精品解析：福建省泉州市南安市实验中学2025-2026学年九年级上学期期中考数学卷

2025年秋季南安市实验中学初三数学期中考试题 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中最简二次根式是( ) A. B. C. D. 2. 下列各组长度的线段（单位：）中，成比例线段的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 1，2，3，6 C. 2，3，4，5 D. 1，3，5，10 3. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E和B，D，F，，，，则等于（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 5. 解方程经过配方后，其结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则m的取值为( ) . A. m=0 B. m>0 C. m<-1 D. m>-1 7. 如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB为xm，可列方程为（ ） A. （20＋1﹣x）x＝50 B. （20﹣1﹣x）x＝50 C. （20＋1﹣2x）x＝50 D. （20﹣1﹣2x）x＝50 9. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 当_____时，二次根式有意义． 12. 若，则_________． 13. 如图，线段两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段，则端点的坐标为___________． 14. 如图，中，点是的两条中线、的交点，若，则________． 15. 定义运算：, 若a、b是方程的两个根，则的值为____________________(用含m的代数式表示). 16. 如图，在中，平分，点在边上，，若，则________． 三．解答题（共86分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和点，使，然后再选点，使，确定与的交点为，如图，测得米，米，米，你能求出两岸之间的大致距离吗？ 20. 已知关于x的一元二次方程（其中k为常数）． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若该方程有一个根为2，求k的值及该方程的另一个根． 21. 在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到；A的对应点是的对应点是）； （2）请用无刻度的直尺在边上画出点，使（保留作图痕迹）． 22. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 23. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32，连接BD，AE⊥BD，垂足为E． （1）求证：ABE∽DBC； （2）求线段AE的长． 24. 已知关于的方程有两个相等的实数根． （1）求、满足的关系式； （2）如图，若的直角顶点在轴上，，B的横坐标为，且的长恰好为方程的解． ①过点作轴，交于点，求证：为定长； ②求面积的最小值． 25. 综合与探究 【定义】若四边形的一条对角线将这个四边形分成等腰三角形和直角三角形，且此对角线为直角三角形的斜边，则这个四边形叫做“等腰直角四边形”，这条对角线为“分割对角线”． 【示例】如图1，是四边形的对角线，是等腰三角形，，则四边形是等腰直角四边形，是分割对角线． 【简单应用】 （1）如图2，在“等腰直角四边形”中，，．若，，，则___________； （2）如图3，在中，点在对角线上．若四边形是“等腰直角四边形”，，求的值； 【拓展提升】 （3）如图4，在“等腰直角四边形”中，对角线与相关于点，，，求的值； （4）如图5，在中，，，．点是平面内一点且满足四边形是以为分割对角线的“等腰直角四边形”，与交于点，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季南安市实验中学初三数学期中考试题 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中最简二次根式是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的判定条件即可解答；最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 【详解】解：A．不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，符合题意； C．不是最简二次根式，不符合题意； D．不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 2. 下列各组长度的线段（单位：）中，成比例线段的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 1，2，3，6 C. 2，3，4，5 D. 1，3，5，10 【答案】B 【解析】 【分析】根据成比例线段的概念，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】A、1×4≠2×3，故选项错误； B、1×6=2×3，故选项正确； C、2×5≠3×4，故选项错误； D、1×10≠3×5，故选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查成比例线段的概念．对于四条线段，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，那么，这四条线段叫做成比例线段．注意用最大的和最小的相乘，中间两数相乘． 3. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除法法则计算以及二次根式的加减法则计算即可判定． 【详解】解∶ A、与不是同类二次根式，不能合并，故原说法错误，符合题意； B、，故原说法正确，不符合题意； C、，故原说法正确，不符合题意； D、，故原说法正确，不符合题意； 故选∶ A． 【点睛】此题主要考查了实数的运算．二次根式的运算法则与有理数的运算法则是一样的，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 4. 如图，已知直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E和B，D，F，，，，则等于（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题意，可知，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 解方程经过配方后，其结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题的关键．先移项，然后左右两边加上一次项系数一半的平方，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6. 若关于x的一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则m的取值为( ) . A. m=0 B. m>0 C. m<-1 D. m>-1 【答案】C 【解析】 【分析】方程无实数根，则△<0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【详解】解：由题意得：△=4+4m<0， ∴m<-1． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 7. 如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质，可得，然后证明，接着根据，得到，最后利用相似三角形的性质求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的面积比为：， 故选：C． 8. 如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB为xm，可列方程为（ ） A. （20＋1﹣x）x＝50 B. （20﹣1﹣x）x＝50 C. （20＋1﹣2x）x＝50 D. （20﹣1﹣2x）x＝50 【答案】C 【解析】 【分析】根据篱笆的总长及AB的长度，可得出BC，根据矩形试验田的面积为50m2，即可得出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：∵篱笆的总长为20m，且AB=x m，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门， ∴BC=（20+1-2x）m． ∴（20+1-2x）x=50． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】解：由题意得，，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C 10. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 【答案】A 【解析】 【分析】M是三条角平分线的交点，过M作，则得出，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：，即可求解． 【详解】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM=∠AEM，， ∴， ∵M是三条角平分线的交点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴∠1=∠2， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， △DBM∽△EMC， ∴， 即：， 即． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键． 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 当_____时，二次根式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 由二次根式有意义得：被开方数为非负数列不等式可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴． 故答案为：． 12. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 13. 如图，线段两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段，则端点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标． 【详解】解：∵以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段， ∴点与点时对应点， ∵点的坐标为，位似比为：， ∴点的坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系式解题的关键． 14. 如图，中，点是的两条中线、的交点，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．取的中点，连接，先证明是的中位线，推出，从而得到，那么，，不妨设，那么，那么，，从而得出答案． 【详解】解：取的中点，连接，如图所示： ∵点是的两条中线、的交点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴，， 不妨设，那么， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 15. 定义运算：, 若a、b是方程的两个根，则的值为____________________(用含m的代数式表示). 【答案】 【解析】 【分析】由题中给出的运算定义式可把要求值的算式化简为包含和的代数式，再由a、b是方程的两个根可得和的值，最后把ab和a+b的值整体代入即可得解． 本题考查了新定义运算、一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是熟知新定义运算的法则． 【详解】∵a、b是方程的两个根， ∴ ∵， ∴ 故答案为：． 16. 如图，在中，平分，点在边上，，若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平角的定义，对顶角相等，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合角平分线，先证明，得到，，接着证明，推出，得到，从而有，不妨设，推出，最后利用推出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴不妨设， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，绝对值，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键．先计算二次根式的乘法，除法，然后去绝对值符号，然后合并同类二次根式，最后求得答案． 【详解】解：原式 18. 解方程：． 【答案】, 【解析】 【分析】利用公式法可求出方程的解． 【详解】 ∵ ，，， ∴ ∴， ∴,． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法-公式法，利用此方法解方程时，首先将方程化为一般形式，找出a，b及c，然后计算出根的判别式的值，若，则将a，b及c的值代入求根公式即可求出解． 19. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和点，使，然后再选点，使，确定与的交点为，如图，测得米，米，米，你能求出两岸之间的大致距离吗？ 【答案】两岸之间的大致距离为100米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证明，由相似三角形的性质“对应边成比例”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即有， 解得米， 即两岸间的大致距离为100米． 20. 已知关于x的一元二次方程（其中k为常数）． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若该方程有一个根为2，求k的值及该方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∵， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2），另一个根为0 【解析】 【分析】本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根与系数关系，属于中考常考题型． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）根据方程解的定义求出k的值，再利用根与系数的关系即可求出另一个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的一个根为， ∴， ∴， ∴方程为， ∴， ∴， ∴另一个根为0． 21. 在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到；A的对应点是的对应点是）； （2）请用无刻度的直尺在边上画出点，使（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，点D即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了位似基本作图，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． （1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，后画图即可； （2）利用平行线分线段成比例和网格，构造平行线与交于点D，点D即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 23. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32，连接BD，AE⊥BD，垂足为E． （1）求证：ABE∽DBC； （2）求线段AE的长． 【答案】 （1）证明：∵AB＝AD＝25， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△DBC； （2）AE=15． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD＝∠ADB，由AD∥BC可得∠ADB＝∠DBC，即可得出∠ABD＝∠DBC，根据∠AEB＝∠C＝90°，即可可证明△ABE∽△DBC； （2）由等腰三角形的性质可知，BD＝2BE，根据相似三角形的性质可求出BE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE即可得答案． 【详解】（1）略 （2）∵AB＝AD，AE⊥BD， ∴BE＝DE， ∴BD＝2BE， ∵△ABE∽△DBC， ∴， ∵AB＝AD＝25，BC＝32， ∴， ∴BE＝20， ∴AE＝＝15． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 24. 已知关于的方程有两个相等的实数根． （1）求、满足的关系式； （2）如图，若的直角顶点在轴上，，B的横坐标为，且的长恰好为方程的解． ①过点作轴，交于点，求证：为定长； ②求面积的最小值． 【答案】（1） （2） ①证明：如图，过作轴于， ∵的长恰好为方程的解， ∵方程的解为：， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设的解析式为， 则， ∴， ∴的解析式为：， 当时，， ∴为定长； ②面积的最小值是 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程有两个相等的实数根，可得，代入计算即可； （2）①作辅助线，证明，可得的长，进而得点的坐标，利用待定系数法可得的解析式，由点的横坐标可得的长；②利用三角形的面积和，可得的面积，再根据完全平方公式，可得的最小值，从而得结论． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②解：由①知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是， ∴面积的最小值是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式、相似三角形的判定与性质、平面直角坐标系的点的坐标、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、完全平方公式，解本题的关键在利用参数表示点的坐标和线段的长． 25. 综合与探究 【定义】若四边形的一条对角线将这个四边形分成等腰三角形和直角三角形，且此对角线为直角三角形的斜边，则这个四边形叫做“等腰直角四边形”，这条对角线为“分割对角线”． 【示例】如图1，是四边形的对角线，是等腰三角形，，则四边形是等腰直角四边形，是分割对角线． 【简单应用】 （1）如图2，在“等腰直角四边形”中，，．若，，，则___________； （2）如图3，在中，点在对角线上．若四边形是“等腰直角四边形”，，求的值； 【拓展提升】 （3）如图4，在“等腰直角四边形”中，对角线与相关于点，，，求的值； （4）如图5，在中，，，．点是平面内一点且满足四边形是以为分割对角线的“等腰直角四边形”，与交于点，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或 【解析】 【分析】（1）过点C作于H，证明四边形是矩形，得到，由勾股定理得，则，可得，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作，垂足为，则，证明，得到，即，解得． （3）如图所示，作交延长线于点，作交于点，证明，得到，设，则，证明，得到，再证明，即可得到； （4）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点C作于H， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）如图所示，过点C作，垂足为， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， 解得． （3）如图所示，作交延长线于点，作交于点， ， ， ， 又， ， ∴， 设，则， ∵， ∴， ， ∴， ，即 ∴， ， ，即； （4）解析：①当时， 过点A作交延长线于F，分别过点C和点D作的垂线，垂足分别为N、M， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则 在和中，由勾股定理得， ∵， 诉 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ； ②当时， 过点D作于M，过点A作交延长线于N， ∴， 同理可得， 过点A作，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ； ③当时， 作交于点，作于H， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴， ∴ ∵， ， ． 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $