3.2.1双曲线及其标准方程课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程课时作业 一、单选题 1．双曲线的焦距为（   ） A． B． C．6 D． 2．已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．5 B．10 C．25 D．50 3．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 5．下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知曲线C的方程为，其中k为实数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线C是圆 B．当时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C．当时，曲线C是焦点在轴上的椭圆 D．当时，曲线C是双曲线 7．在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆. B．若，则点的轨迹为双曲线. C．若，则点的轨迹为圆. D．若，则点的轨迹为两条射线. 三、填空题 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 9．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 四、解答题 10．已知，，动点关于轴的对称点为，直线与的斜率之积为.求点的轨迹的方程； 11．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)焦点分别为，，且经过点； (2)经过点和． 12．已知位于正东方，且两地相距米，一炮弹在某处爆炸. 在处听到爆炸声的时间比处晚秒钟. (1)爆炸点应该在什么样的曲线上？并说明理由. (2)若在处观测到爆炸点位于处正北方向，试建立适当的直角坐标系，并确定爆炸点的坐标.（精确到米）（已知声音速度为米/秒） 参考答案 1．D 【详解】双曲线的焦距为． 2．C 【详解】因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以 3．D 【详解】由题意得：，解得或. 4．B 【分析】先把双曲线方程化为标准形式，再利用双曲线的定义求解. 【详解】把双曲线方程化为标准形式 ， 设双曲线实半轴长为，那么， 根据双曲线的定义可知，，, 又, 所以的周长为. 5．D 【分析】根据焦点在y轴上的双曲线标准方程的特点逐一判断即可. 【详解】A：当时，该双曲线的焦点在y轴上， 当时，该双曲线的焦点在x轴上，所以本选项不符合题意； B：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； C：因为该选项方程表示双曲线，所以， 因为， 所以该选项方程表示双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； D：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在y轴上，符合题意. 6．ABD 【分析】根据双曲线、椭圆、圆的标准方程逐一判断. 【详解】当时，曲线C的方程为，故曲线C是圆，故A正确； 当时，且曲线C的方程为， 故曲线是焦点在y轴上的椭圆，故B正确； 当时，且曲线的方程为， 故曲线是焦点在轴上的椭圆，故C错误； 当时，曲线的方程为，故曲线C是双曲线，故D正确； 故选：ABD 7．ACD 【分析】利用椭圆、双曲线、圆的定义，逐项判断即可． 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C正确； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确． 故选：ACD 8．7 【分析】根据方程可得，结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由题意可知：，，则， 由双曲线定义可得，即， 解得或（舍去）， 且，符合题意， 所以. 9． 【详解】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 10． 【分析】由题可得，由，化简即可求得点的轨迹的方程. 【详解】，，动点关于轴的对称点为， 所以得，且， ，， 直线与的斜率之积为. 所以， 整理得曲线. 11．(1) (2) 【分析】（1）由题意设双曲线的标准方程为，根据题意建立方程计算求解即可； （2）双曲线的方程为，根据题意建立方程计算求解即可. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的标准方程为． 由题意知，所以．①； 因为点在双曲线上，所以．② 由①②解得，，所以所求双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为， 则，解得， 所以所求双曲线的标准方程为． 12．(1)以为焦点且距较近的双曲线的一支上 (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义求得爆炸点所在曲线； （2）根据已知条件求得，从而求得曲线的方程，设代入方程解出即可. 【详解】（1）由题意得：， 所以爆炸点离点比离点的距离更远， 所以爆炸点在以为焦点且距较近的双曲线的一支上. （2）以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 所以，即， 又，所以， 所以， 所以曲线方程为：， 又，设，代入方程得：， 解得（米），所以. 学科网（北京）股份有限公司 $