精品解析：陕西省宝鸡市新建路中学2026-2027学年度上学期九年级数学第一次学情自测试题

九年级数学试题 （总分120分 用时120分钟） 第一部分（选择题24分） 一、选择题（共8小题，每题3分，共计24分，每题只有一个选项是符合题意的） 1. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B 2. 如图，已知直线，在中，，则图中与互余的角有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握图形的性质是解答本题的关键．根据直角三角形两锐角互余可得与互余，然后证明即可． 【详解】解：∵在中，， ∴与互余． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴与互余． ∴与互余的角有4个． 故选D． 3. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断解答即可． 【详解】A、将方程整理，得，是一元二次方程，故正确； B、不是整式方程，故错误； C、若，则就不是一元二次方程，故错误； D、将方程整理，得，是一元一次方程，故错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即一元二次方程有3个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程． 4. 根据下列表格对应值： x 判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用和所对应的的值可判断关于x的方程的一个解x的范围． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴关于x的方程的一个解x的范围是． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的估算，解题的关键是根据表格中的数据，找出一元二次方程一个解的范围． 5. 已知四边形为平行四边形，下列说法正确的是（　　） A. 若，则该四边形为矩形 B. 若，则该四边形为菱形 C. 若，则该四边形为矩形 D. 若，则该四边形为正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：A. 若，则该四边形为菱形，不符合题意； B. 若，则该四边形为矩形，不符合题意； C. 若，则该四边形为矩形，符合题意； D. 若，则该四边形为菱形，不符合题意， 故选：C． 6. 易知：，，的最小值为．应用上述思想方法请判断，对于代数式，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值3 B. 有最大值3 C. 有最小值7 D. 有最大值7 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的最小值为． 7. 如图，已知是的中位线，为上一点，且，若，，则的长为（ ） A. B. 9 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，根据中位线得到，求出，最后结合直角三角形斜边上中线等于斜边一半求解即可得到答案． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于．连接，现在有如下四个结论：①；②；③∥；④; 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①正确．证明Rt△AGD≌Rt△AGF,得到∠GAF＝∠GAD，结合∠EAB＝∠EAF可得结果． ②错误．可以证明DG＝GC＝FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论． ③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可． ④错误．证明FG：EG＝3：5，求出△ECG的面积即可． 【详解】解：如图，连接DF． ∵四边形ABC都是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°， 由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF， ∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF， ∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL）， ∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，设GD＝GF＝x， ∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝（∠BAF＋∠DAF）＝45°，故①正确， 在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2＋CG2， ∴（4＋x）2＝82＋（12−x）2， ∴x＝6， ∵CD＝BC＝BE＋EC＝12， ∴DG＝CG＝6， ∴FG＝GC， 易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误， ∵GF＝GD＝GC， ∴∠DFC＝90°， ∴CF⊥DF， ∵AD＝AF，GD＝GF， ∴AG⊥DF， ∴CF∥AG，故③正确， ∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2， ∴FG：EG＝3：5， ∴S△GFC＝×24＝，故④错误， 故选B． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每题3分，计18分） 9. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可． 【详解】解：， ， 所以，一次项系数为． 故答案为：． 10. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 11. 在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件：①处可填，②处可填，③处可填，④处可填，则其中条件添加错误的是______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】依据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，依次判断①②③④给出的转化条件是否成立，找出错误条件． 【详解】解：①平行四边形→菱形：平行四边形本身对边就满足，不能判定为菱形；需要一组邻边相等（如），故①错误． ②菱形→正方形：菱形有一个内角是直角即为正方形，，，满足判定，故②正确． ③平行四边形→矩形：平行四边形对角线相等或有一个角为直角才是矩形；是菱形的判定条件，故③错误． ④矩形→正方形：矩形一组邻边相等即为正方形，，满足判定，故④正确． 所以条件添加错误的是． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义．直接根据一元二次方程的定义可得，根据根的判别式得出，计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得， 故答案为：且． 13. 如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则AEF的面积是_____． 【答案】3 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠B=∠D=60°． ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴BC•AE=CD•AF，∠BAE=∠DAF=30°． ∴AE=AF． ∵∠B=60°， ∴∠BAD=120°． ∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°． ∴△AEF是等边三角形． ∴AE=EF，∠AEF=60°． ∵AB=4， ∴AE=2． ∴EF=AE=2． 过A作AM⊥EF，交EF于点M, ∴AM=AE•cos60°=3． ∴△AEF的面积是：EF•AM=×2×3=3． 故答案为： 14. 如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等．依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【详解】解：延长到，使，连接，， 四边形是矩形， ∴，，，． ． ，， ． ， ， 当点、、共线时，最小，最小值为的长． 最小值为． ， ． 在中，，， ． 最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答题应写出过程） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．先算二次根式、负整数指数幂、绝对值，再算加减即可． 【详解】解： 16. 解方程：（用配方法）． 【答案】． 【解析】 【分析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1，再两边配上一次项系数一半的平方求解可得． 【详解】， 移项得：， 把二次项系数化为1得：， 配方得：，即， 直接开平方得：， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】移项，利用，提取公因式因式分解，求解一元二次方程． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 18. 已知：四边形是平行四边形．求作：菱形（点E在上，点F在上）． 【答案】如图，四边形为所求菱形． 【解析】 【分析】分别以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点F；以点B为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，连接，则四边形为菱形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 由作图有， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 19. 如图，在菱形中，，连接相交于点M．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用菱形的性质得到，由得到，又由，利用证明，即可得到答案． 【详解】略 【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求的值； （2）请用公式法解这个一元二次方程． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程未知数的最高次数为，且二次项系数不为列出方程，解出的值； （2）将求出的代入一元二次方程，再利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：对于关于的一元二次方程需满足两个条件，即未知数的最高次数为，且二次项系数不为，由此列出方程： ， 解得． 【小问2详解】 解：将代入原方程得， ， ， ，． 21. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形． 【答案】 证明：四边形为平行四边行， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 平行四边形为矩形， 为的平分线， ， ∴， ， ∴平行四边形为正方形 【解析】 【分析】先证明，则平行四边形为矩形，再证明，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、等角对等边等知识，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是，求的值． 【答案】（1）证明：将原方程化为一般形式为 根的判别式 又对任意实数，， ，即． 对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）的值为或． 【解析】 【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，再根据根的判别式来判断方程根的情况； （2）将方程的一个根代入原方程，即可解出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将方程的一个根代入原方程中，得， 即，解得或． 23. 如图，矩形的对角线相交于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先由得到平行四边形，再根据矩形的性质得到，即可证明是菱形； （2）由矩形得到，由得到，因此是等边三角形，求出，的长，根据勾股定理求出，即可得到的面积，进而得出的面积，根据菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形，是其对称轴， ∴， ∴． 24. 如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． （1）求长和宽各增加了多少米？ （2）扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 【答案】（1）长增加了，宽增加了 （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，根据扩建后总面积达到，列方程求解即可； （2）根据平移的性质将试验园地的面积变为矩形求解即可； 【小问1详解】 解：设，由得， 扩建后矩形的长为，宽为， 根据总面积列方程：，整理得：， 解得：，（长度不能为负，舍去）， 因此，， 即长增加了，宽增加了； 【小问2详解】 解：由（1）得，扩建后矩形的长为，宽为， 将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度， 因此试验园地面积为：． 25. 小琴同学在一本课外书上看到一道解方程的题目“解方程”，她思考良久，未能解答，于是她翻阅资料，在另一本书上找到了类似题目的解答过程（如下例题），她认真阅读，仿照解法，很快得出了正确答案．你能解答这道题吗？ 例：解方程． 解：（1）当，即时 ，， 解得（不合题设，舍去）， （2）当，即时 ，， 解得（不合题设，舍去） 综上所述，原方程的解是或 依照上例解法，解方程． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当时，即 原方程可化为：当时，即 原方程可化为： 再分别解方程并检验即可. 【详解】解：当时，即 原方程可化为： 整理得： 即 解得： 经检验：两个根都符合题意； 当时，即 原方程可化为： 整理得： 即 解得： 经检验：与矛盾，舍去， 综上：原方程的根为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用分类讨论的方法解含绝对值的二次方程”是解题的关键. 26. 【问题情境】 （1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ． 【继续探究】 （2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示． ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ． 【答案】（1）；； （2）①结论：；．理由： 如图，延长，交的延长线于点H， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图3，过点G作， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于J．证明，即可； （2）①延长，交的延长线于点H，证明，即可；②过点G作，证明，可得，再由勾股定理，即可求解； （3）作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则，根据题意可得点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，从而得到，在中，根据勾股定理可得的长，由（2）得：，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1）如图1中，延长交于J． ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：；． （2）略 （3）如图4中，作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则， 由（2）得：可知，，， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4， 即， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为∶． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 （总分120分 用时120分钟） 第一部分（选择题24分） 一、选择题（共8小题，每题3分，共计24分，每题只有一个选项是符合题意的） 1. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知直线，在中，，则图中与互余的角有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列表格对应值： x 判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知四边形为平行四边形，下列说法正确的是（　　） A. 若，则该四边形为矩形 B. 若，则该四边形为菱形 C. 若，则该四边形为矩形 D. 若，则该四边形为正方形 6. 易知：，，的最小值为．应用上述思想方法请判断，对于代数式，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值3 B. 有最大值3 C. 有最小值7 D. 有最大值7 7. 如图，已知是的中位线，为上一点，且，若，，则的长为（ ） A. B. 9 C. 8 D. 8. 如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于．连接，现在有如下四个结论：①；②；③∥；④; 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每题3分，计18分） 9. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项的系数为______． 10. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 11. 在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件：①处可填，②处可填，③处可填，④处可填，则其中条件添加错误的是______． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 13. 如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则AEF的面积是_____． 14. 如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答题应写出过程） 15. 计算： 16. 解方程：（用配方法）． 17. 解方程： 18. 已知：四边形是平行四边形．求作：菱形（点E在上，点F在上）． 19. 如图，在菱形中，，连接相交于点M．求证：． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求的值； （2）请用公式法解这个一元二次方程． 21. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是，求的值． 23. 如图，矩形的对角线相交于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求四边形的面积． 24. 如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． （1）求长和宽各增加了多少米？ （2）扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 25. 小琴同学在一本课外书上看到一道解方程的题目“解方程”，她思考良久，未能解答，于是她翻阅资料，在另一本书上找到了类似题目的解答过程（如下例题），她认真阅读，仿照解法，很快得出了正确答案．你能解答这道题吗？ 例：解方程． 解：（1）当，即时 ，， 解得（不合题设，舍去）， （2）当，即时 ，， 解得（不合题设，舍去） 综上所述，原方程的解是或 依照上例解法，解方程． 26. 【问题情境】 （1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ． 【继续探究】 （2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示． ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $