精品解析：辽宁沈阳铁路实验中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

2026-2027学年度上学期十月验收考试 高二数学 命题：霍美妮 审题：易思 时间：120分钟 满分：150分 试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷选择题（1-11题，共58分）和第Ⅱ卷（非选择题，12-19题，共92分）.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.作答时，将答案写在答题纸上，写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题 1. 若直线经过点，且直线的方向向量，则直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线的方向向量得到直线的斜率，结合点斜式方程列出方程即可； 【详解】因为直线的方向向量，所以直线的斜率， 因为直线经过点，所以直线的方程为，即. 故选：C. 2. 已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为点，，所以线段的中点， 点关于平面对称的点的坐标为. 3. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或 C. D. 与相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以， 所以或. 4. 已知、，则函数的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】将函数看作点和点与的距离之和，可得，由此求得函数的最小值. 【详解】函数的几何意义是点和点与的距离的和． 由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立． 此时取得最小值，最小值为． 故选：A． 5. 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由和结合共面向量定理得四点共面， 即点在平面上，则的最小值为点到平面的距离． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量，则， 取，点到平面的距离． 6. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 7. 若直线，的倾斜角分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 8. 如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：异面直线求夹角作平行线与已知直线相交，构成的夹角为异面直线所成角，通过解三角形计算取值范围；法二：通过建立空间直角坐标系，利用三角函数法对点设出坐标，将异面直线所成角转化为两条直线方向向量所成的角，进而计算取值范围． 【详解】法一：取底面圆心为，连接，，，作，垂足为，连接； 因为是的中点，为的中点，故； 则即为直线与所成角； 设底面半径为，则，，； 因为，，故； 由余弦定理可知 由， 因为是底面圆周上一动点，故，则； 代入可得； 法二：取的中点，连接，与的中点， 由圆锥的垂直关系可知垂直于底面，与的中点的连线垂直于直径； 故以为原点，与的中点的连线为轴，为轴建立空间直角坐标系； 因为圆锥的轴截面是等边三角形，设，则； 故，，，，设； 则，； 则； 则直线与所成角的余弦值为； 因为，则，． 二、多选题 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若空间向量、满足，则 B. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C. 对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D. 若三个非零空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量相等的概念判定即可；对于B，根据空间基底不共面判断即可；对于C，、反向共线时也成立，结合充分条件与必要条件的概念判断即可；对于D，根据空间向量的位置关系判定即可. 【详解】对于A：方向相同、长度相等的两个向量才是相等向量，A明显错误； 对于B：已知是空间的一组基底， 若，不妨设，即，于是得出、、共面， 这与是空间的一组基底矛盾，故假设不成立，则可以作为基底； 则也是空间的一组基底，故B正确； 对于C：当、反向共线时也成立，但与夹角不为钝角； 但与夹角为钝角时一定成立，故C正确： 对于D：由于空间中垂直于同一直线的两直线（及其方向向量）可以不平行，所以D错误． 10. 已知直线l：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l的一个方向向量为 C. 若直线l在x轴上的截距为3，则 D. 若，则直线l的倾斜角α的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【详解】直线，整理得， 故直线恒过点，故A正确； 直线斜率，可取方向向量，而方向向量仅当时， 是直线的方向向量，故B错误； 由题意知在直线上，故，解得，故C正确； ，倾斜角范围，不是，故D错误． 11. 如图，在平行六面体中，已知，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】设，，，将问题转化为基向量求解. 【详解】设，，， 由题意知，，则，，， ， ，， 即，选项正确； ，选项错误； ， ，选项错误； 设平面的一个法向量为，则的坐标为，而， 则即即，令，解得，， 所以， ， ， ， ， 设与平面所成角为， ，选项正确. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题 12. 已知，，，若、和共面，则实数________． 【答案】 【解析】 【详解】若、和共面，则且， 所以，则，可得. 13. 点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线与平面所成的角为，作平面，得到点的轨迹即可求轨迹长度. 【详解】 因为直线与平面所成的角为， 由平面，得直线与所成的角为， 因为，故点不能在平面和平面内； 若点在平面内，则点的轨迹是； 若点在平面内，点的轨迹是； 若点在平面内，作平面于点，如图所示， 因为，所以，又因为，则，故， 所以点的轨迹是以点为圆心，以3为半径的四分之一圆， 此时点的轨迹长度为， 综上，点的轨迹的总长度为. 14. 如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 【答案】 【解析】 【详解】由，得，由，得，由， 得 ， 所以的长为. 四、解答题 15. 设直线的方程为. （1）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （2）若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】（1）； （2）最小值为2，直线的方程为. 【解析】 【分析】（1）由题意得到不等式组，求解即可； （2）表达出三角形面积，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为：不经过第二象限， 则，解得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 因为直线的方程为， 令，得；令，得； 且，则，， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为2，此时直线的方程为. 16. 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的判定定理来证明 （2）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，最后计算夹角的余弦值. 【小问1详解】 在矩形中，分别为的中点，连接，则， 在与中，易得，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，，因为平面，平面，所以平面， 又因平面，故平面平面. 【小问2详解】 以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因，， 则，即令，则， 设平面的法向量为， 则，即令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，点是的中点，点在棱上，且． （1）求证：； （2）若二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）连接AC． 因为底面是正方形，所以． 因为底面，所以． 又因为，平面,平面， 所以平面．又因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线线垂直可证明平面，进而利用线面垂直的性质可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量法和二面角的正弦值求得. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知可得，，，． 所以．由，得，所以． 设平面的法向量为， 则，即，取． 由题意可得平面的一个法向量为． 设二面角的平面角大小为θ，由，得． 即，解得（舍去）． 18. 如图1，已知菱形的对角线和交于点，，.将沿直线折叠，使得平面平面（如图2），连接，，分别是，的三等分点（靠近点），平面与交于点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：因为，分别是，的三等分点（靠近点）， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，利用线面平行的判定定理推得平面，再由线面平行的性质定理即可证明； （2）根据条件建系，求出相关点与向量的坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为菱形的对角线和交于点， 所以为的中点，且，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. 故可以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 因，则点为的中点，故， 又是的三等分点，则， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点到平面的距离为. 19. 如图，三棱柱的所有棱长均为2，三棱柱的体积为3，且． （1）若平面与平面交于直线，求点到直线的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取线段中点，连接，作，那么四边形为平行四边形，因为,所以，所以四点共面，即平面，因为，所以四点共面，即平面，所以平面平面，即直线为直线，再通过为正三角形求得点到直线的距离； （2）通过，又，,平面，所以平面，可得，再由，，那么所以平面,以点为原点，为轴，为轴，为轴，通过求出平面与平面的法向量求两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 取线段中点，连接，作，那么四边形为平行四边形， 因为,所以，所以四点共面，即平面， 因为，所以四点共面，即平面， 所以平面平面，即直线为直线， 因为，故点到直线的距离等于点到直线的距离 因为三棱柱的所有棱长均为2，所以为正三角形，, 又点为中点，故， 又，故， 所以点到直线的距离等于. 【小问2详解】 连接，那么因为三棱柱的所有棱长均为2， 所以为正三角形，, 又点为中点，故， 又，,平面 所以平面，又平面,所以, 所以在中，，，, 所以为正三角形，设到平面距离为，那么 ，，又， 所以平面, 以点为原点，为轴，为轴，为轴，那么 , 由可得, 设平面的法向量为，平面的法向量为， 平面与平面夹角为，那么 ，取，则， ，取，则， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期十月验收考试 高二数学 命题：霍美妮 审题：易思 时间：120分钟 满分：150分 试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷选择题（1-11题，共58分）和第Ⅱ卷（非选择题，12-19题，共92分）.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.作答时，将答案写在答题纸上，写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题 1. 若直线经过点，且直线的方向向量，则直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 3. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或 C. D. 与相交但不垂直 4. 已知、，则函数的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若直线，的倾斜角分别为，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若空间向量、满足，则 B. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C. 对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D. 若三个非零空间向量、、满足，，则 10. 已知直线l：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l的一个方向向量为 C. 若直线l在x轴上的截距为3，则 D. 若，则直线l的倾斜角α的取值范围为 11. 如图，在平行六面体中，已知，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 与平面所成角的正弦值为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题 12. 已知，，，若、和共面，则实数________． 13. 点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为________． 14. 如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 四、解答题 15. 设直线的方程为. （1）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （2）若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 16. 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，点是的中点，点在棱上，且． （1）求证：； （2）若二面角的正弦值为，求． 18. 如图1，已知菱形的对角线和交于点，，.将沿直线折叠，使得平面平面（如图2），连接，，分别是，的三等分点（靠近点），平面与交于点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 19. 如图，三棱柱的所有棱长均为2，三棱柱的体积为3，且． （1）若平面与平面交于直线，求点到直线的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $