴∠BFE＝115°﹣47°＝68°， ∵∠AFD和∠BFE为对顶角， ∴∠AFD＝68°， 则∠AFD的度数为68°， 故选：B． 6．（2025秋•台山市校级期中）如图，在△CEF中，∠E＝78°，∠F＝47°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（　　） A．45° B．47° C．55° D．78° 【答案】C 【解答】解：延长EC交AB于点H，如图所示： ∵∠E＝78°，∠F＝47°， ∴∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠F＝55°， ∵AB∥CF，AD∥CE， ∴∠BHE＝∠ECF＝55°，∠BHE＝∠A， ∴∠A＝55°． 故选：C． 题型二 直角三角板（共5小题） 7．（2025秋•湖北期中）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．75° 【答案】D 【解答】解：由题意得：∠1＝90°﹣60°＝30°， 则∠α＝45°+30°＝75°， 故选：D． 8．（2025秋•龙马潭区校级期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　） A．45° B．60° C．105° D．120° 【答案】C 【解答】解：将一副三角板按如图方式叠放，如图，A、B、C、D标记如下： 根据题意可知：∠ABD＝90°，∠CBD＝45°， ∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝90°﹣45°＝45°， ∵∠A＝60°， ∴∠1＝∠A+∠ABC＝60°+45°＝105°， 即如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于105°， 故选：C． 9．（2024秋•官渡区校级期中）小明把一副三角尺按如图所示摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，∠α+∠β的度数为（　　） A．210° B．235° C．180° D．200° 【答案】A 【解答】解：如图：∠α＝∠1+∠D，∠β＝∠4+∠F， ∴∠α+∠β ＝∠1+∠D+∠4+∠F， ＝90°+30°+90° ＝210°， ∴∠α+∠β的度数为210°． 故选：A． 10．（2026春•浦东新区期中）综合与实践 如图（1），将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ABC＝60°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°；如图（2），固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记∠CAE＝α（0°＜∠α＜180°）． 【操作发现】 （1）在旋转过程中，当α为　105　 度时，AD⊥BC； （2）当BC与△ADE的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数； 【拓展应用】 （3）当0°＜∠α＜45°时，连接BD，利用图（3）探究∠BDE+∠CAE+∠DBC的值的大小是否变化，并说明理由． 【答案】（1）105°； （2）15°，105°，150°； （3）当0°＜α＜45°，∠BDE+∠CAE+∠DBC＝105°，保持不变，如图，设BD分别交AC、AE于点M、N， 由题意可得：∠ANM＝∠E+∠BDE，∠AMN＝∠C+∠DBC， ∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC＝180°， ∵∠C＝30°，∠E＝45°， ∴∠BDE+∠CAE+∠DBC＝105°． 【解答】解：（1）记AD与BC的交点为F， ∵AD⊥BC， ∴∠AFC＝90°， ∴∠DAC＝180°﹣∠AFC﹣∠C＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠CAE＝∠DAC+∠EAD＝60°+45°＝105°， 即α＝105°； 故答案为：105； （2）①当AD∥BC时， 记DE与AC的交点为点F， ∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠C＝30°， ∵∠DAE＝45°， ∴∠CAE＝15°，即α＝15°； ②当DE∥BC时，如图1所示， 结合（1）得，AD⊥BC，∠CAE＝105°， ∴α＝105°； ③当AE∥BC时，如图3所示，∠EAC+∠C＝180°， ∵∠C＝30°， ∴∠EAC＝150°，即α＝150°， ∴旋转角α的度数是：15°，105°，150°； （3）拓展应用：当0°＜α＜45°，∠BDE+∠CAE+∠DBC＝105°，保持不变，理由如下： 如图，设BD分别交AC、AE于点M、N， 由题意可得： ∠ANM＝∠E+∠BDE，∠AMN＝∠C+∠DBC， ∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC＝180°， ∵∠C＝30°，∠E＝45°， ∴∠BDE+∠CAE+∠DBC＝105°． 11．（2025春•常州校级期中）一副三角板如图1摆放，∠C＝∠DFE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转），设旋转时间为t秒． （1）当t＝　5　 秒时，DE∥AB；当t＝　35　 秒时，DE⊥AB； （2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，若△AFP有两个内角相等，求t的值； （3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图2，连接AE，设∠BAE＝x°，∠AED＝y°，∠DFB＝z°，请求出x+y+z的值． 【答案】（1）5，35； （2）10秒或25秒或40秒； （3）105． 【解答】解：（1）如图1，当DE∥AB时，∠EDF＝∠BPF＝45°， ∵AF是∠BAC的平分线， ∴∠BAF∠BAC＝30°， 又∵∠BPF为△APF的一个外角， ∴∠PFA＝∠BPF﹣∠BAF＝45°﹣30°＝15°， ∴（秒）； 如图2，当DE⊥AB时，∠DPB＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴∠APF＝∠DPB＝45°， ∵∠BAF＝30°， ∴∠AFP＝180°﹣∠APF﹣∠BAF＝180°﹣45°﹣30°＝105°， ∴（秒）． 故答案为：5，35． （2）①如图3，当∠PAF＝∠PFA时， ∵∠PAF＝30°， ∴∠PFA＝30°， ∴（秒）； ②如图4，当∠PFA＝∠APF时， ∵∠PAF＝30°，∠PAF+∠PFA+∠APF＝180°， ∴， ∴（秒）； ③如图5，当∠PAF＝∠APF时， ∠AFP＝180°﹣∠PAF﹣∠APF＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴（秒）， 综上，当t为10秒或25秒或40秒时，△AFP有两个内角相等． （3）∵∠BMN是△AME的一个外角， ∴∠BMN＝∠BAE+∠AED＝x°+y°， ∵∠MNB是△DFN的一个外角， ∴∠MNB＝∠DFB+∠D＝z°+45°， 又∵∠BMN+∠MNB+∠B＝180°，∠B＝30°， ∴x°+y°+z°+45°+30°＝180°， ∴x°+y°+z°＝105°， ∴x+y+z＝105． 题型三 三角形与平行线（共5小题） 12．（2026春•西湖区校级期中）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠EGF＝∠MPN＝90°，∠GEF＝60°，∠PNM＝45°，则∠BEG＝（　　） A．130° B．135° C．140° D．145° 【答案】B 【解答】解：延长FG交AB于点K， ∵AB∥CD， ∴∠EKG＝∠PNM＝45°， ∵∠EGF＝90°， ∴∠EGK＝90°， ∴∠KEG＝90°﹣∠EKG＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BEG＝180°﹣∠KEG＝135°， 故选：B． 13．（2025秋•东阳市期中）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝43°，∠2＝103°，则∠A的度数是（　　） A．72° B．50° C．70° D．60° 【答案】D 【解答】解：如图所示： ∵a∥b， ∴∠2＝∠4， ∵∠4＝∠3+∠A， ∴∠A＝∠4﹣∠3， ∵∠1＝∠3，∠1＝43°，∠2＝103°， ∴∠A＝103°﹣43°＝60°． 故选：D． 14．（2026春•和平区校级期中）如图是一架婴儿车的示意图，其中AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝70°，则∠3的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【解答】解：∵∠1＝110°，∠2＝70°， ∴∠A＝∠1﹣∠2＝110°﹣70°＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠3＝40°（两直线平行，内错角相等）． 故选：B． 15．（2026春•浙江期中）数学课上，同学们用△ABC和两条平行线展开探究，如图，a∥b，∠BAC＜∠BCA． （1）若∠ABC＝90°． ①如图1，点B落在a、b之间（不含在a，b上），∠CFG＝60°，求∠BDE的度数； ②如图2，点B落在a上，作∠CBG的平分线并反向延长交∠BDF的平分线于点H，求∠H的度数； （2） 如图3，点A、C落在b上，点B落在a、b之间，作直线AB、CB，分别交a于点D、E，P是AB边上的一点，连结EP，CE恰好平分∠DEP，Q是射线BC上的一点，连结AQ，若∠BAQ＝2∠CAQ，设∠EPA＝α，∠CEP＝β，∠AQE＝γ，直接写出α、β、γ之间的数量关系． 【答案】（1）①∠BDE＝150°，②∠H＝45°； （2）α+β＝3γ．γ+α＝3β． 【解答】解：（1）解：①如图，过点B作BI∥a， ∴∠CFG＝∠CBI＝60°． ∵∠ABC＝90°， ∴∠IBA＝90°﹣60°＝30°． ∵BI∥a，a∥b， ∴BI∥b． ∴∠IBA+∠BDE＝180°， ∴∠BDA＝180°﹣30°＝150°． ②如图2，过点H作HN∥a， 设∠CBM＝x°， ∵BH平分∠CBG， ∴∠CBG＝2x°，∠CBM＝∠MBG＝∠PBH＝x°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠GBA＝90°﹣∠CBG＝90°﹣2x°． ∵DH平分∠BDF， ∴． ∵HN∥a，a∥b， ∴HN∥a∥b． ∴∠HDF＝∠NHD＝45°﹣x°，∠MHN＝∠PBH＝x°， ∴∠BHD＝∠MHN+∠NHD＝x°+45°﹣x°＝45°． （2）解：如图3，过点Q作QX∥a，过点P作PY∥a， ∵CE平分∠DEP， ∴∠DEP＝2β，∠CEP＝∠CED＝β， ∵QX∥a， ∴∠EQX＝∠CED＝β． ∴∠XQA＝∠AQE﹣EQX＝γ﹣β． ∵QX∥a，a∥b， ∴QX∥b． ∴∠XQA＝∠CAQ＝γ﹣β． ∵∠BAQ＝2∠CAQ， ∴∠DAC＝3∠CAQ＝3γ﹣3β． ∵a∥b，PY∥a， ∴PY∥a∥b． ∴∠DEP＝∠EPY＝2β，∠DAC＝∠YPA＝3γ﹣3β， ∴∠EPA＝∠EPY+∠YPA＝2β+3γ﹣3β＝α． ∴3γ﹣β＝α． ∴α+β＝3γ． 如图Q在BC延长线上 ∵∠BAQ＝2∠CAQ， ∴∠BAC＝∠CAQ， ∵a∥b， ∴∠EDA＝∠DAC， 设∠EDA＝∠DAC＝∠CAQ＝y° ∵CE平分∠DEP， ∴∠DEP＝2β，∠CEP＝∠CED＝β， ∵∠EPA是△DEP的外角， ∴α＝y°+2β①， △DBE与△ABQ中，y°+β＝γ+2y°，β＝γ+y°②， 联立①，②，解得γ+α＝3β， 综上α+β＝3γ．γ+α＝3β， 16．（2026春•荔湾区校级期中）在数学活动课上，同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA＝90°，∠B＝60°． （1）在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数； （2）如图2，在探究过程中甲组同学把图1中的直线a向上移动，使直线a与线段AB（不包括端点A、B）相交，且始终保持a∥b．并把∠2的位置改变至图2中的位置，探究∠1+∠2的大小是否发生变化，并说明理由； （3）如图3，乙组同学改变三角板的位置，将直角三角板的一边CA放在直线b上，另一边CB在直线b的下方．过点C在直线b的上方作射线CD，使∠ACD＝110°，将图3中三角板绕点C以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为t秒．当20＜t＜27时，在旋转的过程中∠DCB与∠ECA始终满足关系x∠DCB+∠ECA＝y°（x，y为常数），求x+y的值． 【答案】（1）44°； （2）不变化，理由见解答； （3）19． 【解答】解：（1）如图1， ∵∠1＝46°，∠1+∠ACB+∠3＝180°，∠ACB＝90°， ∴∠3＝180°﹣∠ACB﹣∠1 ＝180°﹣46°﹣90° ＝44° ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝44°； （2）不变化，理由： 如图2，过点B作BD∥a， ∴∠3＝∠2， ∵BD∥a，a∥b， ∴BD∥b， ∴∠4＝∠1， ∴∠3+∠4＝∠1+∠2＝∠ABC． ∵∠ABC＝60°， ∴∠1+∠2＝60°； （3）如图： ∵∠ACB＝90°，∠ACD＝110°， ∴∠ACB+∠ACD＝200°， 当t＝27时，旋转了10°×27＝270°，此时CB与CE重合， 当t＝20时，旋转了10°×20＝200°，此时CB与CD重合， ∴当20＜t＜27时，CB在∠DCE内部，如图4， 由图3知，∠DCE＝180°﹣∠DCA＝70°， ∴∠DCB′＝70°﹣∠B′CE， ∵∠ECA′＝90°﹣∠B′CE， 又∵x∠DCB′+∠ECA′＝y° ∴90°﹣∠B′CE+x（70°﹣∠B′CE）＝y°， 整理得：70°x+90°﹣y°＝（x+1）∠B′CE， ∵等式与∠B′CE的大小无关， ∴x+1＝0， ∴x＝﹣1， ∴y＝20， ∴x+y＝19． 题型四 三角形中的折叠（共5小题） 17．（2025秋•阿克陶县期中）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】D 【解答】解：三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°， 根据三角形内角和定理可得： ∠C＝∠C'＝180°﹣65°﹣70°＝45°； 如图，设C'D与BC交于点O， 则∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'， 则∠2＝∠C+∠1+∠C'＝45°+20°+45°＝110°． 故选：D． 18．（2025秋•珠海期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝21°，则∠BDC等于（　　） A．42° B．63° C．66° D．76° 【答案】C 【解答】解：由折叠的性质可知：∠BCD＝∠ACD∠ACB＝45°， ∵∠BDC是△ACD的外角， ∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝45°+21°＝66°． 故选：C． 19．（2026春•青岛期中）如图，在三角形纸片ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，将三角形纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若EF⊥AC，∠BDF＝68°，则∠A的度数为（　　） A．68° B．72° C．79° D．82° 【答案】C 【解答】解：∵∠BDF＝68°， 由折叠的性质可得∠ADE＝∠FDE（180°﹣∠BDF）（180°﹣68°）＝56°， ∵EF⊥AC， ∴∠AEF＝90°， 由折叠的性质可得∠AED＝∠FED∠AEF＝45°， ∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝79°． 故选：C． 20．（2025秋•罗山县期中）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F． （1）【问题呈现】如图1，若∠A＝100°，求∠BFD的度数； （2）【问题推广】如图2，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2＝160°，求∠BFC的度数． 【答案】（1）40°； （2）130°． 【解答】解：（1）在△ABC中， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F， ∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB， ∴2∠FBC+2∠FCB＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴， ∵∠BFD是△FBC的一个外角， ∴根据三角形外角的性质可得，； ∵∠A＝100°， ∴， 则∠BFD的度数为40°； （2）∵∠AMF＝180°﹣∠1，∠ANF＝180°﹣∠2，∠1+∠2＝160°， ∴∠AMF+∠ANF＝360°﹣（∠1+∠2）＝200°， 由折叠性质得：∠AMF＝2∠AMN，∠ANF＝2∠ANM， ∴2∠AMN+2∠ANM＝∠AMF+∠ANF＝200°， ∴∠AMN+∠ANM＝100°， ∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝80°， 由（1）得：∠FBC+∠FCB＝90°∠A＝90°80°＝90°﹣40°＝50°， ∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣50°＝130°； ∠BFC的度数为130°． 21．（2025秋•皮山县期中）现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠． 研究（1）：如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 　∠1＝2∠A ． 研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系是 　∠1+∠2＝2∠A ； 研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是： 由折叠得：∠A＝∠DA′A， ∵∠1＝∠A+∠DA′A， ∴∠1＝2∠A； 故答案为：∠1＝2∠A； （2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是： 由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∵∠ADB+∠AEC＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED， ∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A； 故答案为：∠1+∠2＝2∠A； （3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠DAE，理由是： ∵∠2＝∠AFE+∠DAE，∠AFE＝∠A′+∠1， ∴∠2＝∠A′+∠DAE+∠1， ∵∠DAE＝∠A′， ∴∠2＝2∠DAE+∠1， ∴∠2﹣∠1＝2∠DAE． 故答案为：（1）∠1＝2∠A； （2）∠1+∠2＝2∠A． （3）∠2﹣∠1＝2∠DAE． 题型五 三角形重要线段（中线/高/角平分线）（共6小题） 22．（2026春•佛山校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝20°，AD平分∠CAB，AE⊥BC于点E，则∠DAE的度数为（　　） A．20° B．60° C．30° D．40° 【答案】A 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝20°， ∴∠CAB＝180°﹣60°﹣20°＝100°（三角形内角和定理）， ∵AD平分∠CAB， ∴（角平分线的定义）， 又∵AE⊥BC， ∴∠EAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝50°﹣30°＝20°， 故选：A． 23．（2026春•西安校级期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝40°，∠C＝80°，求∠EAD的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵AE是角平分线， ∴（角平分线的定义）， ∵AD是高， ∴∠ADE＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝50°﹣30°＝20°． 则∠EAD的度数为20°． 故选：B． 24．（2025秋•鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD是△ABC的高，AE＝BE． （1）若∠B＝40°，求∠EAD的度数； （2）若∠B为∠EAD的4倍，求∠C的度数． 【答案】（1）10°； （2）60°． 【解答】解：（1）在△EAB中，AE＝BE，∠B＝40°， ∴∠EAB＝∠B＝40°， ∵∠AED是△EAB的外角， ∴∠AED＝∠EAB+∠B＝80°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADE＝90°， 在Rt△ADE中，∠EAD＝90°﹣∠AED＝10°； （2）∵∠B为∠EAD的4倍， ∴设∠EAD＝α，则∠B＝4α， 在△EAB中，AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B＝4α， ∵∠AED是△EAB的外角， ∴∠AED＝∠EAB+∠B＝8α， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADE＝90°， 在Rt△ADE中，∠EAD+∠AED＝90， ∴α+8α＝90， 解得：α＝10°， ∴∠EAB＝∠B＝4α＝40°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠EAB＝80°， 在△ABC中，∠C＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝180°﹣（40°+80°）＝60°． 25．（2025秋•汉阴县期中）如图，在△ABC中，∠B＞∠C，AD平分∠BAC交BC于点D，P是AD上一点（不与点D重合），过点P作PE⊥BC于点E． （1）如图1，当∠B＝2∠C＝60°，且点P与点A重合时，求∠EPD的度数； （2）如图2，当△ABC是锐角三角形，且点P与点A不重合时，过点A作AF⊥BC于点F，若∠EPD＝20°，求∠B﹣∠C的度数． 【答案】（1）15°； （2）40°． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠B＝2∠C＝60°， ∴∠C＝30°， ∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴∠ADE＝∠C+∠DAC＝30°+45°＝75°， ∵PE⊥BC， ∴∠PED＝90°， ∴∠EPD＝90°﹣75°＝15°； （2）∵PE⊥BC，AF⊥BC， ∴∠PED＝∠AFD＝90°， ∴PE∥AF，∠ADE＝90°﹣∠EPD＝70°，∠BAF＝90°﹣∠B， ∴∠DAC＝70°﹣∠C，∠FAD＝∠EPD＝20°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴90°﹣∠B+20°＝70°﹣∠C， ∴∠B﹣∠C＝40°． 26．（2026春•中原区校级期中）如图1，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝40°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，则∠DAE＝　15°　 ； 【拓展提问】 若将条件“∠B＝70°，∠C＝40°”改为∠B﹣∠C＝20°（∠B＞∠C），其余条件不变，求∠DAE的度数； 【拓展变式】 如图2，在△ABC中，AE平分∠BAC，在AE的延长线上任取一点M，过点M作MD⊥BC于点D．直接写出∠M、∠B、∠C的数量关系　∠M（∠B﹣∠C）　 ． 【答案】15°； 【拓展提问】10°； 【拓展变式】∠M（∠B﹣∠C）． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝70°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC∠BAC＝35°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 在△DAC中，∠DAC+∠ADC+∠C＝180°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣40°＝50°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝50°﹣35°＝15°． 故答案为：15°； 【拓展提问】解：在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°∠B∠C， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， 在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝90°﹣∠B， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD ＝90°∠B∠C﹣（90°﹣∠B） （∠B﹣∠C） 20°， ＝10°， 答：∠DAE的度数为10°； 【拓展变式】如图，过点A作AN⊥BC于点N， ∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC （180°﹣∠B﹣∠C） ＝90°（∠B+∠C）， ∵AN⊥BC， ∴∠ANB＝90°， ∴∠BAN＝90°﹣∠B． ∴∠NAE＝∠BAE﹣∠BAN ＝90°（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B） （∠B﹣∠C）， ∵AN⊥BC，MD⊥BC， ∴∠ANE＝∠MDE＝90°， ∴AN∥MD． ∴∠M＝∠NAE（∠B﹣∠C），即∠M（∠B﹣∠C）． 故答案为：∠M（∠B﹣∠C）． 27．（2025秋•蚌山区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ABC＜∠ACB＜90°，AD是BC边上的高线，AE是∠BAC的平分线． （1）若∠ABC＝35°，∠ACB＝65°，求∠DAE的度数； （2）根据（1）的计算结果，猜想∠DAE与∠ABC和∠ACB之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； （3）如图2，若∠ACB是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 【答案】（1）15°； （2）； （3）成立． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝35°，∠ACB＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣35°﹣65°＝80°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴． ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣65°＝25°， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣25°＝15°； （2）猜想：，证明如下： ∵，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB， ∴； （3）当∠ACB是钝角时，上述猜想成立， 设∠ABC＝α，∠ACB＝β（β＞90°）． 根据三角形内角和定理，∠BAC＝180°﹣α﹣β， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴， ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ACD＝180°﹣β， ∴∠DAC＝90°﹣（180°﹣β）＝β﹣90°， ∴∠DAE＝∠EAC+∠DAC＝（90°αβ）+（β﹣90°）（β﹣α）， ∴当∠ACB是钝角时，上述猜想仍然成立． 28．（2024秋•碧江区 期中）已知△ABC中，∠B＞∠C，射线AE平分∠BAC，点F为射线AE上一点，过点F作FD⊥BC于点D． （1）若∠B＝66°，∠C＝34°． ①如图1，当点F与点A重合时，∠DAE＝　16°　 ； ②如图2，当点F在线段AE上（不与端点重合）时，求∠DFE的度数； （2）设∠B＝x，∠C＝y，如图3，当点F在射线EF上时（不与点E重合），直接写出∠DFE的度数．（用含x，y的式子表示） 【答案】（1）①16°；②16°； （2）． 【解答】解：（1）①根据三角形的内角和定理可得：∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣66°﹣34°＝80°， ∵点F与点A重合， ∴∠BFC＝80°， 由条件可知， ∵FD⊥BC，即AD⊥BC， ∴在Rt△BAD中，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣66°＝24°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣24°＝16°， 故答案为：16°； ②在△ABC中，∠B＝66°，∠C＝34°， ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣66°﹣34°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∵∠DEF是△AEC的外角，且∠C＝34°， ∴∠DEF＝∠C+∠CAE， ∴∠DEF＝34°+40°＝74°， ∵FD⊥BC于点D， 在Rt△FDE中，∠FDE＝90°，∠DEF＝74°， ∴∠DFE＝180°﹣∠DEF﹣∠FDE＝180°﹣90°﹣74°＝16°； （2）由条件可知∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣x﹣y， 由条件可知， ∴， 在Rt△DEF中，∠FDE＝90°，， ∴． 题型六 三角形的角平分线的夹角（共4小题） 29．（2025秋•台江区期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】C 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， 又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°， ∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°， ∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°， ∵∠PBC＝20°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°， ∴∠A+∠P＝90°， 故选：C． 30．（2025秋•周村区期中）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．150° 【答案】C 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°， ∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F， ∴∠FBC∠ABC，∠FCB∠ACB， ∴∠FBC+∠FCB（∠ABC+∠ACB）＝60°， ∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝120°， 故选：C． 31．（2025秋•格尔木市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，它的两条外角平分线交于O，则∠BOC的度数为（　　） A．110° B．70° C．55° D．50° 【答案】C 【解答】解：由题意，得：， ∴ ， ∵∠BAC＝70°， ∴∠OBC+∠OCB＝35°+90°＝125°， ∴∠BOC＝180°﹣125°＝55°； 故选：C． 32．（2025秋•包河区期中）已知直线AB与CD相交于点O，点E，F分别在射线OB和OD上． （1）如图1，∠BOD＝60°，EP平分∠OEF，FP平分∠OFE，求∠EPF的度数； （2）如图2，EP平分∠OEF，FG平分∠DFE，FG的反向延长线交EP于点P； ①若∠BOD＝60°，则∠P＝ 　30　 度（直接写出结果，不需说理）； ②若∠BOD＝α°，求∠P的度数（请写出完整的推理过程）． （3）如图3，点G在FE的延长线上，∠OEF的角平分线EP、∠AOF的角平分线OP与∠OEG的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若△PEQ的某一个内角是∠P的2倍，请直接写出∠OFE的度数． 【答案】（1）120°； （2）①30°；②； （3）90°或60°． 【解答】解：（1）在△OEF中，∠BOD＝60°， ∴∠OEF+∠OFE＝180°﹣∠BOD＝120°， ∵EP平分∠OEF，FP平分∠OFE， ∴∠PEF∠OEF，∠PFE∠OFE， ∴∠PEF+∠PFE（∠OEF+∠OFE）＝60°， 在△PEF中，∠EPF＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝120°； （2）①∵EP平分∠OEF，FG平分∠DFE， ∴设∠OEP＝∠FEP＝θ，∠DFG＝∠EFG＝β， ∴∠OEF＝2θ，∠DFE＝2β， ∴∠DFG是△FPE的外角， ∴∠DFG＝∠P+∠FEP， ∴β＝∠P+θ， ∵∠DFE是△OEF的外角，∠BOD＝60°， ∴∠DFE＝∠BOD+∠OEF， ∴2β＝60°+2θ， ∴2（∠P+θ）＝60°+2θ， ∴∠P＝30°， 故答案为：30； ②∵∠BOD＝α°， 同①设∠OEP＝∠FEP＝θ，∠DFG＝∠EFG＝β， 则β＝∠P+θ，2β＝α°+2θ， ∴2（∠P+θ）＝α°+2θ， ∴∠P； （3）设∠OFE＝2θ， ∵∠OEF的角平分线为EP， ∴设∠OEP＝∠FEP＝β， ∴∠OEF＝2β， ∴∠OEG＝180°﹣∠OEF＝180°﹣2β， ∵∠OEG的角平分线为EQ， ∴∠OEQ∠OEG＝90°﹣β， ∴∠PEQ＝∠OEP+∠OEQ＝β+90°﹣β＝90°， ∵∠AOF是△OEF的外角， ∴∠AOF＝∠OFE+∠OEF＝2θ+2β， ∵∠AOF的角平分线为OP， ∴∠AOP∠AOF＝θ+β， ∴∠EOQ＝∠AOP＝θ+β， ∵∠AOP是△OPE的外角， ∴∠AOP＝∠P+∠OEP， ∴θ+β＝∠P+β， ∴∠P＝θ， 在△OEQ中，∠Q＝180°﹣（∠EOQ+∠OEQ）＝180°﹣（θ+β+90°﹣β）＝90°﹣θ， 在△PEQ中，∠PEQ＝90°，∠P＝θ，∠Q＝90°﹣θ， ∴当△PEQ的某一个内角是∠P的2倍时，有以下两种情况： ①当∠PEQ＝2∠P时，则90°＝2θ，此时∠OFE＝2θ＝90°； ②当∠Q＝2∠P时，则90°﹣θ＝2θ， 解得：θ＝30°，此时∠OFE＝2θ＝60°， 综上所述：∠OFE的度数为90°或60°． 33．（2026春•朝阳区校级期中）概念认识：如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三等分线”，BE是“邻BC三等分线”． 【问题解决】 （1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三等分线”，则∠ABE＝　40　 °； （2）如图②，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝72°，若∠B的邻AB三等分线与∠C的邻AC三等分线交于点P，则∠BPC＝　92　 °； （3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三等分线和∠ACB邻BC三等分线，且∠BPC＝145°，求∠A的度数． （4）【延伸推广】在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三等分线与∠ACD的三等分线交于点P．若∠A＝x°，∠B＝y°，直接写出∠BPC的度数．（用含x，y的代数式表示） 【答案】（1）40； （2）92； （3）75°； （4）或． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”， ∴， ∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝20°+20°＝40°， 故答案为：40； （2）∵∠B的邻AB三等分线与∠C的邻AC三等分线交于点P，∠B＝60°，∠C＝72°， ∴，， ∴∠BCP＝72°﹣24°＝48°，∠CBP＝60°﹣20°＝40°， ∴∠BPC＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝92°， 故答案为：92； （3）∵∠BPC＝145°， ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣145°＝35°， ∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三等分线和∠ACB邻BC三等分线， ∴，， ∴， ∴∠ABC+∠ACB＝3×35°＝105°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣105°＝75°； （4）∵∠ACD为△ABC的外角，∠A＝x°，∠ABC＝y°， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝x°+y°， ∵BP是“邻BC三等分线”， ∴， 当CP是“邻AC三等分线”时， ∴， ∴， ∴； 当CP是“邻CD三等分线”时， ∴， ∴； 综上：∠BPC的度数是或． 34．（2026春•朝阳区校级期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝62°，则∠BPC＝　121°　 ； （2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E，其中∠A＝58°，求∠BEC的度数； （3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，其中∠A＝α．求∠BQC＝　90°α　 （用α表示）； （4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠CBQ、∠BCQ的平分线交于点P，则延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R与∠BPC的数量关系为　∠BPC﹣∠R＝90°　 ． 【答案】（1）121°． （2）∠BEC的度数为29°． （3）90°α． （4）∠BPC﹣∠R＝90°． 【解答】解：（1）∵∠A＝62°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝118°， ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB（∠ABC+∠ACB）＝59°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝121°， 故答案为：121°． （2）∵∠ABD＝∠A+∠ACB，且∠A＝58°， ∴∠ABD﹣∠ACB＝∠A＝58°， ∵△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E， ∴∠BCE∠ACB，∠DBE∠ABD， ∵∠DBE＝∠BEC+∠BCE， ∴∠BEC＝∠DBE﹣∠BCE（∠ABD﹣∠ACB）＝29°， ∴∠BEC的度数为29°． （3）∵∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q， ∴∠QBC∠CBM（180°﹣∠ABC），∠QCB∠BCN（180°﹣∠ACB）， ∴∠QBC+∠QCB（180°﹣∠ABC）（180°﹣∠ACB）＝180°（∠ABC+∠ACB）， ∴∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣[180°（∠ABC+∠ACB）]（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，且∠A＝α， ∴∠BQC（180°﹣∠A）＝90°α， 故答案为：90°α． （4）∵点E在BC的延长线上， ∴∠BCQ+∠ECQ＝180°， ∵CP平分∠BCQ，CR平分∠ECQ， ∴∠PCQ∠BCQ，∠RCQ∠ECQ， ∴∠PCR＝∠PCQ+∠RCQ（∠BCQ+∠ECQ）＝90°， ∴∠CPR＝90°﹣∠R， ∵点R在BP的延长线上， ∴∠BPC+∠CPR＝180°， ∴∠BPC+90°﹣∠R＝180°， ∴∠BPC﹣∠R＝90°， 故答案为：∠BPC﹣∠R＝90°． $