3.3.1 抛物线及其标准方程(创新拔高)课时练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.1 抛物线及其标准方程 1.M为抛物线上一动点，F为抛物线焦点，定点，则的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图，过抛物线的焦点F的直线l（斜率为正）交抛物线于M，N两点（其中点M在第一象限），交其准线于点P，若，，则F到抛物线的准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.如图，设抛物线的焦点为F，过x轴上一点A作直线l交C于B，D两点，若，，则( ) A.4 B.3 C. D. 4.设F为抛物线的焦点，A为平面内一定点，若抛物线C上存在点P使得的最小值为5，则点A可以为( ) A. B. C. D. 5.已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知抛物线的焦点为B，且C的准线与y轴交于点A.若P是C上的动点，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.（多选）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点.若点，则下列结论正确的是( ) A.的最小值为2 B.抛物线C关于x轴对称 C.过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D.点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 8.（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是( ) A.若点，，则 B.若点，，则在x轴上存在点P，使得 C.若点，点P在直线上，则的最小值是3 D.若点M在圆上，点N在直线上，则的值可能是4 9.在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点M的轨迹方程是__________. 10.已知A是抛物线（）上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点.当时，，则__________. 11.已知抛物线的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为__________. 12.已知抛物线的焦点为，点P为C上一点. （1）若点，求的最小值. （2）过点P作斜率分别为，的两条直线，，分别与C交于异于点P的点A，B，记的垂心为H，判断是否存在实数k，使得点H始终落在抛物线上？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由. 答案以及解析 1.答案：B 解析：抛物线的焦点，准线方程，如图，设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义知，过点P作垂直于准线于，交抛物线于点，则，因此，当P，M，D三点共线时取等号，所以的最小值为.故选B. 2.答案：B 解析：如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点A，B. 设，所以，由抛物线的定义得，所以. 在中，，，又因为，解得.记准线与x轴交于点C，因为，解得，即F到抛物线的准线的距离为4.故选B. 3.答案：B 解析：由题知抛物线C的焦点为，准线方程为.如图， 过点B向准线作垂线，垂足为N，交x轴于点E，根据抛物线的定义得，所以.过点D向准线作垂线，垂足为G，交x轴于点C，根据抛物线的定义得，所以.所以在中，由得，所以.故选B. 4.答案：C 解析：当点A在抛物线内部时，如图①所示，设点P在准线上的射影为N，由，当P，N，A三点共线时，取得最小值，即，故直线上且在抛物线内部的点均合题意，显然点A在抛物线上时，其纵坐标也为3，故C正确，AB错误；当点A在抛物线外部时，设，如图②所示，当P，F，A三点共线时，取得最小值，即，经检验D不满足.故选C. 5.答案：B 解析：如图，过点B作准线的垂线，垂足为，抛物线C的方程为，准线的方程为，焦点.设点B到准线的距离为d，则由抛物线的定义可知，过点A作准线的垂线，垂足为H，的周长为，当且仅当A，B，H三点共线时，等号成立.，，，，. 6.答案：C 解析：设抛物线C的准线为l，作，垂足为N（如图所示），则，.当取最大值时，取得最小值. 当且仅当直线与抛物线相切于点P时，取得最小值. 当直线与抛物线相切时，设直线的斜率为k，且，则直线的方程为， 代入，可得， 由方程根的判别式，解得， 不妨设点P在第一象限，即，则，，， 即，所以的最大值为. 当点P在坐标原点时，，即的最小值为1. 综上，的取值范围为.故选C. 7.答案：CD 解析：设，则，.又抛物线的焦点为，所以，当时，等号成立，所以的最小值是1，因此A错误.易知抛物线的焦点在y轴上，则抛物线关于y轴对称，因此B错误.易知点M在抛物线的内部，因此过点M与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他过点M的直线与抛物线都有两个公共点，因此C正确.记抛物线的准线为l，则准线方程为.如图，过点P作于点H，过点M作于点N，则，则，当M，P，H三点共线时，即H与N重合时，的值最小，最小值为，因此D正确.故选CD. 8.答案：ACD 解析：对于A，由曼哈顿距离的定义可知，故A正确.对于B，设，则从而，故B错误.对于C，如图①，过点M作轴，交直线于E，过P作，垂足为H. 由曼哈顿距离的定义可知.当P不与E重合时，因为直线的斜率为，所以，所以；当P与E重合时，.综上所述，，则，故C正确.对于D，如图②，若，，则，故D正确.故选ACD. 9.答案：或 解析：当点M横坐标大于等于0时，由题意可转化为点M到点的距离等于点M到直线的距离， 设，所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线，顶点在原点，开口向右的抛物线，设其方程为，所以，即，所以点M的轨迹方程为；当点M横坐标小于0时， 因为点到y轴的距离为2，所以点M在x轴负半轴上，即点M的轨迹方程为. 所以点M的轨迹方程为或. 10.答案： 解析：由抛物线的对称性，不妨设A在第一象限，过点A作准线的垂线AC，过点F作AC的垂线，垂足分别为C，B.如图所示，由题意知，.因为，易知.又点A到准线的距离为，解得.在中，，，，由余弦定理得，所以.故答案为. 11.答案： 解析：设，当时，，.当时，由抛物线方程，得焦点，准线，点为准线l与y轴的交点，作于点Q，则.，则，当且仅当，即时取等号.综上，的最大值为. 12.答案：（1）5 （2）存在满足题意的k，且k的值为2 解析：（1）由题意知，，所以C的方程为， 则点在C的内部. 过点P作C的准线的垂线，垂足为E， 于是， 故， 数形结合可知当M，P，E三点共线时，取得最小值，为， 所以的最小值为. （2）设，则的方程为， 与C的方程联立，可得，得，， 设，，则，， 得，同理. 由于的垂心为H，因此，， 两个方程相加，得 ，， 两个方程相减，得， 则. 因为H始终落在抛物线上， 所以，得， 于是，，得， 故存在满足题意的k，且k的值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $