辽宁省营口市普通高中2026-2027学年高二上学期10月巩固训练数学试题

高二年级巩固训练 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 女注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的) 1.直线x十2y+1=0在x轴上的截距为 A.1 B.-1 ci D. 1 2.在空间直角坐标系中，点(1,2,3)关于原点中心对称的对称点为 A.(-1,-2,-3)B.(-1,2,3) C.(1,-2,3) D.(1,2,-3) 3.如图，在斜三棱柱ABC-A,B,C中，E为棱BB,的中点，F为棱A,C的中点，记A=a,AC =b,AA1=c,则EF= A-a+2+2 B.a-b+ 1 1 C.-a+2b-2c D.-za+b+jc 4.在正三棱台ABC-A,B1C1中，AB=2,A1B1=4,三棱锥A一AB,C1的体积为4√3，则该棱台 的体积为 A.103 B.95 C.83 D.7√3 5.直线(m十1)x十(m-1)y一2m=0恒过定点 A.（-1,-1) B.(0,2) C.(1,1) D.(2,0) 6.不重合的两点A(1,0,a)与B(b,1,3)在某一坐标平面内的射影点相同，则|AB|= A.1 B.√2 C.3 D.2 高二数学第1页（共4页） 7.已知n1=(-1,2,3),n2=(2,m,-2),n3=(0,1,一1)，若(n1,n2,n3）不能构成空间的一个基 底，则m= A.8 B.3 C.-5 D.-8 8.某公司欲借助一次镜面反射将激光信号送入建筑背面的通信盲区.在空间直角坐标系中，镜面 的一个法向量为(1,1,1)，入射激光的方向向量为(1,2，一2).已知镜面反射时，方向向量在镜 面平面内的分量保持不变，在法向量上的分量反向，则反射激光的方向向量可以是 A.(1,4,-8) B.(1,-4,8) C.（-1,4,-8) D.(1,-4,-8) 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知直线L:+岩=1(ab≠0)，则 A.l不经过第三象限 B.l的截距不可能为ab C.若|a>1bl,则l的斜率大于一1 D.若a<b,则L的倾斜角大于135 10.把边长为3√2，中心为O的正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，线段AD,BC上 的点E,F满足DE=2AE,BF=2CF,则折纸后 A.BE=DF=√14 B∠EOF的余弦值为号 C.点B到平面EOF的距离为2 D.直线BD与平面ACD所成的角为45° 11.在平行六面体ABCD-AB1C,D1中，AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=60°，AB=AD=2,AA, =4,点P满足BP=xAD+yAD1,则 A.点P在平面BB,CC内 B.平行六面体ABCD-A1B,CD,的体积为8√2 C.当x=2y>0时，cos∠PBC=25 5 D.当x=y=1时，AP=2√15 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.直线受+学=1的一个方向向量为 ·(写出一个即可) 13.由于工作与学习的需要，夜灯逐渐成为居家办公的必选物.一种夜灯含有圆柱形的底 座，中心处有圆柱形的支架，顶部有圆台形的遮光物.已知该夜灯可近似视为如图所示 的几何图形绕轴旋转一周所得，为方便计算，设圆台的上底面半径为2，下底面半径为 4,高为2，中心圆柱的底面半径为1，高为6，底圆柱的底面半径为2，高为1，假设该夜 灯为封闭的几何体，则该夜灯的表面积为 14.设O,P,Q,R为空间内互不相同的四点，在由这四点中任意两点所确定的向量中，若任意两 个不相等的向量的数量积均不超过2，则OP的最大值为 高二数学第2页（共4页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 在空间中，点A(1,2,0),B(2,3,1),C(0,0,1),直线l的方向向量为m=(1,一2,2). (1)求1与直线AB所成角的余弦值； (2)求1与平面ABC所成角的正弦值. 16.(本小题满分15分) 如图，在四面体ABCD中，AB⊥AC,AB1BD,且AB=1,AC=2,BD=1,AC·BD=1. (1)求CD的长； (2)若线段AB上的点M满足BM=2AM,求异面直线AD与CM所成角的余弦值， 17.(本小题满分15分) 在四面体OABC中，1OA12=6,|OB12=9,|OC12=7,OA·OB=2,OA.OC=4,OB.O元 =1. (1)求OA+O+OC的值； (2)设G为△ABC的重心，证明：OG⊥平面ABC,并求点O到平面ABC的距离. 高二数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 如图，在长方体ABCD一A1B1CD1中，AB=3,BC=4,AA1=2. (1)求点B到直线AD,的距离； (2)设P为线段AD1上（不包含端点）的一点，且CP⊥BD. (1)求AP与DP的长度之比； (iI)求平面PB1C与平面PA1C夹角的余弦值. 19.(本小题满分17分) 给定实数a≠0，b≠0，设点P(a,b),过点P作与两坐标轴均不平行的直线. (1)若该直线的斜率为k,求该直线在两坐标轴上的截距之和； (2)作两条这样的不同的直线，若其在两坐标轴上的截距之和相等，求这两条直线的斜率 之积； (3)若对任意实数入，在两坐标轴上的截距之和为λ的直线都恰有两条，且这两条直线不垂 直，求的取值范围。 高二数学第4页（共4页）高二年级巩固训练 数学 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅡⅢVM①②③④⑤⑥ 档次 系数 1 单选题 5 直线截距的求解 多 0.95 2 单选题 空间坐标系点对称问题 易 0.92 单选题 5 空间向量的线性运算 易 0.87 4 单选题 棱台的体积 易 0.85 5 单选题 5 直线过定点问题 易 0.82 6 单选题 5 射影点问题 / 中 0.77 7 单选题 空间向量基底问题 中 0.75 8 单选题 5 空间向量的实际应用 难 0.50 9 多选题 6 直线倾斜角综合 易 0.85 10 多选题 6 立体几何折叠问题 0.62 11 多选题 6 空间向量综合 难 0.57 12 填空题 5 直线的方向向量 易 0.83 13 填空题 圆台与圆柱的表面积 中 0.65 14 填空题 5 空间向量综合 难 0.44 15 解答题 13 线线角、线面角 中 0.65 16 解答题 15 立体几何与空间向量综合 / 中 0.55 17 解答题 15 空间向量综合 中 0.52 18 解答题 17 立体几何与空间向量综合 难 0.49 19 解答题 17 直线综合 难 0.41 ·%1 参考答案及解析 ·高二数学· 参考答案及解析 高二数学 一、单选题 代入第三个方程，3·（一2)一μ=-2→以=-4，代入 1.B【解析】令y=0,得x十1=0，故x=-1,所以直 第二个方程得，m=2入十u=2·(-2)十(-4)= 线x十2y十1=0在x轴上的截距为-1，故选B. 一8.故选D 2.A【解析】关于原点中心对称时，三个坐标均变为相 8.A【解析】入射激光在镜面法向量(1,1,1)方向上的 反数，故点(1,2,3)关于原点中心对称的对称点为 分量为82.0(1,11)=111 (1,1,1)·(1,1,1) (-1,-2,-3).故选A. 3.A【解析】由E为棱BB:的中点，得A它=AB+B2 由反射时平行于镜面的分量不变、在法向量上的分量 =a十号e,由F为棱A:C的中点，得A方=AA+ 反向，得反射后的方向向量为1,2，-2)一2×号(1， A市=c+b,所以成=A市-A花=-a十b 11=(，)取其3倍得1,4，-8.故 选A. 之c故选A 二、多选题 4D【解析】记棱台的高为么，可得子×4华义 4 9.AC 【解析】若x<0且0，则若十六<0，与原方 43,解得h=3,所以该棱台的体积V=3 1 程矛盾，则l不经过第三象限，故A正确；取a=b= 1,则l在两坐标轴上的截距均为1=ab,故B错误；由 (×2+×2x4+×4）×3=76.故选D 臣+产1，得1的斜率为一会，若。>，则> 5.C【解析】原方程可化为m(.x十y一2)十(x-y) 0,由于该直线过定点，上式关于m恒成立，故x十y一 公，从而0<号<1，故-1<一答<0，即1的斜率大 2=0且x一y=0,解得x=y=1,所以该直线恒过定 于一1，故C正确；取a=-1,b=1,则a<b,此时l的 点(1,1).故选C. 斜率为-1，倾斜角为135°，故D错误.故选AC, 6.A【解析】两点在xOy平面上的射影点的y坐标分 10.ACD【解析】由题意可得OA=OB=OC=OD=3, 别为0,1，不可能重合；在yOx平面上的射影点的y 且OC⊥OB,OC⊥OD,OB⊥OD,以O为原点，OB, 坐标也分别为0,1，不可能重合；故只能在xOx平面 OC,OD所在直线分别为x,y,之轴建立如图所示的 上的射影点相同，从而a=3,b=1,因此A(1,0,3), 空间直角坐标系， B(1,1,3),所以|AB= √/(1-1)十(1-0)十(3-3)=1.故选A. 7,D【解析】空间中三个向量不能构成基底的充要条 件是三个向量共面，即存在实数入，以使得n2=An1十 (2=-入 s,代入坐标得方程组，了m=2λ十μ，可得入=一2， -2=3λ-4 ·1· ·高二数学· 参考答案及解析 得O(0,0,0)A(0,-3,0),B(3,0,0),C(0,3,0), +(x+y)AD+yAA=AB+2AD+AA,所以AP D(0,0,3),由DE=2AE,BF=2CF,得E(0,-2, =AB+4AD+AA+4AB.AD+4AD.AA 1),F(1,2,0),故BE=DF=√14，故A正确：OE +2AB,AA=4+4X4+16+4×2×4×号+2× (0,-2,1),OF=(1,2,0),故cos∠E0F 0龙.o市 =一专，故B错误：设平面EOF的法 2X4X2 =60,所以AP=2√15，故D正确.故 10E11ō 选ABD. n·OE=-2y十之=0 向量为n=(x,y,z),则 ,取x 三、填空题 In.OF=x+2y=0 =-2,得y=1,x=2,则n=(-2,1,2),所以点B到 12.(2,-3)(答案不唯一)【解析】由受十兰=1，得 平面EOF的距离为1O成：nl 6 3x十2y一6=0，故该直线的一个方向向量为 n √/(-2)2+1+2 (2,一3)，从而其全部方向向量为(2λ，一3入)，其中入 =2,故C正确；由题可得OB⊥OD,OBAC,因为 ≠0.故答案为(2，一3)（答案不唯一）. AC∩OD=O,AC,ODC平面ACD,所以OB⊥平面 13.(42十12√2)π【解析】由题可得圆台的母线长1= ACD,所以∠BDO为直线BD与平面ACD所成的 角.因为OB=OD=3,所以△BOD为等腰直角三角 √2+(4一2)r=2√2，可得其侧面积S1=π(4十2)1 形，故∠BDO=45°，故D正确.故选ACD. =12√2π，中心圆柱与底圆柱的侧面积之和S,= 11,ABD【解析】对于A,由BC∥AD,BC∥AD,得 2π(1×6十2×1)=16π，该夜灯露出的底面积S:= BP=xBC+yBC,所以点P在平面BBCC内， π(2十42一12+22-12+2)=26π，故该夜灯的表面 故A正确：对于B.由o∠AAB=识=子，得 积S=S十S,十S=(42+12√2)π.故答案为(42+十 122)元. AB⊥AB,同理AD⊥A1D,易得AB⊥AD,因为 14.2【解析】因为点O,P,Q互不相同，所以OP≠OQ, A1B∩AD=A,AB,A1DC平面ABCD1,所以 若0心=QP,则由QP=O币-00，得00=0，矛盾，所 AB⊥平面ABCD,又ACC平面ABCD,所以 以Op≠QP.由题意Op·O0≤2，Op.Q妒≤2，又 A1C⊥AB,由对称性可得AC⊥AD,因为AB∩AD o0+Q2-o°，所以o:=0p.0币=o币.00+ =A,AB,ADC平面ABCD,所以A1C⊥平面 Op.Q产≤4，从而0P≤2.取O(0,0,0),P(2,0,0), ABCD,则AC为平行六面体ABCD-ABCD Q(1,1,0),R(1,0,1),则由这四点中任意两点所确 的高，由题可得AC=2√2，则AC=√/A1A-AC 定的向量为士(2,0,0)，士(1,1,0)，士(1,0,1)， =2E,所以VD-4Gn=AC·AB·AD= 士(1，-1,0)，士(1,0，-1)，士(0，-1,1)，除 8√2，故B正确；对于C,当x=2y>0时，BP=xA方 士(2,0,0)外，其余向量的模均为√2，故其中任意两 +y(AD+AA)=(x+)AD+yAA=3y AD+ 个向量的数量积均不超过2；士(2,0,0)与其余向量 yAAi,因为BC=AD,所以BP·BC=3yAD+ 的数量积均为士2或0，而(2,0,0)·（一2,0,0）= yA方·AA=12y+4y=16y,又|B 一4，该构造满足题设条件，且OP=2.综上，OP的 y√/9AD+AA2+6AD·AA=2√I9y,所以 最大值为2.故答案为2. BP.BC 16y =4I9 四、解答题 cOs∠PBC |BP||BCI2√I9yX2 19 15.解：1)由题得AB=(1,1,1), (2分) C错误；对于D,当x=y=1时，AP=AB+BP=AB 设l与直线AB所成角为a, ·2 参考答案及解析 ·高二数学· 则cosa= AB·m 17.解：(1)0A+02+0心：=OA2+1O苑+0心 AB m +2OA.Oi+2OA·OC+2Oi.O心=36，(4分) 11-2+2 9 故OA+Oi+0C=6. (5分) √/1十+1+I×W1+4十4 (2)因为G为△ABC的重心， 所以1与直线AB所成角的余弦值为 9 (5分) 所以0心-号oi+0成+0d. (7分) (2)由题得AC=(-1,-2,1), (7分) 则3O元.Ai=(OA+Oi+Od·(oi-OA) 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), =OB2-OA2+O元.OB-O心.OA=0, n·AB=0 |x十y十之=0 则 3O心.AC=(oA+Oi+O心)·(O元-OA) -x-2y十x=0 =O元-OA12+OB.O元-Oi.OA=0, 取x=3,得y=-2,2=-1,则n=(3,-2,-1). (11分) (9分) 所以OG⊥AB,OG⊥AC, (12分) 设L与平面ABC所成的角为0， 又AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC, sin =I cos(m,n)m.n m n 所以OG⊥平面ABC. (13分) =3+4-2L_5√14 (1)得0G=号Oi+Oi+0心=2， 3√9+4十1 421 故点O到平面ABC的距离为2. (15分) 所以1与平面ABC所成角的正弦值为5Y 42 18.解：(1)因为AB⊥AD,AB⊥AA,且AD∩AA1= (13分) A,AD,AA1C平面ADD1A1, 16.解：(1)由CD=CA+AB+BD=AB+BD-AC, 所以AB⊥平面ADD1A, (2分) (2分) 因为ADC平面ADD1A,所以AB⊥AD1, CD=AB+BD:+AC:+2AB.BD-2 AB. 又A∈AD,故点B到直线AD1的距离为AB=3. AC-2AC.BD=1+1+4-2=4, (4分) 所以CD=2. (6分) (2)(i)以A为原点，AB,AD,AA所在直线分别 (2)由BM=2AM,得A立=号A点， 为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， Z 所以C成-A成-AC-号A店-A心. 且CM=√合Ar+AC-, 3, (9分) 又AD=AB+BD, 所以AD.C成=(A言+Bò)·（号Ai-AC) =}-1=号 则A(0,0,0),D(0,4,0),A1(0,0,2),B1(3,0,2), 且AD=√AB+BD严=√2， (13分) C(3,4,0),C(3,4,2),D1(0,4,2), 故异面直线AD与CM所成角的余弦值为 AD.CMI_V74 所以AD=(0,4,2),B1D=(-3,4,-2),(6分) 371 (15分) ADI CMI 设AP=tAD,0<t<1,则P(0,4t,2t), ·3· ·高二数学· 参考答案及解析 所以C户=(-3,4t-4,21-2). (7分) 得该直线方程为y一b=k(x一a), (2分) 因为CP⊥BD, b 令y=0,得x=a-名令x=0,得y=b-ak, 所以CP·B1D=9十4(4t-4)-2(2t-2)=0,解得 故该直线在两坐标轴上的截距之和为a十b-ak- =子 b (5分) 所以AP:DP=1:3. (9分) (2)设两条直线的斜率分别为k1,k2,k1≠k2, (i)油=，得P(o1,) 则a+6ak一是=a+baks-名 b 所以PB=(3,-1,）P心=(3,3，-)），PA 即(-(a)=0 (0,-1,2)PC=(3,3,号) (11分) 因为≠k:,a≠0，b≠0，故k1k2=b (10分) 设平面PBC的一个法向量为n1=(x,y,z), m.p成-8x-y叶受=0 (3)当载距之和为入时a十b-ak一冬=X, 则 即ak2-(a十b-A)k十b=0. (12分) 1 m1·pt=3x十3y-z=0 因为对任意实数λ，这样的直线恰有两条， 取y=3,得x=-2,2=6,则n1=(-2,3,6). 所以对任意实数A,有△=(a十b-)2-4ab>0. (13分) 取λ=a十b,得ab<0; 设平面PAC1的一个法向量为n2=(a,b,c), 反之，若ab<0,则对任意实数，均有△=(a十b- f…pA=-6+多c=0 A)2-4ab>0, 且因b≠0，两根均不为0，故恰有两条符合条件的直 …nC=3a+36+号=0 线 (15分) 取b=3,得a=一4，c=2,则2=（一4,3,2） 由(2)知这两条直线的斜率之积为合， (15分) 又两直线不垂直，所以么≠-1， 设平面PBC与平面PAC的夹角为， 则cos0=|cos(n1,n)川=m·n=2 由ab<0,得么<0， n1 n2 71 所以平面PBC与平面PA,C夹角的余弦值为 所以名的取值范围为(-©，-1DU(-1,0). v29 (17分) 7 (17分) 19.解：(1)由直线过点P(a,b)且斜率为k,k≠0， ·4