精品解析：河南安阳市林州市部分校2026-2027学年九年级上学期第一次阶段自评(A) 数学试题

九年级上学期第一次阶段自评（A） 数学 （考试范围：1～62页满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共4页，三个大题，满分120分． 2．试题卷上不要答题，请把各题答案直接涂写在答题卡上相对应的位置，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将答题卡上对应本人的姓名、考场、座号、准考证号等信息填写完整或把条形码粘贴在贴条形码区的位置上． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一元二次方程共有（ ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 方程经过配方法化为的形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 4. 已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 13或15 5. 郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．则该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 12. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是_________． 13. 函数是二次函数，则m的值是_________． 14. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 15. 如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 解下列一元二次方程： （1）． （2）． 17. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 18. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 19. 在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 20. 某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为元，经市场预测，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个． （1）商店若准备获得利润元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ （2）商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？ 21. 函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）方程的两个根为______； （2）当时，则的取值范围为_______；若方程有实数根，则的取值范围是______； （3）当时，求变量的取值范围． 22. 如图，抛物线与轴交于点、（在的右侧），与轴交于点． （1）分别求出，，的坐标； （2）在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 23. 如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线的顶点，求的面积； （3）在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第一次阶段自评（A） 数学 （考试范围：1～62页满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共4页，三个大题，满分120分． 2．试题卷上不要答题，请把各题答案直接涂写在答题卡上相对应的位置，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将答题卡上对应本人的姓名、考场、座号、准考证号等信息填写完整或把条形码粘贴在贴条形码区的位置上． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一元二次方程共有（ ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 2. 方程经过配方法化为的形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，先将方程变形为，再两边同时加上1，利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， 移项，得：， 方程两边都得：， ∴， 故选：A． 3. 若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用一次函数性质得出，再判断出，即可求解． 【详解】解：根据题意可知一次函数（为常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴，， 对于一元二次方程，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 4. 已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 13或15 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的边长，最后计算周长得到答案． 【详解】解：， 解得，， ∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ， 即第三边 ， ∴不符合要求，舍去， 则第三边长为6， ∴此三角形的周长为． 5. 郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 6. 若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 7. 已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 8. 掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．则该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数表达式是解题的关键．已知顶点坐标，设顶点式，将代入求出的值，即可求出函数表达式，再求出时的值，即点的坐标，则可知的长． 【详解】解：设行进高度与水平距离之间的函数关系式为， 将代入得：， 解得， ， 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 点的坐标为， 的长为， 该男生此次掷实心球的成绩是． 故选：B． 9. 如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】∵抛物线与直线交于， ∴不等式为：或， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键２ 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数关系是解答的关键，根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，， 即，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；同时，方程有实数根需满足判别式非负，由此建立条件不等式组求解即可． 【详解】解：方程 是一元二次方程， ， 一元二次方程有实数根， ， 解得 ， 故 的取值范围是且 ． 12. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图像平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 先把化成顶点式，然后确定顶点坐标为，再把顶点按照题干要求平移得到新的顶点坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴把点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点的坐标为， ∴平移后得到的抛物线解析式为：． 13. 函数是二次函数，则m的值是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据二次函数的定义可得且，即可求解． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：． 14. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 15. 如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】运用待定系数法求得解析式，设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，可得到，利用三角形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点， 则， ∴， ∵的面积为15， ∴， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 解下列一元二次方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程． （2）利用公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 【小问2详解】 解：整理方程得， 其中， ， 则， 解得，． 17. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】（1）证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． （2）或或 【解析】 【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据平方的非负性判断方程总有两个实数根； （2）利用公式法求出，，再根据方程的两个实数根都是整数，即可求出正整数的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， 为正整数， ∴为4的正约数， 或或． 18. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【小问1详解】 解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 19. 在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或2时，； （2）存在秒，能够使得五边形的面积等于． （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确的列出方程和二次函数的解析式是解题的关键： （1）表示出的长，根据勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分割法求五边形的面积，列出方程进行求解即可； （3）将的面积转化为二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：或； 【小问2详解】 存在，理由如下： ∵五边形的面积， ∴当五边形的面积等于时，， 解得：或， ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴当点到达点时，， ∴， ∴当时，五边形的面积等于； 【小问3详解】 存在， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大为． 20. 某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为元，经市场预测，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个． （1）商店若准备获得利润元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ （2）商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）每个定价为元，应进货个 （2）每个定价增加元时可获得最大利润，可获得的最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设每个定价增加元，根据题意列一元二次方程，解方程求出的值，根据进货量较少，确定符合题意的的值，进而可得出答案； （2）设每个定价增加元，获得利润为元，可得，根据二次函数的性质求出的最大值即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每个定价增加元， ∵每个进价为元，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个，准备获得利润元， ∴， 解得：，， ∵要使进货量较少， ∴每个定价为（元），应进货（个）． 答：每个定价为元，应进货个． 【小问2详解】 解：设每个定价增加元，获得利润为元， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：每个定价增加元时，可获得最大利润，最大利润是元． 21. 函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）方程的两个根为______； （2）当时，则的取值范围为_______；若方程有实数根，则的取值范围是______； （3）当时，求变量的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据图象知，方程的两个根为； 【小问2详解】 解：根据图象知，当时，则的取值范围为； ∵， ∴顶点坐标为， 若方程有实数根， ∴的图象与直线有交点， ∴； 【小问3详解】 解：抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 当时，，当时，，当时，， 当时，该二次函数的函数值的取值范围是． 22. 如图，抛物线与轴交于点、（在的右侧），与轴交于点． （1）分别求出，，的坐标； （2）在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2）解：存在， 如图，连接与对称轴交于点Q；连接，此时的周长最小， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴该函数的对称轴为直线， 当时，， ∴点Q的坐标为． 【解析】 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）连接与对称轴交于点Q；连接，此时的周长最小，求出直线的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， 当时，， ∴点； 【小问2详解】 略 23. 如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线的顶点，求的面积； （3）在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入关系式得出方程组，求出解即可； （2）先求出点，再根据待定系数法求出直线的解析式，然后求出抛物线的顶点坐标，接着作轴交直线于点E，并求出，最后根据得出答案； （3）先表示出直线向上平移后的关系式为，再将两个关系式联立，根据有一个交点可知，然后求出，即可得出平移后的关系式，最后求出交点即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数关系式为； 【小问2详解】 解：在中，当，则， ∴点， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴． 过点D作轴交直线于点E， ∴点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵直线的解析式为， 将直线向上平移a的单位长度，使其与抛物线只有一个交点， 则平移后的关系式为， 当直线与抛物线有一个交点时，此时直线与抛物线的交点为点N，两平行线间得距离最大，即点N到直线的距离最大． 将两个关系式联立，得， 整理，得， ∴， 解得， 所以平移后的直线关系式为，则， 解得， ∴， ∴点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $