精品解析：陕西西安市高陵区高陵四中教育集团2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026~2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. 6 B. C. D. 2. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 4. 如图，在中，，是的中线，若，则的长为（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 5. 如图，菱形的对角线、交于点O，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 6 6. 关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形内部以为边作等边，连接交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某校要建设一个面积为375平方米的矩形游泳池，该游泳池的长比宽多10米，则该游泳池的周长为（ ） A. 70米 B. 78米 C. 80米 D. 86米 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：______． 10. 如图，在菱形中，连接，若，则的度数为______°． 11. 九年级学生毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了870段毕业感言，如果该班有名同学，根据题意列出方程为__________． 12. 在中，，添加一个条件，使得四边形为正方形，则添加的条件可以是______．（只写一个） 13. 若关于x的一元二次方程的两个根互为相反数，则b的值为______． 14. 如图，在矩形中，点E是的中点，连接、，且，若，则的长是______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 解不等式组： 18. 如图，已知四边形，，，利用尺规作图法作矩形．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在菱形中，于点，于点，求证：． 20. 某智能无人机前年售价为每台5000元，随着科学技术的进步，今年售价为每台3200元，求该智能无人机每台的售价在这两年的年平均下降率． 21. 如图，四边形是正方形，点E是边上一点，连接，，，求的长． 22. 某小区计划购买A、B两种树苗共40棵绿化小区，且需送货上门，已知A树苗的价格为15元/棵，B树苗的价格为10元/棵，送货上门需要加100元运费，设购买A树苗x棵，购买这两种树苗所需的总费用（含运费）为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若该小区此次购买这两种树苗所需的总费用（含运费）为650元，求该小区购买A树苗的棵数． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 24. 如图，在中，对角线交于点O，点E是的中点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，设运动时间为． （1）用含t的代数式表示______，______； （2）连接、，当的面积为时，求t的值． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别是、边上的动点，连接，点M是的中点，连接、．若，． ①的长为______； ②求的最小值． 【问题解决】 （2）如图2，矩形是某农场的示意图，是一条小路，的中点O处有一口灌溉水井，现要在该农场内修一个蔬菜储藏室P，再沿、分别修两条小路，沿铺设地下水管，要求，且地下水管的长度尽可能地短．已知，，求地下水管长度的最小值．（小路、地下水管的宽度和水井、储藏室的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是解题的关键； 根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，即可解答. 【详解】解： 选项中的数学符号是轴对称图形的是，其它的都不是； 故选：D. 3. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得． 4. 如图，在中，，是的中线，若，则的长为（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：∵，是的中线 ∴ ∵ ∴． 5. 如图，菱形的对角线、交于点O，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知，，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：菱形中，，，， ，， ， 在中，由勾股定理得． 6. 关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，理解掌握一元二次方程根的判别式的判别情况是解题的关键． 方程有实根，则有，由此即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，且，，， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，在正方形内部以为边作等边，连接交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得出，，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 8. 某校要建设一个面积为375平方米的矩形游泳池，该游泳池的长比宽多10米，则该游泳池的周长为（ ） A. 70米 B. 78米 C. 80米 D. 86米 【答案】C 【解析】 【分析】设游泳池的宽为米，则长为米，再由矩形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设游泳池的宽为米，则长为米 由题意得， 整理得， 因式分解得， 解得，（不符合题意，舍去） ∴长为米， ∴周长为米． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】将原式改写为两个数的平方差的形式，利用平方差公式即可完成因式分解． 【详解】解：． 10. 如图，在菱形中，连接，若，则的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，从而为等腰三角形，利用等边对等角和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解： ∵ 四边形是菱形 ∴ ∴ ∵ ∴ ． 11. 九年级学生毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了870段毕业感言，如果该班有名同学，根据题意列出方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意，该班有名同学，每名同学都为其他同学写一段毕业感言，即每名同学需要写段毕业感言，然后根据“全班共写了870段毕业感言”即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可列出方程为． 故答案为：． 12. 在中，，添加一个条件，使得四边形为正方形，则添加的条件可以是______．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由已知条件可得是菱形，根据正方形的判定定理，写出符合要求的条件即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 根据正方形的判定，对角线相等的菱形是正方形， 因此添加，可判定四边形为正方形，符合要求．（也可添加等条件．） 13. 若关于x的一元二次方程的两个根互为相反数，则b的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两根互为相反数可得两根之和为，利用根与系数的关系列方程求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， 由根与系数的关系得，两根之和， 解得． 14. 如图，在矩形中，点E是的中点，连接、，且，若，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】点E是的中点，由可知，又，在中，利用勾股定理可求，再求的长． 【详解】解：点E是的中点， ， ， ， 矩形中，，， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得， ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算有理数的除法、绝对值、零指数幂，再计算加减即可得出结果． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得 ， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，已知四边形，，，利用尺规作图法作矩形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】所作图形如下： 【解析】 【分析】过点A作，由，可得，然后可得，进而根据矩形的判定定理进行求解即可． 【详解】略 19. 如图，在菱形中，于点，于点，求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由“”可证，即可得证． 【详解】略 20. 某智能无人机前年售价为每台5000元，随着科学技术的进步，今年售价为每台3200元，求该智能无人机每台的售价在这两年的年平均下降率． 【答案】 该智能无人机每台售价的年平均下降率为． 【解析】 【分析】以两年的售价为等量关系，设年平均下降率为，列一元二次方程求解，结合实际意义取舍根． 【详解】解：设该智能无人机每台售价的年平均下降率为， 根据题意，得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该智能无人机每台售价的年平均下降率为． 21. 如图，四边形是正方形，点E是边上一点，连接，，，求的长． 【答案】8 【解析】 【分析】利用正方形性质得到直角三角形，设边长为x，表示，再用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， 即， 整理： 解得，（舍去）． 的长为8． 22. 某小区计划购买A、B两种树苗共40棵绿化小区，且需送货上门，已知A树苗的价格为15元/棵，B树苗的价格为10元/棵，送货上门需要加100元运费，设购买A树苗x棵，购买这两种树苗所需的总费用（含运费）为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若该小区此次购买这两种树苗所需的总费用（含运费）为650元，求该小区购买A树苗的棵数． 【答案】（1）（，且为整数） （2）30棵 【解析】 【分析】（1）根据总费用购买A树苗的费用购买B树苗的费用运费列出函数关系式，再求出自变量的取值范围即可； （2）求出当时，的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，购买A树苗棵，购买B树苗棵， 则， ∵，且为整数， ∴，且为整数， 答：与之间的函数关系式为（，且为整数）． 【小问2详解】 解：将代入得：， 解得， 答：该小区购买A树苗30棵． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 24. 如图，在中，对角线交于点O，点E是的中点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，即点是中点， 点是的中点， 是的中位线， ，即， 又， ， 平行四边形是菱形； （2）的长为 【解析】 【分析】（1）平行四边形对角线互相平分，得到是中点；为中点，所以是的中位线，结合已知条件，可推出平行四边形一组邻边相等，依据菱形判定定理完成证明； （2）由四边形为菱形，菱形对角线互相垂直且平分，利用三角形中位线求出长，在直角三角形中用勾股定理求出，再求得即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， ， ， 是中位线，， 在中， ， ， 答：的长为． 25. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，设运动时间为． （1）用含t的代数式表示______，______； （2）连接、，当的面积为时，求t的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，然后求解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵，， ∴，； 【小问2详解】 解：在矩形中，， ∴， 化简得：， 解得：， ∵， ∴． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别是、边上的动点，连接，点M是的中点，连接、．若，． ①的长为______； ②求的最小值． 【问题解决】 （2）如图2，矩形是某农场的示意图，是一条小路，的中点O处有一口灌溉水井，现要在该农场内修一个蔬菜储藏室P，再沿、分别修两条小路，沿铺设地下水管，要求，且地下水管的长度尽可能地短．已知，，求地下水管长度的最小值．（小路、地下水管的宽度和水井、储藏室的大小均忽略不计） 【答案】（1）①17；②的最小值为13 （2）地下水管长度的最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线，斜边中线定理及三角形三边不等关系，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，三角形中位线，斜边中线定理及三角形三边不等关系是解题的关键； （1）①由题意易得，然后根据勾股定理可进行求解； ②连接，由题意易得，则有，然后根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当三点共线时取等号，进而问题可求解； （2）取的中点，连接，由题意易得，，，则根据三角形中位线可得，然后可得，根据三角形三边不等关系可得：，当且仅当三点共线时取等号，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：①∵四边形是矩形，， ∴， ∴； ②连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∵点M是的中点，， ∴， 根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当三点共线时取等号， ∴的最小值为13； 【小问2详解】 解：取的中点，连接，如图所示： ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 根据三角形三边不等关系可得：，当且仅当三点共线时取等号， ∴地下水管长度的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $