3.2 练习1　双曲线及其标准方程(一) 课时练 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现双曲线定义及标准方程从概念理解到综合应用的递进，适配新授课知识内化需求，培养数学思维的推理能力与数学语言的模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义、标准方程、基本量关系|单选考焦距计算（如第1题），填空直接应用定义（如第11题），强化运算能力| |中档|方程求法、与椭圆焦点综合|解答题分类求标准方程（如第13题），多选结合椭圆求参数（如第5题），体现模型观念| |提升|参数讨论、几何性质综合|多选含参数曲线类型判断（如第9题），解答题最值问题（如第16题），发展空间观念|

3.2 练习1　双曲线及其标准方程(一) 1. 双曲线＝1的焦距为(　A　) A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 【解析】 c＝＝3，故焦距为2c＝6. 2. 已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|－|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的(　B　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 动点M的轨迹是双曲线能推出||MF1|－|MF2||为定值，反之不成立，若定值大于或等于两个定点的距离，则动点的轨迹不是双曲线.因此“||MF1|－|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的必要不充分条件. 3. 设k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　D　) A. 长轴在x轴上的椭圆 B. 长轴在y轴上的椭圆 C. 实轴在x轴上的双曲线 D. 实轴在y轴上的双曲线 【解析】 ∵k＞1，∴1－k＜0，k2－1＞0，∴方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是实轴在y轴上的双曲线. 4. 焦点分别为(－2，0)，(2，0)，且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为(　A　) A. x2＝1 B. y2＝1 C. y2＝1 D. ＝1 【解析】 由双曲线的定义知，2a＝＝5－3＝2，∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，∴所求双曲线的标准方程为x2＝1. 5. (2025·天津高二检测)若椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则m的值为(　C　) A. 1 B. C. ±1 D. ± 【解析】 椭圆＝1与双曲线＝1的焦点都在x轴，∵椭圆和双曲线有相同的焦点，∴4－m2＝m2＋2，解得m＝±1. 6. (2025·北京高二阶段练习)化简方程||＝8的结果是(　D　) A. ＝1 B. ＝1 C. ＝1 D. ＝1 【解析】 设动点P(x，y)，A(－5，0)，B(5，0)，则由题意可得||PA|－|PB||＝8，∴动点P到两个定点A，B的距离的差的绝对值等于常数8，又|AB|＝10＞8，∴由双曲线定义可知P点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2a＝8的双曲线，∴2c＝10，b2＝c2－a2＝52－42＝9，∴双曲线的方程为＝1. 7. (2025·四川绵阳高二期中)与椭圆＝1共焦点且过P(2，1)的双曲线方程为(　C　) A. y2＝1 B. x2＝1 C. y2＝1 D. y2＝1 【解析】 由椭圆＝1方程可知c＝，即焦点坐标为(，0)，(，0)，设双曲线方程为＝1，则解得，∴双曲线方程为y2＝1. 8. (多选)双曲线＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　AD　) A. 2 B. 7 C. 17 D. 22 【解析】 ∵a2＝25，∴a＝5.由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10.由题意知|PF1|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝22或2. 9. (多选)(2025·河北高二阶段练习)已知曲线C的方程为＝1，则(　ACD　) A. 当m＝1时，曲线C表示一个圆 B. 当0＜m＜2时，曲线C表示椭圆 C. 当m＞2时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线 D. 当m＜0时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线 【解析】 当m＝1时，曲线C是x2＋y2＝1，A正确；当m＝1时，曲线C表示一个圆，B错误；当m＞2时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，C正确；当m＜0时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，D正确. 10. 已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为 ＝1，或＝1　.  【解析】 ∵a＝5，c＝7，∴b2＝c2－a2＝24.当焦点在x轴上时，双曲线方程为＝1；当焦点在y轴上时，双曲线方程为＝1. 11. P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝　－8　.  【解析】 双曲线的标准方程为＝1，故a2＝16，a＝4，2a＝8.∵点P在双曲线的左支上，|PF1|＜|PF2|，∴|PF1|－|PF2|＝－2a＝－8. 12. (2025·重庆高二期中)如图所示，椭圆＝1和双曲线y2＝1的公共焦点分别为F1，F2，A是椭圆与双曲线的一个交点，则|AF1|·|AF2|＝　3　.  【解析】 由椭圆定义可知|AF1|＋|AF2|＝2，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2，解得|AF1|＝，|AF2|＝，∴|AF1|·|AF2|＝6－3＝3. 13. 根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)半焦距为，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上； (2)两个焦点的坐标分别为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2). 解： (1)∵半焦距为，且焦点在x轴上，∴可设双曲线的标准方程为＝1(0＜a2＜6)，∵双曲线经过点(－5，2)，∴＝1，解得a2＝5，或a2＝30(舍去)，∴双曲线的标准方程为y2＝1. (2)∵双曲线的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，∵2a＝6，c＝5，∴a＝3，b2＝c2－a2＝16，∴双曲线的标准方程为＝1. (3)方法一　设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，点(3，2)在双曲线上，故＝1.又a2＋b2＝16＋4＝20，∴a2＝12，b2＝8，则双曲线的标准方程为＝1. 方法二　设双曲线的标准方程为＝1(－4＜k＜16，且k≠0)，将点(3，2)代入方程，解得k＝4，或k＝－14(舍去)，则双曲线的标准方程为＝1. 14. 已知双曲线的焦点在坐标轴上，且一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，且，求双曲线的方程. 解： 易得直线5x－2y＋20＝0与两坐标轴交点为(－4，0)和(0，10).若(－4，0)为焦点，则c＝4，而，∴a＝，b2＝16.故双曲线方程为＝1. 若(0，10)为焦点，则c＝10，故a＝6，b2＝100－36＝64. 故双曲线的方程为＝1. 综上，双曲线的方程为＝1，或 ＝1. 15. (2025·黑龙江鸡西高二期中)已知O为坐标原点，M在双曲线C：＝1的左支上，F是该双曲线的左焦点.|MF|＝2，N为MF的中点，则|ON|＝　5　.  【解析】 设F'是双曲线C：＝1的右焦点，连接MF'， 又M在双曲线C：＝1的左支上，∴|MF'|－|MF|＝2a＝8，又|MF|＝2，∴|MF'|＝10，又N为MF的中点，O为FF'的中点，∴|ON|＝|MF'|＝5. 16. 已知双曲线的方程为x2＝1，如图所示，点A的坐标为(，0)，B是圆x2＋(y)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值. 解： 设点D的坐标为(，0)，则A，D是双曲线的焦点， 由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2，∴|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|， 又B是圆x2＋(y)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥1，当点M，B在线段CD上时不等式取等号，即|MA|＋|MB|的最小值是1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 练习1　双曲线及其标准方程(一) 1. 双曲线＝1的焦距为( 　) A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|－|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的( 　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( 　) A. 长轴在x轴上的椭圆 B. 长轴在y轴上的椭圆 C. 实轴在x轴上的双曲线 D. 实轴在y轴上的双曲线 4. 焦点分别为(－2，0)，(2，0)，且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为( 　) A. x2＝1 B. y2＝1 C. y2＝1 D. ＝1 5. (2025·天津高二检测)若椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则m的值为( 　) A. 1 B. C. ±1 D. ± 6. (2025·北京高二阶段练习)化简方程||＝8的结果是( 　) A. ＝1 B. ＝1 C. ＝1 D. ＝1 7. (2025·四川绵阳高二期中)与椭圆＝1共焦点且过P(2，1)的双曲线方程为( 　) A. y2＝1 B. x2＝1 C. y2＝1 D. y2＝1 8. (多选)双曲线＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( 　) A. 2 B. 7 C. 17 D. 22 9. (多选)(2025·河北高二阶段练习)已知曲线C的方程为＝1，则( 　) A. 当m＝1时，曲线C表示一个圆 B. 当0＜m＜2时，曲线C表示椭圆 C. 当m＞2时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线 D. 当m＜0时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线 10. 已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为 .  11. P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝ .  12. (2025·重庆高二期中)如图所示，椭圆＝1和双曲线y2＝1的公共焦点分别为F1，F2，A是椭圆与双曲线的一个交点，则|AF1|·|AF2|＝ .  13. 根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)半焦距为，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上； (2)两个焦点的坐标分别为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2). 14. 已知双曲线的焦点在坐标轴上，且一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，且，求双曲线的方程. 15. (2025·黑龙江鸡西高二期中)已知O为坐标原点，M在双曲线C：＝1的左支上，F是该双曲线的左焦点.|MF|＝2，N为MF的中点，则|ON|＝ .  16. 已知双曲线的方程为x2＝1，如图所示，点A的坐标为(，0)，B是圆x2＋(y)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $