3.2.1第一课时双曲线及其标准方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础巩固”与“能力进阶”分层设计，基础层聚焦双曲线核心概念及运算，能力层侧重综合应用与逻辑推理，梯度衔接合理，适配新授课知识巩固与思维提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|双曲线定义、标准方程、焦点三角形等核心概念及基本运算|选择、填空、解答题结合，如第3题椭圆与双曲线共焦点求方程，强化概念联系与运算能力| |能力进阶|方程分类讨论、向量与双曲线综合、几何性质应用|含多选题（如第10题曲线类型判断）和综合解答题（如第13题向量垂直求距离），提升推理与模型应用能力|

3.2.1第1课时 双曲线及其标准方程 【基础巩固】 1．(2026·上海杨浦模拟预测)对数函数f(x)＝logax与双曲线＝1均存在的一个充分不必要条件为a＝(　　) A．0　　 B.1　　　 C．2　　 D．3 2．已知点P(x，y)的坐标满足＝±，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 3．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是(　　) A．－y2＝1 B．－y2＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝1 4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|=(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 5．设双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上，若点F2在线段MN的垂直平分线上，则|MN|＝(　　) A．8 B．8 C．4 D．4 6．已知双曲线的方程是＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，则|ON|＝________(O为坐标原点)． 7．若方程＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________；若表示椭圆，则m的取值范围是________． 8．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的标准方程为______________． 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上； (2)与椭圆＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4. 【能力进阶】 10．(多选)已知方程＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断，其中正确的是(　　) A．当1<t<4时，曲线C表示椭圆 B．当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t< D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4 11．(2025·湖南高二期中联考)已知F1，F2分别是双曲线C：＝1的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，＝0，则点P的纵坐标为(　　) A．1 B．2 C． D． 12．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且＝0，则的值为________． 13．已知双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点M在双曲线上，且＝0，求M点到x轴的距离； 14．(多选)已知点P在双曲线C：＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是(　　) A．点P到x轴的距离为 B．|PF1|＋|PF2|＝ C．△PF1F2为钝角三角形 D．∠F1PF2＝ 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1第1课时 双曲线及其标准方程 【基础巩固】 1．(2026·上海杨浦模拟预测)对数函数f(x)＝logax与双曲线＝1均存在的一个充分不必要条件为a＝(　　) A．0　　 B.1　　　 C．2　　 D．3 解析：C　若对数函数f(x)＝logax存在，则底数a>0且a≠1； 若＝1表示双曲线，则3－a>0，即a<3， 综上，若两者均存在，则0<a<1或1<a<3.而2在上述区间内， 所以a＝2是对数函数f(x)＝logax与双曲线＝1均存在的一个充分不必要条件． 2．已知点P(x，y)的坐标满足＝±，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 解析：B　设A(1，0)，B(－1，0)， 则由已知得||PA|－|PB||＝， 即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数， 又|AB|＝2，且<2，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线． 3．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是(　　) A．－y2＝1 B．－y2＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝1 解析：C　由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c＝，设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝3，＝1，解得a2＝2，b2＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|=(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：B　在△PF1F2中， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 即2＝22＋|PF1|·|PF2|， 解得|PF1|·|PF2|＝4. 5．设双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上，若点F2在线段MN的垂直平分线上，则|MN|＝(　　) A．8 B．8 C．4 D．4 解析：A　如图所示，由双曲线方程可得a＝2..由双曲线的定义可知|F2M|－|F1M|＝4.，|F1N|－|F2N|＝4..∵点F2在线段MN的垂直平分线上，∴|F2M|＝|F2N|，∴|F1N|＝|F1M|＋8.，|MN|＝|F1N|－|F1M|＝8..故选A. 6．已知双曲线的方程是＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，则|ON|＝________(O为坐标原点)． 解析：设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2(图略)．易得ON是△PF1F2的中位线， 所以|ON|＝. 因为||PF1|－|PF2||＝2a＝8，|PF1|＝10， 所以|PF2|＝2或|PF2|＝18， 故|ON|＝1或|ON|＝9. 答案：1或9 7．若方程＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________；若表示椭圆，则m的取值范围是________． 解析：若方程表示双曲线，则应有m＋1>0，即m>－1. 若方程表示椭圆，则有 解得m<－1且m≠－5. 答案：(－1，＋∞)　(－∞，－5)∪(－5，－1) 8．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的标准方程为______________． 解析：由题意得 解得 则该双曲线的标准方程为x2－＝1. 答案：x2－＝1 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上； (2)与椭圆＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4. 解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)． 由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上， 所以解得 故所求双曲线的标准方程为＝1. (2)椭圆＝1的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为或. 设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，则 解得 故所求双曲线的标准方程为＝1. 【能力进阶】 10．(多选)已知方程＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断，其中正确的是(　　) A．当1<t<4时，曲线C表示椭圆 B．当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t< D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4 解析：BCD　A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，∴1<t<；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则∴t>4. 11．(2025·湖南高二期中联考)已知F1，F2分别是双曲线C：＝1的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，＝0，则点P的纵坐标为(　　) A．1 B．2 C． D． 解析：C　因为＝0，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝32.由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝4，所以2|PF1|·|PF2|＝|PF1|2＋|PF2|2－(|PF1|－|PF2|)2， 解得|PF1|·|PF2|＝8，故△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|＝4. 设点P的纵坐标为h， 则△PF1F2的面积为|F1F2|·h＝4， 解得h＝. 所以点P的纵坐标为.故选C. 12．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且＝0，则的值为________． 解析：由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为F1，F2. 设点P(x，y)，则＝， ＝. ∵＝0， ∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10. ∴＝ ＝. 答案：2 13．已知双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点M在双曲线上，且＝0，求M点到x轴的距离； 解：如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h， ∵＝0， ∴MF1⊥MF2， 设|MF1|＝m，|MF2|＝n， 由双曲线定义，知m－n＝2a＝8， 又m2＋n2＝(2c)2＝80， 由①②得m·n＝8， ∴·h， ∴h＝. 14．(多选)已知点P在双曲线C：＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是(　　) A．点P到x轴的距离为 B．|PF1|＋|PF2|＝ C．△PF1F2为钝角三角形 D．∠F1PF2＝ 解析：BC　因为双曲线C的方程为＝1，所以c＝＝5. 又因为＝＝20， 所以|yP|＝4，选项A错误； 将|yP|＝4代入C：＝1， 得＝1，所以|xP|＝. 不妨取点P的坐标为＝.由双曲线的定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝， 所以|PF1|＋|PF2|＝，选项B正确； 对于上面点P，在△PF1F2中， |PF1|＝>2c＝10>|PF2|＝， 且cos ∠PF2F1＝<0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确；cos ∠F1PF2＝≠，所以∠F1PF2≠，选项D错误，故选B、C. 学科网（北京）股份有限公司 $