学易金卷：八年级数学上学期期中模拟卷（新教材华东师大版，范围：八上第10～12章三角形全等的判定）

2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材华师版八年级上册第10~12（全等三角形的判定）章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列实数中：，无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2． （     ） A． B． C． D． 3．下列计算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列命题是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．同位角相等 5．已知一个正数的两个平方根是和，则这个数的值是（     ） A．4 B． C．36 D． 6．如图，，点C在线段上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．估算的值（     ） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 8．若，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 9．已知，则代数式的值为（     ） A．3 B． C．9 D． 10．已知关于的多项式是某个多项式的平方，则的值为（     ） A．4 B．8 C．8或 D．4或 11．若，且，则（     ） A． B． C．5 D．15 12．如图，在中，，是边上的中线，则长的取值范围是（     ） A． B． C． D．不能确定 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．因式分解：________． 14．__________． 15．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，化简：________． 16．已知为的平分线，…为的平分线上的若干点．如图1，连接，图中有1对全等三角形；如图2，连接，图中有3对全等三角形；如图3，连接，图中有6对全等三角形，依此规律，第2023个图形中有________对全等三角形． 三、解答题：本题共6小题，共72分。其中：17-18每题10分，19题16分，20题10分，21题14分， 22题12分。 17．计算 (1)； (2)； 18．解方程： (1) (2) 19．计算： (1)； (2) (3) (4) 20．已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则______； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． [拓展结论] （5）已知实数x、y满足，求的最值． 22．阅读理解，自主探究：我们都知道，构建数学模型图有助于帮助我们解决复杂的几何问题，下列图形是我们常见的一种模型，我们一起来探究一下吧！ (1)【问题解决】如图1，，直线是经过点A的直线，于D，于E，求证：． (2)【类比训练】如图2，中，，直线是经过点A的任一直线，于D，于E，证明：． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果，那么（2）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明三条线段之间有怎样的数量关系？并给出证明过程． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13._______________ 14. ___________ 15. _________________ 16. __________________ 3、 解答题：本题共6小题，共72分。其中：17-18每题10分，19题16分，20题10分，21题14分，22 题 12分。 2 17.（10分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （10分） （1） （2） 19． （16分） （1） （2） （3） （4） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（14分） 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 日 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、 单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][DJ 4.A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 12.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13 15. 16. 三、解答题：本题共6小题，共72分。其中：17-18每题10分，19题16分，20题10分，21题14分，22 题12分。 17.(10分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) (1) (2) 19.(16分) (1) (2) (3) (4) 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(14分) 22.(12分) 图 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ■ ■西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 4 5 6 8 10 11 12 B B B C C B A 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13. a(a+2)(a-2) 14.x7 15.-2a 16.2047276 三、解答题：本题共6小题，共72分。其中：17-18每题10分，19题16分，20题10分，21题14分，22 题12分。 17.(0 ②1+5 【详解】(1)解：-)+9-5-27 =-1+3-5-(-3) =-1+3-5+3(4分) =0;(6分) (2)解：25+64+2y-5-2 =5+(-4)+2-(2-V5) =5-4+2-2+V5 (4分) =1+V5 。(6分) 18.(a)x=t5 116 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)x=-1 【详解】(1)解：4x2-25=0 4x2=25 2=2 (4分) t=±万(6分》 (2)解：(2x-八+27=0 (2x-1=-27(4分) 2x-1=-3 x=-1(6分) 19.(①r'-8a6 (23x2-x-2 6)4m2-12mn+9n2 (④4y2+y 【详解】1)解：原式=a3-8a:(4分) (2)解：原式=3x2-3x+2x-2=3x2-x-2;(4分) (3)解：原式=4m2-12mn+9n2:(4分) (4)解：原 =2-4y2-+y=4y+.（4分) 20.(1)a=0,b=9,c=7 (2)±4 【详解】(1)解：，1的算术平方根是1， .a+1=1, a=0:(2分) ,-27的立方根是-3， ∴.b-12=-3, .b=9: 216 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :4的平方根是2，(4分) c-3=4, c=7;(6分) (2)解：a+b+c=0+9+7=16, ,16的平方根是±4，(8分) ∴.a+b+c的平方根是±4；(10分) 31 21.(1)13=32+22(2)-2(3)5(4)13(5) 16 【详解】解：(1)13=32+22 故答案为：13=32+22.(2分) (2)x2-4x+3 =x2-4x+4-4+3 =(x-2}2-1 .m=2,n=-1, 4m=2x-=2.5分) 故答案为：-2 (3)r+2-4x-6y+13=0 -4x+4+y-6y+9=0,(7分) 即 即-2}+0-3y=0 .x=2,y=3 .x+y=5,(9分) 故答案为：5 (④S=+4y2+4x-12y+k 316 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =x2+4x+4+4y2-12y+9-13+k =(x+2+(2y-3-13+k,（12) 要使S为“完美数”，则-13+k=0, 解得：k=13 (5)-2+x+y-5=0. 2 y=x2_5 +5 21 .y-x=x2_5 x+5-x 2 ∴y-x取的最小值6 ，(14分) 22.(1) 证明：因为BD⊥AE,CE⊥AE, 所以∠BAC=∠ADB=∠CEA=90° 所以∠BAD+∠CAE=90°，∠ABD+∠BAD=90° 所以∠ABD=∠CAE.(2分) 在△ABD和△CAE中， [∠AEC=∠BDA, ∠ABD=∠CAE, AB=AC, 416 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ABD≌ACAE(AAS) 所以 (4分) (2) 证明：因为BD⊥AE, 所以∠BAC=∠ADB=90° 所以∠BAD+∠CAD=90°，∠ABD+∠BAD=90° 所以∠ABD=∠CAD.(6分) 在△ABD和△CAE中， ∠AEC=∠BDA ∠ABD=∠CAD AB=AC ABD≌△CAE(AAS) 所以 所以BD=AE,AD=CE 因为AE=AD+DE, 所以BD=DE+CE.(8分) (3) 不成立；DE=CE+BD;理由如下： 因为∠ABD+∠ADB=∠BAE=∠BAC+∠CAE,∠BAC=∠ADB 所以∠ABD=∠CAE.(10分) 又∠ADB=∠AEC, 在△ABD和△CAE中， [∠ADB=∠AEC ∠ABD=∠EAC AB=AC 所以△MBD≌aCAE(AMS) 所以BD=AE,AD=CE, 因为DE=AD+AE, 所以DE=CE+BD.(12分) 5/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 616………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材华师版八年级上册第10~12（全等三角形的判定）章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列实数中：，无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2． （     ） A． B． C． D． 3．下列计算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列命题是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．同位角相等 5．已知一个正数的两个平方根是和，则这个数的值是（     ） A．4 B． C．36 D． 6．如图，，点C在线段上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．估算的值（     ） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 8．若，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 9．已知，则代数式的值为（     ） A．3 B． C．9 D． 10．已知关于的多项式是某个多项式的平方，则的值为（     ） A．4 B．8 C．8或 D．4或 11．若，且，则（     ） A． B． C．5 D．15 12．如图，在中，，是边上的中线，则长的取值范围是（     ） A． B． C． D．不能确定 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．因式分解：________． 14．__________． 15．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，化简：________． 16．已知为的平分线，…为的平分线上的若干点．如图1，连接，图中有1对全等三角形；如图2，连接，图中有3对全等三角形；如图3，连接，图中有6对全等三角形，依此规律，第2023个图形中有________对全等三角形． 三、解答题：本题共6小题，共72分。其中：17-18每题10分，19题16分，20题10分，21题14分， 22题12分。 17．计算 (1)； (2)； 18．解方程： (1) (2) 19．计算： (1)； (2) (3) (4) 20．已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则______； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． [拓展结论] （5） 已知实数x、y满足，求的最值． 22．阅读理解，自主探究：我们都知道，构建数学模型图有助于帮助我们解决复杂的几何问题，下列图形是我们常见的一种模型，我们一起来探究一下吧！ (1)【问题解决】如图1，，直线是经过点A的直线，于D，于E，求证：． (2)【类比训练】如图2，中，，直线是经过点A的任一直线，于D，于E，证明：． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果，那么（2）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明三条线段之间有怎样的数量关系？并给出证明过程． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：100分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材华师版八年级上册第10~12（全等三角形的判定）章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列实数中：，无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据无理数是无限不循环小数，结合有理数的定义逐个判断即可． 【详解】解：在所给实数中，，，，是有理数， 和是无理数，共2个． 故选项B符合题意． 2． （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 3．下列计算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：，故错误． 选项B：，正确． 选项C：，故错误． 选项D：，故错误． 4．下列命题是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．同位角相等 【答案】C 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，如两个独立的直角相等，但不是对顶角，该命题是假命题，故本选项不符合题意． B．只有经过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在平行于已知直线的直线，该命题是假命题，故本选项不符合题意． C．同旁内角互补，两直线平行，是平行线的判定定理，该命题是真命题，故本选项符合题意． D．只有两直线平行时，同位角才相等，缺少前提条件，该命题是假命题，故本选项不符合题意． 5．已知一个正数的两个平方根是和，则这个数的值是（     ） A．4 B． C．36 D． 【答案】C 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得出，求出，再得出答案即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ， 这个数为． 6．如图，，点C在线段上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】全等三角形的对应角相等，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：∵，点C在线段上， ∴， ∵，， ∴． 7．估算的值（     ） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 即 8．若，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将待求幂的指数拆分为含、、的形式，逆用幂的运算法则转化为已知幂的运算，代入数值计算． 【详解】解:∵，，， ∴． 9．已知，则代数式的值为（     ） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】先对代数式展开，得到与已知方程左边相关的形式．因为已知，所以可变形得到的值．将的值代入展开后的代数式，即可求出结果． 【详解】我们先对已知条件变形： 由 ， 移项可得 ． 再化简所求代数式： ， 把 整体代入， 得到原式 ． 10．已知关于的多项式是某个多项式的平方，则的值为（     ） A．4 B．8 C．8或 D．4或 【答案】C 【详解】解：∵关于的多项式是某个多项式的平方， ∴， ∴， ∴． 11．若，且，则（     ） A． B． C．5 D．15 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的恒等变形，先求出的值，再计算后开方得到结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 12．如图，在中，，是边上的中线，则长的取值范围是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】延长至点，使得，连接，证明，得到，再结合三角形三边关系得到，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得，连接， 是边上的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ， 整理得． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．因式分解：________． 【答案】 【详解】先提取原式中的公因式， 即． 又，符合平方差公式，可得 因此． 14．__________． 【答案】 【分析】先将各部分化为同底数幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算结果． 【详解】解：原式 ． 15．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，化简：________． 【答案】 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴． 16．已知为的平分线，…为的平分线上的若干点．如图1，连接，图中有1对全等三角形；如图2，连接，图中有3对全等三角形；如图3，连接，图中有6对全等三角形，依此规律，第2023个图形中有________对全等三角形． 【答案】2047276 【分析】根据题意，图1中，除点A外，当有一个点时，图中有1对全等三角形；除点A外，当有2个点时， 图中有对全等三角形；除点A外，当有3个点时，图中有对全等三角形；由 此得到规律即可计算出结果． 【详解】根据题意，图1中，除点A外，当有一个点时，图中有1对全等三角形；除点A外，当有2个点时， 图中有对全等三角形；除点A外，当有3个点时，图中有对全等三角形；由 此得到规律，除点A外，当有2023个点时， 图中有对全等三角形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形中的规律探索，正确找到规律是解题的关键． 3、 解答题：本题共6小题，共72分。其中：17-18每题10分，19题16分，20题10分，21题14分， 22题12分。 17．计算 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 19．计算： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 20．已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根的综合应用，掌握相关结论即可. （1）根据1的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是，即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解：∵1的算术平方根是1， ∴， ∴； ∵的立方根是， ∴， ∴； ∵的平方根是， ∴， ∴； （2）解：， ∵的平方根是， ∴的平方根是； 21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则______； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． [拓展结论] （5）已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】（1）（2）（3）5（4）13（5） 【分析】本题主要考查的是配方法的应用，“完美数”的定义． （1）根据“完美数”的定义解答即可． （2）利用配方法把原式变形，进而求出m，n的值，然后计算即可． （3）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性计算出x，y的值，然后再计算即可． （4）利用配方法把原式变形，根据“完美数”的定义解答即可． （5）将等式变形求得，利用配方法即可求得最小值． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2） ， ∴，， ∴， 故答案为： （3） 即， 即， ∴，， ∴， 故答案为：5． （4） ， 要使S为“完美数”，则， 解得： （5）， ∴， ∴ ， ∵ ∴取的最小值． 22．阅读理解，自主探究：我们都知道，构建数学模型图有助于帮助我们解决复杂的几何问题，下列图形是我们常见的一种模型，我们一起来探究一下吧！ (1)【问题解决】如图1，，直线是经过点A的直线，于D，于E，求证：． (2)【类比训练】如图2，中，，直线是经过点A的任一直线，于D，于E，证明：． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果，那么（2）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明三条线段之间有怎样的数量关系？并给出证明过程． 【答案】(1) 证明：因为，， 所以． 所以，． 所以． 在和中， 所以． (2) 证明：因为， 所以． 所以，． 所以． 在和中， 所以． 所以，． 因为， 所以． (3) 不成立；；理由如下： 因为，， 所以． 又， 在和中， 所以． 所以，． 因为， 所以． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）用角角边证明，即可； （2）证明，可得，，即可解答； （3）证明，可得，，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $