精品解析：北京市第一七一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

2026北京一七一中高二10月月考 数学 一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 3. 若直线和直线平行，则的值为（   ） A. 1 B. C. 1或 D. 4. 已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 5. 若对任意实数，直线截圆所得的弦长为定值，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 二维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，，其中，.给出下列三个结论： ①所有满足条件的点M构成的图形为正方形（含内部）； ②当时，CM与所成角的最小值为； ③当时，存在点M，使得. 则所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题共5题，每题5分，共25分． 11. 过点的圆的切线方程为 _________________． 12. 已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 13. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示， 一与六共宗居下，二与七为朋居上， 三与八同道居左，四与九为友居右， 五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数． 若从阳数和阴数中各取一数，则阳数大于阴数的概率为______． 14. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 15. 如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 17. 第33届世界大学生冬季运动会将于2027年1月15日至1月25日在中国长春-吉林举行．随着大运会的临近，大运会的热度持续提升．为了让更多的人了解大运会运动项目和运动精神，某大学举办了大运会知识竞赛，并从中随机抽取了200名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）试根据频率分布直方图求出这200名学生中成绩低于60分的人数； （2）试利用频率分布直方图估计这200名学生成绩的第85百分位数； （3）若采用分层随机抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取2人分享活动经验，求抽取的2人中至少有1人的成绩在的概率． 18. 在中，为钝角，． （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 如图，五面体中，四边形是正方形． （1）求证：； （2）若平面平面，，，求直线与平面所成角的大小． 20. 在中，，，，分别是上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求点M到平面的距离； （3）在线段上是否存在点N（N不与端点重合），使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 21. 若数列：，，…，（）满足如下两个性质，则称为数列： ①，，…，是1，2，…，的一个排列； ②，，…，是1，2，…，的一个排列. （1）判断数列：1，4，3，2和数列：5，1，4，2，3是否为数列？说明理由； （2）若数列：，，…，满足，，求证：数列：，，…，不是数列； （3）若数列：，，…，（）为数列，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京一七一中高二10月月考 数学 一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 2. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【详解】因为圆：的标准方程为，所以，； 因为圆：的标准方程为，所以，； 由上可知：，，， ， 所以，两圆的位置关系是相交. 3. 若直线和直线平行，则的值为（   ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 4. 已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】圆心到直线的距离为：， 所以直线上的点与圆上的点的距离的最小值为： . 5. 若对任意实数，直线截圆所得的弦长为定值，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标与圆的半径，利用勾股定理可得出直线截圆所得的弦长，结合弦长为定值可得出关于的等式，解之即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线截圆所得的弦长为为定值， 所以，即，解得. 故选：D. 6. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题知，， 又， 则， ， 所以. 7. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可. 【详解】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， ，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图： 当与该曲线相切时，圆心到直线的距离，解得. 设，则. 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则. 故选：C. 8. 二维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件结合古典概型列出不等式，通过指数运算求解不等式，进而得到的最小值. 【详解】已知破译器每秒能随机生成个不重复的二维码， 一分钟能生成的二维码总数为， 一个二维码共有种情况， 要确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于， 则，即， 即， 因为，且为整数， 所以， 解得，即， 所以的最小值为. 9. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中点，中点，连接，， ，，，证明平面平面，由点在正方体的表面上运动可得点在线，， ，上运动，再由求线段的最小值，即求点到平面各边距离的最小值即可求解. 【详解】如图，取中点，中点，连接，， ，，， 因为点分别是棱的中点，所以，因为为中点， 所以，，，所以平面平面， 点在平面上运动，又因为点在正方体的表面上运动，所以点在直线，， ，上运动，且为等腰三角形， 求线段的最小值，即求点到平面各边距离的最小值，点到边距离最小， 设点到边的垂足为，则为的中点，所以，所以线段的最小值为. 10. 在正方体中，，其中，.给出下列三个结论： ①所有满足条件的点M构成的图形为正方形（含内部）； ②当时，CM与所成角的最小值为； ③当时，存在点M，使得. 则所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，由平面向量基本定理可得解；建立空间直角坐标系，对于②先判断在线段上，可设，用表示向量夹角余弦值，结合不等式的性质判断即可；对于③，当时，可得，求得的值，即可判断不可能垂直. 【详解】如图所示： 对于①，因为，，， 由平面向量基本定理可得点在正方形内，故①正确； 对于②，当时，，即，， 所以在线段上， 如图以分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则设， 则 ， 所以， 因为，则， 所以当时，即点与重合时， CM与所成角的最小值为，故②正确； 对于③，由于， 则， 当时，， 所以， 则，不可能垂直，故不存在点M，使得，③错误. 故选：A 【点睛】方法点睛：利用空间向量法解决不定点问题. 二、填空题共5题，每题5分，共25分． 11. 过点的圆的切线方程为 _________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解． 【详解】当切线的斜率不存在时， 切线的方程为，圆心到该直线的距离等于半径1，符合题意， 当切线的斜率存在时， 设过点的切线方程为，即， ∵圆心到直线的距离等于半径， ∴，解得， ∴切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 故答案为：或． 12. 已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据的坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，所以可由斜率公式求解. 【详解】根据题意画出线段AB如下图所示： 的几何意义为与连线的斜率. 又， 所以结合图象可得，. 13. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示， 一与六共宗居下，二与七为朋居上， 三与八同道居左，四与九为友居右， 五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数． 若从阳数和阴数中各取一数，则阳数大于阴数的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10，可得从阳数和阴数中各取一数的组合共有个，从而确定其中满足阳数大于阴数的个数，即可利用古典概型概率计算公式求出所求概率. 【详解】由题可得阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10，可得从阳数和阴数中各取一数的组合共有个， 满足阳数大于阴数的有，，，，，，，，，共10个， 所以所求概率为 故答案为： 14. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 15. 如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设，再根据勾股定理，用表示出，再通过式子中的几何意义，根据“将军饮马”模型解决即可. 【详解】设， 在长方形中，,， ，又， ∴， ∴， 这个式子的几何意义是轴上的动点， 到点与点的距离之和，如图， 作关于轴对称点，则， 则，∵两点之间线段最短， ∴最小值就是线段的长， 即. 三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 【答案】（1） （2） 或 （3）， 【解析】 【分析】（1）先求出的中点坐标，再由点斜式方程即可求得中线所在直线方程； （2）依题意，分截距为与不为两种情况，截距为时，直接用点斜式即可求得直线方程；截距不为时，设截距式方程，代入点求出参数即得所求直线方程； （3）先求出边的垂直平分线的方程，再利用对称性列方程求解即得对称点的坐标. 【小问1详解】 因，，，设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； 【小问2详解】 依题意，当截距为时，直线井过原点和点，则其方程为，即； 当截距不为时，依题意，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； 【小问3详解】 的中点，斜率为，则其垂直平分线的斜率为， 故有，即. 设关于的对称点，则中点在上且， 则，解得，，故. 17. 第33届世界大学生冬季运动会将于2027年1月15日至1月25日在中国长春-吉林举行．随着大运会的临近，大运会的热度持续提升．为了让更多的人了解大运会运动项目和运动精神，某大学举办了大运会知识竞赛，并从中随机抽取了200名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）试根据频率分布直方图求出这200名学生中成绩低于60分的人数； （2）试利用频率分布直方图估计这200名学生成绩的第85百分位数； （3）若采用分层随机抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取2人分享活动经验，求抽取的2人中至少有1人的成绩在的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，成绩低于60分的区间为和， 对应的频率分别为0.002×10=0.02，0.016×10=0.16， 所以低于60分的总频率为0.02+0.16=0.18，人数为200×0.18=36人. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知,低于80分的频率为， 低于90分的频率为0.70+0.02×10=0.90， 所以第85百分位数位于内，设为， 则，解得， 所以估计这200名学生成绩的第85百分位数为. 【小问3详解】 由频率分布直方图可知,，，这三个区间对应的频率分别为0.30，0.20，0.10， 它们的比值为3：2：1，若采取分层抽样抽取6人，则这三个区间所占人数分别为3人，2人，1人， 现从这6人中随机抽取2人分享活动经验，“至少有1人的成绩在”的对立事件是“2人的成绩都不在”， 所求的概率为. 18. 在中，为钝角，． （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）选①或③，；选②，三角形不存在 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即得. （2）选①，利用同角公式及和角的余弦求出并判断，再利用正弦定理求出；选②，利用余弦定理求出，进而求出，再利用余弦定理计算并判断；选③，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出及并判断. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 则， 整理得，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 选择条件①：，则， ， 为钝角，符合题意，而，则存在，此时， 由正弦定理得. 选择条件②：，由余弦定理得， 解得，由为钝角，得，于是， 此时与矛盾，不存在，因此②不可选. 选择条件③：的面积为，则，解得， 由余弦定理得，则， 由为钝角，得，于是，此时，符合题意，存在， 所以. 19. 如图，五面体中，四边形是正方形． （1）求证：； （2）若平面平面，，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 因四边形是正方形，则， 又平面，平面，则平面， 又平面平面，则，故. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面平行的判定定理证明平面，再利用线面平行的性质定理证明，最后利用平行性的传递性即可； （2）利用面面垂直的性质定理证明平面，然后建系，求出平面的法向量，再计算，从而得出线面角的正弦值，计算其夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因平面平面，，平面平面， 则平面，又平面，平面， 则，， 因，，则，则， 则以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为， 又因其夹角取值范围为，故直线与平面所成角为. 20. 在中，，，，分别是上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求点M到平面的距离； （3）在线段上是否存在点N（N不与端点重合），使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为在中，，，所以， 根据折叠关系，而且平面， 所以平面，平面，则，又， 由，平面，所以平面； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据已知有、，应用线面垂直的判定和性质定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，并求出相关直线的方向向量、平面的法向量，应用点面距的向量求法求距离； （3）根据（2）所建坐标系，设，，，求出相关平面的法向量，再由平面垂直列方程求参数，即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为DE经过的重心，故，由（1）知平面， 以为轴，为轴，为z轴，建立空间直角坐标系，. 由几何关系知， 故， 所以，， 设平面的法向量为，则， 即，令，则， 设M到平面的距离为； 【小问3详解】 设，，，即， 即，，. 设平面CMN的法向量为，则，， 所以，则，令，则， 设平面DEN的法向量为，， 则，即，令，则， 若平面CMN与平面DEN垂直，则满足，即，， 故存在这样的点，，所以. 21. 若数列：，，…，（）满足如下两个性质，则称为数列： ①，，…，是1，2，…，的一个排列； ②，，…，是1，2，…，的一个排列. （1）判断数列：1，4，3，2和数列：5，1，4，2，3是否为数列？说明理由； （2）若数列：，，…，满足，，求证：数列：，，…，不是数列； （3）若数列：，，…，（）为数列，求的最小值. 【答案】（1）数列不是数列，是数列．理由如下： 因为，而3，1，1不是1，2，3的一个排列，所以数列不是数列． 因为5，1，4，2，3是1，2，3，4，5的一个排列， 又，4，3，2，1是1，2，3，4的一个排列， 所以数列是数列． （2）假设数列为数列， 则． 因为与的奇偶性相同， 所以 与的奇偶性相同． 所以与的奇偶性相同． 又是偶数，是奇数，矛盾． 所以数列不是数列． （3）. 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义判断即可； （2）利用反证法证明即可； （3）通过新定义得，从而设，得到其最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为数列为数列， 所以， 且 . 所以． 所以 因为， 所以，即． 令， 则， 所以， 即数列为数列． 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $