3.3 练习2　抛物线的简单几何性质 课时练 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 本练习聚焦抛物线几何性质，通过基础认知、技能应用、综合创新三层设计，实现从概念理解到跨情境应用的进阶，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|抛物线定义、焦点、准线|直接考查开口方向、焦点坐标（如第1题），强化概念辨析| |技能应用层|弦长计算、位置关系、几何性质|结合直线与抛物线相交（第2题）、圆与坐标轴位置（第3题），提升运算推理能力| |综合创新层|跨情境应用、探究性问题|融入光学性质（第6题）、等边三角形存在性（第14题），培养创新意识与数学表达|

3.3 练习2　抛物线的简单几何性质 1. 下列关于抛物线y＝2x2的描述，正确的是( 　) A. 开口向上，焦点坐标为 B. 开口向右，焦点坐标为 C. 开口向上，焦点坐标为 D. 开口向右，焦点坐标为 2. 若直线y＝2x与抛物线x2＝2py(p＞0)相交于A，B两点，则|AB|等于( 　) A. 5p B. 10p C. 11p D. 12p 3. P为抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，F为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为( 　) A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不确定 4. (2024·湖北孝感高二期中)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点M(3，m)(m＞0)到其焦点F的距离等于4，则直线MF的倾斜角为( 　) A. B. C. D. 5. 设抛物线y2＝4x的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点 A，B在抛物线上，点 C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( 　) A. B. C. D. 6. (2024·郑州高二期中)抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线x2＝4y的焦点为F，一束平行于y轴的光线从点M(1，2)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则经点B反射后的反射光线必过点( 　) A. (－1，2) B. (－2，4) C. (－3，6) D. (－4，8) 7. 过抛物线y2＝4x的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则等于( 　) A. 2 B. 1 C. D. 8. (多选)若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标可以为( 　) A. B. C. D. 9. (多选)经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中，正确的是( 　) A. 当AB与x轴垂直时，|AB|最小 B. C. 以弦AB为直径的圆与直线x＝相离 D. y1y2＝－p2 10. 设抛物线y2＝16x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|＝ .  11. 已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是 .  12. 已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝ .  13. 过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|BF|＝3，求此抛物线的方程. 14. 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点. (1)过点F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于A，B两点，若△AOB的面积为2，求抛物线C的标准方程； (2)抛物线上有M，N两点，若△MON为正三角形，求△MON的边长. 15. 已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若∈(0，1)，则＝ .  16. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，抛物线C上不同的两点M，N同时满足下列三个条件中的两个： ①|FM|＋|FN|＝|MN|； ②|OM|＝|ON|＝|MN|＝8； ③直线MN的方程为y＝6p. 请分析并说明两点M，N满足的是哪两个条件，并求抛物线C的标准方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 练习2　抛物线的简单几何性质 1. 下列关于抛物线y＝2x2的描述，正确的是(　A　) A. 开口向上，焦点坐标为 B. 开口向右，焦点坐标为 C. 开口向上，焦点坐标为 D. 开口向右，焦点坐标为 【解析】 抛物线y＝2x2，即x2＝y，可知抛物线开口向上，焦点坐标为. 2. 若直线y＝2x与抛物线x2＝2py(p＞0)相交于A，B两点，则|AB|等于(　B　) A. 5p B. 10p C. 11p D. 12p 【解析】 将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p.∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p. 3. P为抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，F为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为(　C　) A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不确定 【解析】 设PF的中点M(x0，y0)，作MN⊥y轴于点N，设P(x1，y1)，则|MN|＝x0＝(|OF|＋x1)＝|PF|，故相切. 4. (2024·湖北孝感高二期中)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点M(3，m)(m＞0)到其焦点F的距离等于4，则直线MF的倾斜角为(　C　) A. B. C. D. 【解析】 依题意可知|MF|＝3＝4，∴p＝2，∴抛物线C：y2＝4x.将M(3，m)(m＞0)的坐标代入y2＝4x，得m＝2，∴M(3，2)，又F(1，0)，∴kMF＝，∴直线MF的倾斜角为. 5. 设抛物线y2＝4x的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点 A，B在抛物线上，点 C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　A　) A. B. C. D. 【解析】 . 6. (2024·郑州高二期中)抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线x2＝4y的焦点为F，一束平行于y轴的光线从点M(1，2)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则经点B反射后的反射光线必过点(　D　) A. (－1，2) B. (－2，4) C. (－3，6) D. (－4，8) 【解析】 把x＝1代入x2＝4y，得y＝，∴A，又F(0，1)，∴直线AF的方程为y－1＝x，即y＝x＋1.由可得B(－4，4)，∵经点B反射后的反射光线平行于y轴，∴D正确. 7. 过抛物线y2＝4x的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则等于(　D　) A. 2 B. 1 C. D. 【解析】 不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：y＝k(x－1)，⇒k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0⇒x1＋x2＝⇒|AB|＝x1＋x2＋2＝4，同理可得|CD|＝4＋4k2，∴. 8. (多选)若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标可以为(　BD　) A. B. C. D. 【解析】 设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，连接PF.由条件及抛物线的定义知|PF|＝|PO|，又F，∴x0＝，∴，则y0＝±. 9. (多选)经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中，正确的是(　AD　) A. 当AB与x轴垂直时，|AB|最小 B. C. 以弦AB为直径的圆与直线x＝相离 D. y1y2＝－p2 【解析】 设直线AB的方程为x＝ty，将x＝ty代入y2＝2px，得y2－2pty－p2＝0，则y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，x1＋x2＝t(y1＋y1)＋p＝2pt2＋p，x1x2＝.当直线AB与x轴垂直时，t＝0，|AB|最小，A正确；，B错误；以弦AB为直径的圆的圆心为，半径为|AB|＝(x1＋x2＋p)＝pt2＋p，圆心到准线的距离d＝(x1＋x2)p＝pt2＋p＝|AB|，∴圆与准线x＝相切，C错误；y1y2＝－p2，D正确. 10. 设抛物线y2＝16x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|＝　13　.  【解析】 不妨设P(x，12)，代入y2＝16x得x＝9，∴|PF|＝x＝9＋4＝13. 11. 已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是 　.  【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵抛物线2x2＝y的标准方程为x2＝y，∴|AB|＝y1＋y2＝4，∴y1＋y2＝4，故AB的中点的纵坐标是. 12. 已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　6　.  【解析】 抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y＝.将y＝代入＝1得|x|＝.要使△ABF为等边三角形，则tan ，解得p2＝36，p＝6. 13. 过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|BF|＝3，求此抛物线的方程. 【解析】 设抛物线准线交x轴于点F'，分别过点A，B作准线的垂线，垂足为A'，B'，直线l交准线于点C，如图所示： 则|AA'|＝|AF|＝3，|BB'|＝|BF|＝1，|AB|＝4，|FF'|＝p，∴，即，解得|BC|＝2，又，即，解得p＝，∴抛物线方程为y2＝3x. 14. 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点. (1)过点F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于A，B两点，若△AOB的面积为2，求抛物线C的标准方程； (2)抛物线上有M，N两点，若△MON为正三角形，求△MON的边长. 【解析】 (1)由题意可知F，将x＝代入y2＝2px，得|y|＝p，则|AB|＝2p，∴S△AOB＝|OF|·|AB|＝×2p＝p2＝2，可得p＝2，∴抛物线C的标准方程为y2＝4x. (2)∵△MON为正三角形，∴|OM|＝|ON|＝|MN|，由抛物线的对称性可知MN⊥x轴.设直线MN的方程为x＝t，将x＝t代入y2＝2px，得|y|＝，∴|MN|＝2，∴tan 30°＝，整理得t＝6p，∴|MN|＝4p，即△MON的边长为4p. 15. 已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若∈(0，1)，则＝ 　.  【解析】 ∵抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y＝x，与抛物线方程联立得x2px－p2＝0，解方程得xA＝p，xB＝p，∴. 16. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，抛物线C上不同的两点M，N同时满足下列三个条件中的两个： ①|FM|＋|FN|＝|MN|； ②|OM|＝|ON|＝|MN|＝8； ③直线MN的方程为y＝6p. 请分析并说明两点M，N满足的是哪两个条件，并求抛物线C的标准方程. 解： 由题意知F.若两点M，N满足的是条件①②，则由|FM|＋|FN|＝|MN|可知MN过焦点F，当|OM|＝|ON|时，|MN|＝2p，而此时|OM|＝|ON|＝p≠|MN|，故两点M，N不可能同时满足条件①②；若两点M，N满足的是条件①③，则由|FM|＋|FN|＝|MN|可知MN过焦点F，显然直线y＝6p不可能过焦点F，故两点M，N不可能同时满足条件①③，∴两点M，N满足的是条件②③.∵|OM|＝|ON|＝|MN|＝8，且直线MN的方程为y＝6p，∴6p＝8，即p＝2，故抛物线C的标准方程为x2＝4y. 学科网（北京）股份有限公司 $