3.2双曲线（1）中午30min限时练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2双曲线（1）中午30min限时练 1.双曲线的焦点坐标是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知，是双曲线的两个焦点，是双曲线左支上的一点，且，与两条渐近线相交于，两点若点恰好平分线段，则双曲线的焦距为(    ) A. B. C. D. 3.已知方程表示双曲线，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.（多选）在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则(    ) A. 当时，该曲线为椭圆 B. 当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C. 当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D. 无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 5.已知双曲线：的右焦点为，直线：与交于，两点，且，则          ． 6.已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上． 求双曲线方程； 若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点满足，求的面积． 7.双曲线：的一条渐近线方程为，点在双曲线上． 求双曲线的标准方程； 过点的直线与双曲线交于第一象限内的点，若轴被以为直径的圆所截得的弦长为，求该圆的方程． 答案 1.双曲线的焦点坐标是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  【解答】 解：双曲线方程可得双曲线的焦点在轴上，且，， 由此可得， 该双曲线的焦点坐标为，． 故选：． 2.已知，是双曲线的两个焦点，是双曲线左支上的一点，且，与两条渐近线相交于，两点若点恰好平分线段，则双曲线的焦距为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 由题意，根据中点得到，求出，，结合勾股定理进而求解即可． 【解答】 解：因为双曲线， 取渐近线方程为， 因为是中点， 所以， 又， 则，，，， 所以， 即， 则双曲线的焦距为． 故选：． 3.已知方程表示双曲线，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查双曲线的标准方程，属于基础题． 根据双曲线的焦点在轴或在轴进行讨论，分别建立关于的不等式组，解之即可得到实数的取值范围． 【解答】 解：方程表示双曲线， 当双曲线的焦点在轴上时，，解得：； 当双曲线的焦点在轴上时，，解得：． 因此，实数的取值范围为． 故选：． 4.（多选）在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则(    ) A. 当时，该曲线为椭圆 B. 当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C. 当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D. 无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 【答案】BCD  【解析】解：对于，当时，该曲线方程为，表示圆，故A错误； 对于，当时，该曲线方程为，表示焦点在轴上的双曲线，故B正确 对于，当时，该曲线为，表示焦点在轴上的双曲线，故C正确 对于，若曲线表示双曲线，则，解得或，若为等轴双曲线，则，显然无解，所以无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线，故D正确． 故选BCD． 5.已知双曲线：的右焦点为，直线：与交于，两点，且，则          ． 【答案】  【解析】解：设双曲线的左焦点为，连接，设， 由对称性可知：，可知四边形为平行四边形， 且，可知四边形为矩形，可得， 由题意可得：，即 因为，可得， 整理可得． 故答案为：． 6.已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上． 求双曲线方程； 若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点满足，求的面积． 【答案】解：由题知，解得， 所以双曲线的方程为： ， 根据双曲线的定义得， 解方程得， 7.双曲线：的一条渐近线方程为，点在双曲线上． 求双曲线的标准方程； 过点的直线与双曲线交于第一象限内的点，若轴被以为直径的圆所截得的弦长为，求该圆的方程． 【答案】解： 因为点在双曲线上， 所以， 又双曲线的一条渐近线方程， 可得， 联立，解得，， 则双曲线的标准方程为； 不妨设的中点为，， 过点作轴，垂足为， 若轴被以为直径的圆所截得的弦长为， 此时， 即， 因为， 所以， 此时， 解得， 因为点在双曲线上， 当时， 解得， 所以， 此时， 所以以为直径的圆的圆心为，半径， 则所求圆的方程为．  学科网（北京）股份有限公司 $