精品解析：河南省安阳市林州市姚村镇第一初级中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（12月份）

2025-2026学年九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 不透明的袋子中装有2个红球和4个黄球，除了颜色外没有任何不同，随机摸出一个是红球的概率为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，是的两条弦，，垂足为点M，点N为的中点，延长交CB于点H，若，的面积为15，，则为（　　） A. B. C. 10 D. 9 5. 一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若点都在反比例函数上，且，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，点E、F分别在AB和DC的延长线上，且，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为2．则k的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 9. 如图，、是的两条切线，、是切点，，阴影部分的面积为，则的半径长为(　　) A. B. 3 C. 1 D. 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④⑤（m为实数）；⑥一元二次方程有两个实数根．其中错误结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每小题3分，满分15分） 11. 已知关于x的一元二次方程，若方程的一个根是2，则另一个根是______． 12. 某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是______（填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 13. 如图，已知点A，B在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，与交于点P，且P为的中点，若的面积为，则______． 14. 如图，四边形为的内接四边形，已知，则的度数为 ______°． 15. 动态几何的问题背景往往是特殊图形，分析过程中要把握好一般与特殊的关系，抓住变化中的不变，做到动中有静，动静结合．如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是_____． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （2）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的值. 17. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有2个黄球和6个红球，乙口袋中装有4个黄球和12个红球，每个口袋中的小球除颜色外完全相同，现分别从两个口袋中摸出1个球． 小明说：“因为乙口袋中黄球比甲口袋中黄球多，所以从乙口袋中摸到黄球的概率大于从甲口袋中摸到黄球的概率．” 小丽说：“因为甲口袋中红球比黄球多4个，乙口袋中红球比黄球多8个，所以从甲口袋中摸到黄球的概率大于从乙口袋中摸到黄球的概率．” 你认为谁的说法正确，说明理由． 18. 如图，是的对称中心，与相切于点． （1）求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明； （2）当与相切时，是菱形吗？说明理由． 19. 如图，点分别在正方形的边上，且．把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：． （2）若，，求正方形的边长． 20. 设函数，函数（，，b是常数，，）．若函数和函数的图象交于点，点． （1）求点，的坐标． （2）求函数，的表达式． （3）当时，直接写出的取值范围． 21. 蜀绣，是巴蜀地区流行的一种民间工艺，国家级非物质文化遗产之一，某经销商从工厂以30元每把的价格购进一批蜀绣团扇，经市场调研，当该蜀绣团扇每把的销售价为50元时，每周可销售120把，当每把的销售价每增加1元，每周的销售量将减少4件．设该蜀绣团扇每件的销售价为x元，每周的销售量为y把，利润为w元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）为保证每周获得2400元的销售利润，则每周该蜀绣团扇的销售价应定为多少？ （3）若规定每把该蜀绣团扇的售价不低于成本价，且不高于成本价的倍，当销售价定为多少时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，在中，，以腰为直径作，交于点D，交于点E． （1）求证：． （2）连结，若，，求图中阴影部分的面积． 23. 已知抛物线L：经过点，其顶点为M． （1）用含m的式子表示； ①直接写出顶点M的坐标 ； ②直接写出点关于抛物线L的对称轴对称的点的坐标 ； ③求抛物线L的表达式． （2）当时，求与抛物线L关于直线成轴对称的抛物线T的表达式（结果用二次函数的一般式表示）． （3）规定：抛物线L与直线l：所围成的封闭图形的边界上，纵坐标为整数的点叫做“美点”．当时，直接写出封闭图形边界上“美点”的个数 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据即可求出的取值范围，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根，即， ∴， 解得：， 故选：． 2. 如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义 ，轴对称图形：可以被一条直线分割成两个完全相同的部分的图形； 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， 逐项判断即可． 【详解】解：由定义可知，选项A：既是轴对称图形，又是中心对称图形； 选项B：是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项C：是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项D：是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选：A 3. 不透明的袋子中装有2个红球和4个黄球，除了颜色外没有任何不同，随机摸出一个是红球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单概率的计算，利用概率公式（所求事件发生的概率=该事件包含的等可能情况数÷所有等可能情况总数）求解即可． 【详解】解：由题意，可知袋子中共有个球，其中红球共有2个， ∴随机摸出一个是红球的概率为． 故选：D． 4. 如图，是的两条弦，，垂足为点M，点N为的中点，延长交CB于点H，若，的面积为15，，则为（　　） A. B. C. 10 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，利用圆周角定理以及三角形内角和可得，再根据三角形面积公式可求出，进而得出即可． 【详解】解：∵，点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 设，则， ∵，即， ∴或， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线，圆周角定理以及三角形内角和定理，掌握三角形面积计算方法，直角三角形的性质是正确解答的前提． 5. 一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．首先求得圆锥的底面周长，即扇形的弧长，然后根据弧长的计算公式即可求得圆心角的度数． 【详解】解：圆锥的底面周长是：， 设圆心角的度数是，则， 解得：． 故侧面展开图的圆心角的度数是． 故选：A． 6. 若点都在反比例函数上，且，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据得到反比例函数图象经过第二四象限，且再每一象限内，随着的增大而增大，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象经过第二四象限，且再每一象限内，随着的增大而增大， ∵， ∴， 故选：B． 7. 如图，四边形内接于，点E、F分别在AB和DC的延长线上，且，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，根据两直线平行求出，再根据圆内接四边形对角互补求出，即可判断． 【详解】∵， ∴， ∵四边形内接于． ∴， ∴，故B选项正确； ∵与不确定平行， ∴无法求出的度数，故A，C不正确； ∵与不确定平行， ∴无法求出，故D选项不正确； 故选：B． 8. 如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为2．则k的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积计算，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，，根据三角形的面积公式得到，是解题的关键． 【详解】解：∵轴， ，B两点纵坐标相同， 设，，则，， ， ， 故选：C． 9. 如图，、是的两条切线，、是切点，，阴影部分的面积为，则的半径长为(　　) A. B. 3 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据已知条件得到，根据扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵、是的两条切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形的面积公式，三角函数的定义，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④⑤（m为实数）；⑥一元二次方程有两个实数根．其中错误结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由抛物线可知：，， 对称轴， ， ∴，故①正确； 由对称轴可知：， ， 时，有， ， ，故②正确； 关于的对称点为， 时，，故③正确； 抛物线与x轴有两个交点， ，即，故④正确； 当时，y的最小值为， 时，， ，即，故⑤错误； 的最小值为负数， 二次函数的图象与直线的图象有两个交点， 一元二次方程有两个实数根，故⑥正确； 错误的有⑤， 故选：A． 【点睛】主要考查二次函数图象的性质与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 二．填空题（每小题3分，满分15分） 11. 已知关于x的一元二次方程，若方程的一个根是2，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程的解和解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键．先把代入方程得到k的值，进而得到原方程，直接解方程求另一个根即可． 【详解】解：把代入方程， 得到， 解得：， 原方程为， 解得：，， 方程另一个根是， 故答案为：． 12. 某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是______（填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定a、b、c的值，再分别求出对应时间段甲乙生产量最多相差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论． 【详解】解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误； 由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个， ∴当，且时，甲乙生产量最多相差个； 当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个； 甲升级完成后每天生产个， 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意； 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个； 综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ，， ∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确； ∴说法正确的有②④， 故答案为：②④． 13. 如图，已知点A，B在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，与交于点P，且P为的中点，若的面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，利用设而不求思想表示出点坐标，从而找到与k与之间的联系是解题关键．设，借助点P为中点，用含a，k的式子表示点B的坐标，从而表示出，，再通过面积公式消去a，得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：设，则由轴，可知， ∵P为中点， ∴， 又轴， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的横坐标为， ∴， ∴，， ∴， ∴． 14. 如图，四边形为的内接四边形，已知，则的度数为 ______°． 【答案】110 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 由圆周角定理得，， 故答案为：110． 【点睛】本题主要考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 15. 动态几何的问题背景往往是特殊图形，分析过程中要把握好一般与特殊的关系，抓住变化中的不变，做到动中有静，动静结合．如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识．如图，取的中点Q，连接，由，推出，推出当时，最小，此时的值最小． 【详解】解：如图，取的中点Q，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，最小，此时的值最小， 在中，∵， ∴， ∴的最小值为3． 故答案为：3． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （2）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的值. 【答案】（1） 证明：根据题意得：， ， ， 即， 勾系一元二次方程必有实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）结合勾股定理证明一元二次方程的根的判别式即可； （2）把代入方程可得，进而可求出，再利用完全平方公式的变形整体求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，有，即， ，即， ， ， ，， ， ∴， . 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、勾股定理以及完全平方公式的变形等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键. 17. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有2个黄球和6个红球，乙口袋中装有4个黄球和12个红球，每个口袋中的小球除颜色外完全相同，现分别从两个口袋中摸出1个球． 小明说：“因为乙口袋中黄球比甲口袋中黄球多，所以从乙口袋中摸到黄球的概率大于从甲口袋中摸到黄球的概率．” 小丽说：“因为甲口袋中红球比黄球多4个，乙口袋中红球比黄球多8个，所以从甲口袋中摸到黄球的概率大于从乙口袋中摸到黄球的概率．” 你认为谁的说法正确，说明理由． 【答案】 ∵甲口袋中装有2个黄球和6个红球， ∴P（甲口袋中摸到黄球）， ∵乙口袋中装有4个黄球和12个红球， ∴P（乙口袋中摸到黄球）， ∵， ∴从甲口袋中摸到黄球的概率等于从乙口袋中摸到黄球的概率， 故小明和小丽的说法都是错误的． 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式：，分别求出从甲、乙口袋中摸到黄球的概率，比较所求概率的大小后判断说法的正误即可． 【详解】略 18. 如图，是的对称中心，与相切于点． （1）求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明； （2）当与相切时，是菱形吗？说明理由． 【答案】（1） 左边同学的思路： 过点O作，连接，，如图所示： ∴， ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴直线是的切线； 右边同学的思路： 连接，并延长交于点F，如图所示： ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是切点， 即直线是的切线； （2）是菱形， 理由如下： 当与相切时，记切点为点，如图所示： ∵与相切于点．与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形． 【解析】 【分析】（1）先理解题意，结合两位同学的想法，作图，再根据平行四边形的性质以及切线的性质，证明三角形全等，然后结合全等三角形的性质进行分析，即可作答． （2）先理解题意，作图，证明，得，因为四边形是平行四边形，得，即，得，故，运用一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 19. 如图，点分别在正方形的边上，且．把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：． （2）若，，求正方形的边长． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质得： 四边形是正方形 ，即 ，即 在和中， ； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设正方形的边长为，则 由旋转的性质得： 由（1）已证： 又四边形ABCD是正方形 则在中，，即 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 20. 设函数，函数（，，b是常数，，）．若函数和函数的图象交于点，点． （1）求点，的坐标． （2）求函数，的表达式． （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，以及待定系数法求函数解析式． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出，算出n的值，即可求解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）作出图象，根据图象直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 解：点，点在反比例函数的图形上， ∴， 解得：， ∴点，点； 【小问2详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， 将点，点代入中，可得， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图， 当时，x的取值范围为或． 21. 蜀绣，是巴蜀地区流行的一种民间工艺，国家级非物质文化遗产之一，某经销商从工厂以30元每把的价格购进一批蜀绣团扇，经市场调研，当该蜀绣团扇每把的销售价为50元时，每周可销售120把，当每把的销售价每增加1元，每周的销售量将减少4件．设该蜀绣团扇每件的销售价为x元，每周的销售量为y把，利润为w元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）为保证每周获得2400元的销售利润，则每周该蜀绣团扇的销售价应定为多少？ （3）若规定每把该蜀绣团扇的售价不低于成本价，且不高于成本价的倍，当销售价定为多少时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每周该蜀绣团扇的销售价应定为60元或50元 （3）当销售价定为45元时，每周的销售利润最大，最大利润是2100元 【解析】 【分析】根据销售量＝原来的销售量－减少的销售量，即可解答； 根据总利润＝单个利润总数量进行计算，即可解答； 根据总利润＝单个利润总数量进行计算，即可解答． 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 即y关于x的函数关系式：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：，， 每周该蜀绣团扇的销售价应定为60元或50元； 【小问3详解】 解：设销售利润为w元，由题意得： ， ∵每把该蜀绣团扇的售价不低于成本价，且不高于成本价的倍， ∴，即， ，即开口向下，对称轴为直线， 当时，元， 当销售价定为45时，每周的销售利润最大，最大利润是2100元． 22. 如图，在中，，以腰为直径作，交于点D，交于点E． （1）求证：． （2）连结，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理和等腰三角形的三线合一的性质即可得结论； （2）连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得：，由圆周角定理可得：，最后结合直角三角形性质，以及面积和求解，即可解题． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， 中，，， ，， 图中阴影部分的面积，  ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决本题的关键． 23. 已知抛物线L：经过点，其顶点为M． （1）用含m的式子表示； ①直接写出顶点M的坐标 ； ②直接写出点关于抛物线L的对称轴对称的点的坐标 ； ③求抛物线L的表达式． （2）当时，求与抛物线L关于直线成轴对称的抛物线T的表达式（结果用二次函数的一般式表示）． （3）规定：抛物线L与直线l：所围成的封闭图形的边界上，纵坐标为整数的点叫做“美点”．当时，直接写出封闭图形边界上“美点”的个数 ． 【答案】（1）①；②；③ （2） （3）无数或1 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质， （1）①根据顶点式对应的顶点坐标为，直接写出结果即可； ②根据顶点式对应的对称轴为直线，先求出对称轴，再利用点关于平行于y轴的直线对称的坐标特征求解即可； ③代入点，求出a的值即可； （2）先求出抛物线L的顶点关于直线对称的点的坐标，从而得到抛物线T的顶点式，再将顶点式转化为一般式即可； （3）由m的范围求出直线l的位置，根据图象判断封闭图形的特征，找出“美点”的个数即可． 【小问1详解】 解：①由抛物线的顶点式，可知点M的坐标为； ②由抛物线的顶点式，可知抛物线的对称轴为直线， 故关于直线对称点的坐标为； ③将点的坐标代入，得， 解得， 故抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：当时，抛物线L的顶点坐标为， ∴点关于直线的对称点为， 由抛物线关于平行于x轴的直线对称的变化规律可知，对称后的得到的抛物线T的表达式为， ∴抛物线T的表达式为； 【小问3详解】 解：由题意，可知，当时，， 作示意图如下： 由图，顶点一定在封闭图形的边界上，且符合“美点”的定义， 由图，封闭图形的边界上的点的纵坐标的范围为，故只存在和两种纵坐标为整数的情况， 由图，当时，，此时封闭图形由直线被抛物线所截部分线段的纵坐标均为，均符合“美点”的定义，有无数个“美点”， 故“美点”的个数为无数或1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $