第11章 整式的乘除 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

第11章 整式的乘除 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【幂的运算---公式的正向和逆向使用】 1．下列各式中，计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，即（都是正整数）；符号的变化规则是“奇负偶正”，即可求出结果． 【详解】解：A. ，该选项不符合题意     B. ，该选项不符合题意． C. ，该选项不符合题意 D. ，该选项符合题意 2．韩国三星电子某款芯片的运算速度每秒为次，另一种华为新型芯片的运算速度是它的倍，且该新型芯片连续工作秒的总运算次数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出总运算次数的算式，再利用同底数幂的乘法法则计算，最后得到符合科学记数法要求的结果． 【详解】解： 三星芯片每秒运算速度为次，华为芯片速度是它的倍，连续工作秒 ， 总运算次数为： 因此结果用科学记数法表示为． 3．已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算性质，利用同底数幂乘法法则和幂的乘方法则对所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】根据幂的运算法则对原式变形： ∵ ， 已知 ，， ∴ 代入得原式 ． 4．若，则的值为（    ） A．－16 B．－8 C．－4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，整体思想，正确计算是解题的关键． 先利用积的乘方，单项式乘单项式法则简化表达式后，再利用整体思想将已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵ , 又 ∵ , ∴ , ∴ . 故选：A． 5．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类项定义，积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式法则逐一判断选项正误． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； 、，故选项不符合题意； 、，故选项不符合题意； 、，故选项符合题意． 6．已知，，则的值是（   ） A．8 B．9 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂乘法的法则的逆向运用是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则，将化简为，再代入计算即可． 【详解】解：当，时， ． 故选：C． 7．已知，则的值为（     ） A．16 B．24 C．32 D．8 【答案】C 【分析】将待求式中的、化为以2为底的幂，使指数出现，整体代入已知条件求值． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴原式． 8．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用积的乘方逆运算简化计算，先将小数化为分数，拆分高次幂后逐步计算即可 【详解】解： ． 9．已知，，则的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【根据整式的运算情况求参】 10．计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，结合题意可得，，然后求出，的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果为， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 11．若的计算结果中不含的一次项，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． ∵计算结果不含的一次项， ∴， 解得． 12．若不含项，则的值为（     ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后令项的系数之和为0，列方程求解． 【详解】解：， 合并项，得系数为， ∵多项式不含项， ∴， 解得． 13．若关于的多项式是完全平方式，则的值为（     ） A．4 B．16 C．64 D．8 【答案】B 【详解】解：∵是完全平方式， ∴. 14．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是（     ） A．6或 B． C．10 D．或10 【答案】A 【详解】解：∵多项式能用完全平方公式因式分解， ∴， ∴， 解得或． 15．若是一个完全平方式，则k的值是（     ） A．16 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴． 【平方差公式、完全平方公式与几何图形的验证】 16．从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 17．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过题意，分别表示出图（甲）和图（乙）中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：图（甲）中边长为的正方形变换到图（乙）位置成为阴影部分的小长方形， 图（乙）中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图（甲）中阴影部分的面积是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得． 18．如图有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为，图将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图，（图，图中正方形纸片均无重叠部分）则图阴影部分面积（ ） A．20 B．22 C．36 D．38 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，由图1图2可知，，用，表示图3阴影部分的面积化简代入求值即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由图1可知，阴影部分面积， 图2可知，阴影部分面积， ， 化简得， 由图3可知，阴影部分面积 ． 19．在课本124页“设计题”中，有3张边长为的正方形纸片，4张长为x，宽为1的长方形纸片，5张边长为1的正方形纸片．若从中取若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的纸片无空隙、无重叠地拼成一个正方形，则拼成的正方形的边长最大可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设拼成的正方形边长为（为正整数），则拼成的正方形面积为，题目中所给的三种纸片面积分别为，且数量分别为，据此确定的取值范围． 【详解】解：设拼成的正方形边长为（为正整数）， 则拼成的正方形面积为， ∵所给的三种纸片面积分别为，且数量分别为， ，故，代入可知时正方形边长最大且为． 【幂的混合运算】 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 【整式的混合运算与化简求值】 21．计算． (1)； (2)； (3)； (4)（简便计算）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的运算和简便计算． （1）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项； （3）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再去括号合并同类项； （4）利用平方差公式进行简便计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 22．化简 (1) (2) (3) 【答案】(1)；(2)a2+a+1；(3)4x2-y2+6y-9. 【分析】（1）先算乘方，然后按从左到右的顺序依次计算即可； （2）先算乘法，再去括号合并同类项即可； （3）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算. 【详解】解：(1)原式= = = ； (2)原式=(3a2-3a-2a+1)-(2a2-6a) =3a2-3a-2a+1-2a2+6a =a2+a+1； (3)原式=[2x+(y-3)][2x-(y-3)] =(2x)2-(y-3)2 =4x2-(y2-6x+9) =4x2-y2+6y-9. 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键. 混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序. 23．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，然后再将数据代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 24．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算与代数式求值，解题的关键是先利用完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式化简括号内的式子，再进行除法运算，最后代入求值． 先计算括号内的完全平方、单项式乘多项式、平方差公式，合并同类项后除以，再代入的值计算． 【详解】解： 将代入化简结果： 原式． 【因式分解】 25．将下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解、乘法公式、多项式乘以多项式，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、十字相乘法、公式法、换元法等）是解题关键． （1）先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可得； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可得； （3）先计算完全平方公式，再计算整式的加减，然后利用完全平方公式分解因式即可得； （4）先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 26．把下列多项式分解因式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）的分解方法． （1）提取各项的公因式进行分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解； （3）将看作整体，利用完全平方公式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【对完全平方公式进行变形求值】 27．已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：已知， 则； （2）解：； （3）解：． 28．在整式乘法学习过程中：我们学过完全平方公式：和，请利用该公式变形解答下列问题： (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用即可解答； （2）先求出，再利用完全平方公式变形即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：∵，， 设， 则，， ∴， ∴． 29．通过第11章《整式的乘除》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的 两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ． 这种验证思路体现了下列哪一种数学思想（    ） A．数形结合思想  B．分类讨论思想  C．类比思想   D．转化思想 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，△CDG的面积为3，则CE的长度为 ． 【答案】（1）；A；（2）28；（3）；（4）6 【分析】本题考查完全平方公式，灵活运用完全平方公式变形计算是解题的关键． （1）从“整体”和“部分”分别用代数式表示图形的面积即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）设，，再用计算即可． （4）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据求出的值即可． 【详解】（1）解：如图①大正方形的边长为，因此面积为，拼成大正方形的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：，A； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：28； 设，， 则，， ∵， 即， ∴． （4）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∵阴影部分的面积和为9，的面积为3， ∴，， 即，， ∴， 即， ∴（取正值）， 即． 故答案为：6． 【整式的运算在图形中的应用】 30．有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示，面积分别记为和． (1)①计算：______；______； ②用“”，“”或“”填空：______． (2)若一个正方形纸片的周长与甲长方形的周长相等，面积为． ①该正方形的边长是______（用含的代数式表示）； ②小方同学发现：与的差与无关，请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【答案】(1)①，；② (2)①， ② 解：正确 . 理由如下： ∵ ∴ ∵与的差是4 ∴ 与的差与m无关，小方的发现正确． 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形的面积问题，整式加减中的无关型问题；掌握相关运算法则，正确的列出代数式，是解题的关键． （1）①根据长方形的面积等于长乘以宽，列出代数式；②两个代数式作差判断大小即可； （2）①根据正方形的边长等于周长除以4，列出代数式即可；②用，进行判断即可． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：，； ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ② 略 31．如图，某居民小区为响应党的号召，开展全民健身活动，准备修建一块长为米，宽为米的长方形健身广场，广场内有一个边长为米的正方形活动场所，其余地方为绿化带．    (1)用含，的代数式表示绿化带的总面积．（结果写成最简形式）． (2)若，，求出绿化带的总面积． 【答案】(1) (2)600 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，代数式求值，对于（1），根据总面积减去正方形活动场所的面积列出式子，再根据整式混合运算法则计算； 对于（2），将字母的值代入，计算可得答案． 【详解】（1）解：（1）根据题意，广场上绿化带的总面积是 ． 答：广场上绿化带的总面积是平方米． （2）把代入，得 （平方米） 答：广场上绿化带的总面积是600平方米． 32．如图，正方形的边长为，正方形的边长为． (1)请用含，的代数式，表示图中阴影部分的面积； (2)已知，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用，完全平方公式的变形求值； （1）根据割补法，结合图形列式，代入数值进行计算即可求解； （2）根据，将式子的值代入，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）由①可得 当，时， 33．数形结合是数学学习的一种重要思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)已知C是线段上的一点，分别以，为边作正方形和正方形． ①如图，正方形分别位于的两旁，若，两正方形的面积和为20，求阴影部分的面积； ②如图，正方形位于的同旁，若两正方形的面积差为40，求阴影部分的面积； (2)如图，以，为边作正方形和正方形，已知两正方形的边长和为10，边长积为22，求阴影部分面积． 【答案】(1)①11；②20 (2)17 【分析】（1）①设，，结合题意得，，再进一步求解即可． ②设，，结合题意得，再结合面积公式求解即可； （2）设，，结合题意得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①设，,由题意，得，． ∴． ∴． ∴， ∴阴影部分面积为． ②设，， 由题意，得． ∵ ∴阴影部分面积为． （2）解：设，， 由题意，得，， ∴． ∴． ∴． ∴阴影部分面积为． 【综合与实践题】 34．配方法是代数变形的重要工具．对于一个二次三项式，我们可以通过配凑，将其化为含完全平方式的形式，再利用非负数的性质解决问题． 例如：求的最小值． 解：． ∵，∴．∴当（即）时，代数式有最小值2． 请根据上述材料，解答下列问题： 【知识再现】 (1)填空： 若是一个完全平方式，则_____； 若是一个完全平方式，则_____； 【知识运用】 (2)已知实数x，y满足，求的值． 【知识拓展】 (3)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足．直接写出周长的最小值． 【答案】(1)16， (2)1 (3)15 【分析】（1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此求得x，y的值，即可求得原式的结果； （3）将配凑成，求得a，b的值，再利用三角形三边关系得出当周长最小值时c的值，从而求得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得：． （2）解：， ∴，， ∴，， ∴原式 ． （3）解：， ∴，， ∴，， ∵的三边长a，b，c都是正整数， ∴，即， ∴， 当时，周长有最小值， ∴周长的最小值为． 35．阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成，如： 材料2：因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 材料3：因式分解：，将前两项结合，后两项结合，即． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 请你结合上述材料解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． (3)结合材料3分解因式． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）仿照材料1例题求解即可； （2）①令，即可求解；②令，仿照材料1、材料2例题分解，将“”还原后再根据完全平方公式及材料1继续分解； （3）前三项先用完全平方公式分解，再整体用平方差公式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：①将“”看成一个整体， 令， 则原式， 再将“”还原得， 原式； ②原式， 将“”看成一个整体， 令， 则原式， 再将“”还原得， 原式 ； （3）解：原式 ． 36．若一个自然数能表示成两个自然数的平方差，那么称这个自然数为“智慧数”． 例如：，因此3是一个“智慧数”．某数学学习小组对“智慧数”做了如下探究： 【初步感知】寻找“智慧数” 小深的枚举法 ； ； ； ； ； ； ； … 小圳的代数推理法通过观察发现0，4，8是“智慧数”，因此他猜想4的倍数都是“智慧数”，并给出如下证明： 设是自然数，则 表示自然数中所有4的倍数，因此4的倍数都是“智慧数”． (1)下列自然数中， 是“智慧数”（填序号）；             【猜想验证】 (2)小圳通过观察小深的枚举法，猜想自然数中所有的奇数都是“智慧数”，请你参考小圳的方法证明他的猜想． 【迁移应用】 (3)某数学社团为了筹备成果展，要在一块正方形空地右上角布置一个正方形舞台（如阴影所示），剩下L型区域作为观展走廊．如图，现社团采购了一块长为米，宽为米的地胶（其中，为自然数），通过裁切，恰好能铺满这条L型走廊．请问这条L型走廊的面积是“智慧数”吗？请说明理由，并求出舞台的边长． 【答案】(1)①③ (2)证明：设是自然数，                                   表示自然数中所有的奇数， 自然数中所有的奇数都是“智慧数” (3)舞台的边长为5米，走廊的面积是“智慧数”，理由如下：                  【分析】（1）通过尝试法或观察规律(奇数和4的倍数通常是智慧数)来解决． （2）利用平方差公式的逆运算，构造出两个连续自然数的平方差等于奇数． （3）根据图形特征(L型走廊)和地胶尺寸，计算面积并判断． 【详解】（1）解：，所以9是“智慧数”； ，， ，，无法找到两个自然数的平方差是，所以不是“智慧数”； ，根据小圳的结论，4的倍数都是“智慧数”．验证：，所以是“智慧数”；    是偶数，但不是4的倍数， ，，无法找到两个自然数的平方差是，所以不是“智慧数”． （2）证明见答案 （3）解析见答案 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 整式的乘除 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【幂的运算---公式的正向和逆向使用】 1．下列各式中，计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 2．韩国三星电子某款芯片的运算速度每秒为次，另一种华为新型芯片的运算速度是它的倍，且该新型芯片连续工作秒的总运算次数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（    ） A．－16 B．－8 C．－4 D．8 5．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．已知，，则的值是（   ） A．8 B．9 C．6 D．7 7．已知，则的值为（     ） A．16 B．24 C．32 D．8 8．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 9．已知，，则的结果是（     ） A． B． C． D． 【根据整式的运算情况求参】 10．计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 11．若的计算结果中不含的一次项，则等于（     ） A． B． C． D． 12．若不含项，则的值为（     ） A． B． C．2 D．1 13．若关于的多项式是完全平方式，则的值为（     ） A．4 B．16 C．64 D．8 14．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是（     ） A．6或 B． C．10 D．或10 15．若是一个完全平方式，则k的值是（     ） A．16 B． C．8 D． 【平方差公式、完全平方公式与几何图形的验证】 16．从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（    ） A． B． C． D． 17．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（     ） A． B． C． D． 18．如图有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为，图将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图，（图，图中正方形纸片均无重叠部分）则图阴影部分面积（ ） A．20 B．22 C．36 D．38 19．在课本124页“设计题”中，有3张边长为的正方形纸片，4张长为x，宽为1的长方形纸片，5张边长为1的正方形纸片．若从中取若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的纸片无空隙、无重叠地拼成一个正方形，则拼成的正方形的边长最大可以为（     ） A． B． C． D． 【幂的混合运算】 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【整式的混合运算与化简求值】 21．计算． (1)； (2)； (3)； (4)（简便计算）． 22．化简 (1) (2) (3) 23．先化简，再求值：，其中，． 24．先化简，再求值：，其中，． 【因式分解】 25．将下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) 26．把下列多项式分解因式 (1)； (2)； (3)． 【对完全平方公式进行变形求值】 27．已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3) 28．在整式乘法学习过程中：我们学过完全平方公式：和，请利用该公式变形解答下列问题： (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 29．通过第11章《整式的乘除》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的 两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ． 这种验证思路体现了下列哪一种数学思想（    ） A．数形结合思想  B．分类讨论思想  C．类比思想   D．转化思想 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，△CDG的面积为3，则CE的长度为 ． 【整式的运算在图形中的应用】 30．有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示，面积分别记为和． (1)①计算：______；______； ②用“”，“”或“”填空：______． (2)若一个正方形纸片的周长与甲长方形的周长相等，面积为． ①该正方形的边长是______（用含的代数式表示）； ②小方同学发现：与的差与无关，请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 31．如图，某居民小区为响应党的号召，开展全民健身活动，准备修建一块长为米，宽为米的长方形健身广场，广场内有一个边长为米的正方形活动场所，其余地方为绿化带．    (1)用含，的代数式表示绿化带的总面积．（结果写成最简形式）． (2)若，，求出绿化带的总面积． 32．如图，正方形的边长为，正方形的边长为． (1)请用含，的代数式，表示图中阴影部分的面积； (2)已知，，求图中阴影部分的面积． 33．数形结合是数学学习的一种重要思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)已知C是线段上的一点，分别以，为边作正方形和正方形． ①如图，正方形分别位于的两旁，若，两正方形的面积和为20，求阴影部分的面积； ②如图，正方形位于的同旁，若两正方形的面积差为40，求阴影部分的面积； (2)如图，以，为边作正方形和正方形，已知两正方形的边长和为10，边长积为22，求阴影部分面积． 【综合与实践题】 34．配方法是代数变形的重要工具．对于一个二次三项式，我们可以通过配凑，将其化为含完全平方式的形式，再利用非负数的性质解决问题． 例如：求的最小值． 解：． ∵，∴．∴当（即）时，代数式有最小值2． 请根据上述材料，解答下列问题： 【知识再现】 (1)填空： 若是一个完全平方式，则_____； 若是一个完全平方式，则_____； 【知识运用】 (2)已知实数x，y满足，求的值． 【知识拓展】 (3)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足．直接写出周长的最小值． 35．阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成，如： 材料2：因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 材料3：因式分解：，将前两项结合，后两项结合，即． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 请你结合上述材料解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． (3)结合材料3分解因式． 36．若一个自然数能表示成两个自然数的平方差，那么称这个自然数为“智慧数”． 例如：，因此3是一个“智慧数”．某数学学习小组对“智慧数”做了如下探究： 【初步感知】寻找“智慧数” 小深的枚举法 ； ； ； ； ； ； ； … 小圳的代数推理法通过观察发现0，4，8是“智慧数”，因此他猜想4的倍数都是“智慧数”，并给出如下证明： 设是自然数，则 表示自然数中所有4的倍数，因此4的倍数都是“智慧数”． (1)下列自然数中， 是“智慧数”（填序号）；             【猜想验证】 (2)小圳通过观察小深的枚举法，猜想自然数中所有的奇数都是“智慧数”，请你参考小圳的方法证明他的猜想． 【迁移应用】 (3)某数学社团为了筹备成果展，要在一块正方形空地右上角布置一个正方形舞台（如阴影所示），剩下L型区域作为观展走廊．如图，现社团采购了一块长为米，宽为米的地胶（其中，为自然数），通过裁切，恰好能铺满这条L型走廊．请问这条L型走廊的面积是“智慧数”吗？请说明理由，并求出舞台的边长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $