3.2双曲线同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2双曲线同步练习题 一、单选题 1．双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 3．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．双曲线焦点在轴，离心率，且过点，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 6．已知双曲线上一点到两条渐近线的距离之积等于，则（   ） A．3 B．2 C． D． 二、多选题 7．已知双曲线的离心率为，实轴长为4，则（    ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点坐标为 D．点在双曲线C上 8．已知双曲线的左､右顶点分别为，点为双曲线上一点，则下列说法正确的是（    ） A．点到一条渐近线的距离为2 B．点到两条渐近线的距离之积为 C．若直线的斜率为1，则直线的斜率为4 D．若，则直线的斜率为 三、填空题 9．曲线，如果是双曲线，需要满足的条件_____ 10．已知与向量平行的直线与双曲线相交于，两点，则的最小值为________． 四、解答题 11．已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 12．已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点． (1)求C的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程． 13．已知双曲线：（，）的焦距为，点在其渐近线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)设为双曲线的右顶点，过点且斜率为的直线与双曲线交于，两点，求的面积． 参考答案 1．B 【详解】双曲线，化为标准式：， 焦点在轴上，，即， 焦点在轴上的双曲线渐近线方程为， 代入得：. 2．D 【详解】双曲线的标准方程为其中 设双曲线的焦距参数为 ，则 已知一个焦点坐标为 ，所以 因此 3．A 【详解】可知，所以，则离心率为. 4．A 【详解】由题意得，，所以，所以， 所以双曲线方程为. 5．D 【详解】依题意得． 当时，，此时，符合双曲线定义， 因此点的轨迹是双曲线靠近的右支，故点的轨迹为双曲线的一支； 当时，，此时， 说明点满足和、共线，且在的右侧（含点），沿轴正方向延伸， 故点的轨迹为一条射线． 综上，点的轨迹分别是双曲线的一支和一条射线． 6．D 【分析】利用点到直线的距离公式求出距离，再根据距离之积为，结合点在曲线上，化简求值即可. 【详解】由题可知：，渐近线方程为，即， 设在双曲线上，则，即， 根据点到直线的距离公式，到两条渐近线的距离分别为，， 因为点到两条渐近线的距离之积等于，所以， 又，所以，解得，又，所以. 7．ACD 【分析】由实轴长求，由离心率求，再由求，进而判断各选项. 【详解】因为双曲线的实轴长为，所以，解得. 又因为离心率，所以. 由双曲线中，得，解得. 所以双曲线方程为，故A正确； 双曲线的渐近线方程为，故B错误； 焦点坐标为，故C正确； 将点代入方程：，成立，所以点在双曲线上，故D正确. 8．BCD 【详解】A选项，由题可知双曲线的渐近线为，则点到直线的距离为，所以A选项错误； B选项，由题可知点到两条渐近线的距离分别为，所以，所以B选项正确； C选项，，因为在第一象限，所以，且，可得， 又因为为双曲线上一点，可得，联立可得，可得直线的斜率为4，所以C选项正确； D选项，因为，设，则，且，可得，代入可得，解得，所以D选项正确. 9． 且 【详解】根据双曲线的定义，需满足且， 解得且. 10．4 【分析】由数形结合可得为实轴长时最小. 【详解】因为直线与向量平行，所以直线平行于轴，斜率为， 当分别为左右顶点时，最小，. 11． 【详解】设，由题意知，，其中， 化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 12．(1) (2)． 【分析】（1）根据离心率求出，得到双曲线方程； （2）由点差法得到直线的斜率，进而得到直线的方程，检验后可得答案 【详解】（1）因为，，所以，则， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，，由题知， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，整理，得， 则，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意， 则直线的方程为． 13．(1) (2) 【分析】（1）由双曲线焦距得值，结合渐近线过点列方程求解得标准方程； （2）先求直线方程，联立双曲线方程用韦达定理求弦长，再求点到直线的距离，进而计算三角形面积. 【详解】（1）由双曲线：的焦距为，得，即，故. 又因为双曲线：的渐近线方程为， 将代入渐近线方程得，即. 将代入，解得， 因此双曲线的标准方程为. （2）由（1）知双曲线的标准方程为，所以双曲线右顶点的坐标为. 过且斜率为的直线方程为，整理得. 联立直线与双曲线方程得，消去，化简整理得， ， 设，由韦达定理得. 由弦长公式得. 点到直线的距离. 所以的面积. 因此的面积为. 学科网（北京）股份有限公司 $