3.3.1抛物线及其标准方程课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.1抛物线及其标准方程课时作业 一、单选题 1．已知抛物线方程为，则它的焦点是（    ） A． B． C． D． 2．点到抛物线的焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 3．若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 4．设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 6．已知抛物线：与：，则（    ） A．与的焦点相同 B．与的离心率相同 C．与的准线相同 D．与的焦点到准线的距离相同 7．已知抛物线C：的焦点为F，（，）为抛物线C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．点A的坐标为 D． 三、填空题 8．抛物线的焦点到准线的距离为______． 9．已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 四、解答题 10．已知抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点H，．求C的标准方程． 11．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦点到准线的距离为； (2)经过点； (3)焦点为直线与坐标轴的交点． 12．一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，求该货车能顺利通过桥洞的限高. 参考答案 1．A 【详解】抛物线标准方程为，焦点在x轴正半轴上， 所以，所以它的焦点是. 2．B 【详解】由题意得抛物线的焦点为， 由两点间距离公式得距离为，故B正确. 3．A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 4．A 【分析】应用抛物线定义得出，进而得出抛物线方程得出点，再根据两点间距离公式计算. 【详解】由于，则， 于是，则，于是. 5．D 【分析】根据抛物线定义可得，进而可解. 【详解】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为， 所以为抛物线的焦点， 因为在抛物线内部，作出示意图如下， 过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 当且仅当三点共线时等号成立. 6．BD 【详解】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1， 抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1． 故与的焦点不同，准线不同，离心率相同，与的焦点到准线的距离相同. 7．BCD 【分析】根据为圆的直径判断A；根据抛物线定义以及中位线得出即可判断B；根据焦半径公式判断C；根据的边角即可判断D. 【详解】因为，，三点共线，所以为圆的直径，则，故A错误； 设准线与轴的交点为．由抛物线定义以及中位线知， 所以，故B正确； 因为到准线的距离为2，即，所以． 则，得，，故C正确； ，故D正确． 8． 【分析】根据抛物线标准方程直接求解即可. 【详解】由抛物线标准方程，得，解得， 所以焦点到准线的距离为. 9．2 【分析】根据抛物线的定义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】由题意及抛物线定义可得，，则为等边三角形. 设，则.    因为，所以，则. 又，，则，即. 因为点P在C上，所以， 代入上式得，即，解得. 10． 【分析】利用抛物线的性质求出的表示式，结合条件即可求得抛物线的方程. 【详解】由题意可得：抛物线的焦点为，准线方程为， 则准线与x轴的交点为， 可得，解得或（舍去）， 所以抛物线C的标准方程为. 11．(1)或． (2)或． (3)或． 【分析】（1）根据条件可设方程为，结合焦点到准线的距离可得结果； （2）根据点坐标确定抛物线开口方向，分类讨论，设出标准方程，代入坐标可得结果； （3）求直线与坐标轴交点，分类讨论可得结果. 【详解】（1）已知抛物线的焦点在轴上，可设方程为， 由焦点到准线的距离为5，知，， 所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为或． （2）因为点在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为或． 若抛物线的标准方程为，则由，解得； 若抛物线的标准方程为，则由，解得． 故所求抛物线的标准方程为或． （3）对于直线方程，令，得；令，得，所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 故所求抛物线的标准方程为或． 12． 【分析】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，通过待定系数法确定抛物线方程，并求出货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离，即可求出能使该货车顺利通过桥洞的限高. 【详解】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 设抛物线方程为， 将代入方程可得，解得， 所以抛物线方程为， 若宽为的一辆货车沿桥洞中线行驶，则货车边缘的横坐标为， 将其代入抛物线方程可得，解得， 所以货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离为， 又因为货车与其正上方的墙壁高度差至少为， 所以货车能顺利通过桥洞的限高为. 学科网（北京）股份有限公司 $