精品解析：福建省泉州市南安市鹏峰第二中学2026-2027学年九年级第一学期阶段考试数学试卷（10月）

2026秋鹏峰二中阶段一九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程的一个解为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 若，则化简的结果为（ ） A. B. 2 C. 0 D. 7. 我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；②若是一元二次方程的根，则其中正确的（　　） A. ①④ B. ①②④ C. ①②③④ D. ①②③ 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 函数的自变量x的取值范围是________． 12. 若是关于的一元二次方程，则的值为___________． 13. 若最简二次根式、是同类二次根式，则________． 14. 已知，则的值为______． 15. 若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 16. 《弹簧探险家的能量之旅》 假设你是一名年轻的物理探险家，正在实验室中研究一个神奇的弹簧系统．想象一下：光滑如镜的水平实验台上（忽略所有摩擦和空气阻力），一个银色的金属小球（质量）连接着一根轻质弹簧，弹簧的劲度系数——这意味着一拉一压之间，它就蕴含着可观的能量！你小心翼翼地用机械臂将弹簧压缩了（负号表示压缩方向），然后从静止状态（初速度）释放小球．瞬间，弹簧“嗡”的一声舒展开，小球开始舞蹈般地滑动．整个系统的总机械能守恒，遵循公式： 其中： E是总机械能（单位：焦耳，），在无能量损失的情况下保持不变． 是小球的动能（速度v的单位：米/秒，）． 是弹簧的弹性势能（位移x的单位：米，；以弹簧原长位置为参考点）． 请阅读以上内容回答问题： 当时，你要像侦探一样，根据总机械能守恒公式，追踪能量如何在动能和势能之间流转，记住，能量守恒是你的指南针——系统总能量E终恒定，但形式会变！那么，此时小球的速度v为________． 三、解答题 17. 计算： 18. 解方程： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）______的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___； （3）先化简，再求值：，其中． 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 22. 2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 23. 阅读与思考 下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日 晴 一元二次方程的新解法——罗氏解法 2019年，美籍华裔数学家罗博深发现了一种一元二次方程的新解法，被称为“3000年来解一元二次方程的大变革”，这种新解法是以根与系数的关系为基础，利用两根平均数的方法进行解答．一元二次方程的根（，）与系数的关系为，． 以解方程为例． 解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． …… 罗氏解法为我们提供了更加简洁的方法． 任务： （1）请完成材料中的求解过程． （2）利用罗氏解法，求一元二次方程的根的情况． 24. 综合与实践 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同完成该项目任务． 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策． 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以15元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣．项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价x/（元/个） 20 30 18 22 26 日销售量y（个） 50 30 54 46 38 （1）建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x（单位：元/个），纵轴表示日销售量y（单位：个），将整理好的数据在平面直角坐标系中描出． （2）观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． 任务三：问题解决 （3）若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ 25. 已知方程①：，方程①的解为非正数；方程②：是关于y的一元二次方程． （1）求t的取值范围； （2）若方程②的根为负整数，满足，，且t是整数，求整数p的值； （3）若方程②有两个实数根，满足，且t为正整数，判断是否成立，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026秋鹏峰二中阶段一九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项B：是最简二次根式，符合题意． 选项C：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项D：，不是最简二次根式，不符合题意． 2. 已知关于的一元二次方程的一个解为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，将代入中即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的解为， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，计算错误． B选项，，计算错误， C选项，，计算正确， D选项，，计算错误． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：D． 5. 关于的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 6. 若，则化简的结果为（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的性质和绝对值的性质．直接根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：B． 7. 我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆形田地的半径为步，再根据正方形田地与圆形田地的面积之和为平方步，列方程即可． 【详解】解：∵正方形田地的边长为步， ∴正方形田地的面积为平方步． ∵圆形田地的直径与正方形边长相等， ∴圆形田地的半径为步， ∴圆形田地的面积为平方步． ∵两块田地面积之和为252平方步， ∴． 8. 已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 9. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 10. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；②若是一元二次方程的根，则其中正确的（　　） A. ①④ B. ①②④ C. ①②③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】①由，可得出是一元二次方程的解，进而可得出； ②由方程有两个不相等的实根，可得出，结合偶次方的非负性，可得出，进而可得出方程有两个不相等的实根； ③代入，可得出，当时，无法得出； ④利用求根公式，可得出，变形后即可得出． 【详解】解：①， 是一元二次方程的解， ，结论①正确； ②方程有两个不相等的实根， ， ， 方程有两个不相等的实根，结论②正确； ③是方程的一个根， ， 若为0，则无法得出，结论③不正确； ④是一元二次方程的根， ， ， ，结论④正确． 正确的结论有①②④． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 函数的自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，列不等式求解即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：要使二次根式有意义， ∴被开方数满足 ， 解得． 12. 若是关于的一元二次方程，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 若最简二次根式、是同类二次根式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义确定根指数为2，再根据最简同类二次根式的定义得到被开方数相等，建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：∵是二次根式， ∴ ∵两个根式都是最简二次根式，且是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， 整理得， 联立方程，得 由得， 两边同除以，得． 14. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数的非负性可得x＝2，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】解：依题意得：，， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，求算术平方根，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 15. 若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 16. 《弹簧探险家的能量之旅》 假设你是一名年轻的物理探险家，正在实验室中研究一个神奇的弹簧系统．想象一下：光滑如镜的水平实验台上（忽略所有摩擦和空气阻力），一个银色的金属小球（质量）连接着一根轻质弹簧，弹簧的劲度系数——这意味着一拉一压之间，它就蕴含着可观的能量！你小心翼翼地用机械臂将弹簧压缩了（负号表示压缩方向），然后从静止状态（初速度）释放小球．瞬间，弹簧“嗡”的一声舒展开，小球开始舞蹈般地滑动．整个系统的总机械能守恒，遵循公式： 其中： E是总机械能（单位：焦耳，），在无能量损失的情况下保持不变． 是小球的动能（速度v的单位：米/秒，）． 是弹簧的弹性势能（位移x的单位：米，；以弹簧原长位置为参考点）． 请阅读以上内容回答问题： 当时，你要像侦探一样，根据总机械能守恒公式，追踪能量如何在动能和势能之间流转，记住，能量守恒是你的指南针——系统总能量E终恒定，但形式会变！那么，此时小球的速度v为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用以及跨学科考题，根据机械能守恒定律，系统初始总机械能等于任意位置的总机械能，初始时弹簧压缩，小球静止，总机械能仅为弹性势能；当弹簧位移为x时，总机械能等于动能与弹性势能之和，由此列出方程求解速度. 【详解】解：初始时，弹簧压缩量，小球速度 ，总机械能 当时，， 整理得， 解得：（舍去负值）， 故答案为：. 三、解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂、绝对值的性质、二次根式化简以及分母有理化的知识． 先分别化简每一项，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：原式   ． 18. 解方程： 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 移项得， 配方得即， 开方得， 解得，． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，先通分括号内，再运算除法，最后化简原式等于，再代入，进行分母有理化，即可作答． 【详解】解： 当时，原式． 20. 先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）______的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___； （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）小亮 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再将字母的值代入，即可求解； （2）根据二次根式的性质即可求解； （3）先根据二次根式的性质化简，在代入代数式求值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴小亮的解法是错误的； 【小问2详解】 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质 【小问3详解】 解：∵ ∴ 当时 原式 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，  ∴，，  ∵， ∴， ∴， ∴，  代入得：， 整理得， 解得或． 22. 2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每月产量的增长率为 . （2）应降价元，最大利润为 元. 【解析】 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【小问1详解】 解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得  ,  ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； 【小问2详解】 解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴，  ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 23. 阅读与思考 下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日 晴 一元二次方程的新解法——罗氏解法 2019年，美籍华裔数学家罗博深发现了一种一元二次方程的新解法，被称为“3000年来解一元二次方程的大变革”，这种新解法是以根与系数的关系为基础，利用两根平均数的方法进行解答．一元二次方程的根（，）与系数的关系为，． 以解方程为例． 解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． …… 罗氏解法为我们提供了更加简洁的方法． 任务： （1）请完成材料中的求解过程． （2）利用罗氏解法，求一元二次方程的根的情况． 【答案】（1）， （2）无实数根 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接开平方法解一元二次方程，平方差公式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用平方差公式得出，再求出即可求解； （2）利用根与系数的关系得出，，可知与的平均数为，设，，则，则，可知原方程无实数根． 【小问1详解】 解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：设方程的两根为，， 这里，，， ∴，， 由，可知与的平均数为， 设，， 则， ∴， ∴， ∴实数不存在， ∴原方程无实数根． 24. 综合与实践 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同完成该项目任务． 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策． 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以15元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣．项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价x/（元/个） 20 30 18 22 26 日销售量y（个） 50 30 54 46 38 （1）建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x（单位：元/个），纵轴表示日销售量y（单位：个），将整理好的数据在平面直角坐标系中描出． （2）观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． 任务三：问题解决 （3）若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2） （3）21 【解析】 【分析】（1）将售价x看作点的横坐标，日销售量y看作点的纵坐标，把所有的点的位置确定出来； （2）观察各点的分布规律，所有的点呈一条直线，确定售价x与日销售量y满足一次函数关系，利用待定系数法求出解析式； （3）根据利润公式确定一元二次方程，为尽可能让利于顾客，确定最终答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：观察函数图象发现，售价x与日销售量y满足一次函数关系， ∴设， 将、代入得， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：设每个钥匙扣的售价应定为x元， 根据题意可得， 整理得， ∴， 解得：，， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：每个钥匙扣的售价应定为21元． 25. 已知方程①：，方程①的解为非正数；方程②：是关于y的一元二次方程． （1）求t的取值范围； （2）若方程②的根为负整数，满足，，且t是整数，求整数p的值； （3）若方程②有两个实数根，满足，且t为正整数，判断是否成立，并说明理由． 【答案】（1）且； （2）整数的值为或； （3）成立，证明如下： ∵为正整数，且满足，， ∴， 将代入方程②，得， ∴， 将代入已知等式， 左边 ， ∴，即. ∵方程②有两个实数根， ∴判别式， 化简得， 将代入上式，得， 移项整理得， 故成立． 【解析】 【分析】（1）解方程①得到用表示的解，结合解为非正数列不等式，再根据一元二次方程二次项系数不为0确定的范围； （2）将用表示后代入方程②，因式分解求出方程的两个根，结合根为负整数及的取值范围求解整数； （3）先根据的范围和正整数条件确定，再利用根与系数的关系化简已知等式，结合判别式非负证明结论． 【小问1详解】 解：解方程得， ∵方程①的解为非正数， ∴，解得， ∵方程②是关于的一元二次方程， ∴，即， 综上，的取值范围是且； 【小问2详解】 ∵， ∴； ∵， ∴； 将，代入方程②， 整理得， 因式分解得， ∴方程的根为，， ∵方程②的根为负整数，已是负整数， ∴为负整数， 化简得. ∵为整数，为整数， ∴是的约数，即， ∵且， ∴当时，，此时，为正整数，不符合题意，舍去； 当时，，此时，为负整数，符合题意，； 当时，，不符合，舍去； 当时，，此时，为负整数，符合题意，； 综上，整数的值为或． 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $