北京市第一七一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

2026北京一七一中高二10月月考 数 学 一、选择题共10题,每题4分,共40分。在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1.直线x-√3y+5=0的倾斜角是() A.30 B.60 C.120 D.150 2.圆0:x2+y2-2x=0与圆02:x2+y2-4y=0的位置关系是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 3.若直线x+(1+m)y-2=0和直线mx+2y-2=0平行,则m的值为() A.1 B.-2 C.1或-2 D. 3 4.已知直线1:4x+3y=0和圆C:(x-4)2+y-3)2=4,点P在直线I上,点9在圆C上,则P9最小值为 () A.1 B.3 C.6 D.9 5.若对任意实数k,直线y=c+k截圆x2+y2+Dx=0所得的弦长为定值,则实数D=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 6.如图,平行六面体ABCD-ABCD中,以A为顶点的三条棱长均为2,且两两之间的夹角都是60 , 则BD=() D A.4 B.2√5 c.26 D.2√2 7.若直线y=c+2k+4与曲线y=√(2+x)(2-x)有两个交点,则实数k的取值范围是() A.{k= 1 第1页/共18页 c1s 8.二维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由n2(n∈N)个黑白 方块构成的n n二维码门禁,现用一款破译器对其进行安全性测试,已知该破译器每秒能随机生成26个不 重复的二维码,为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于5,则的最小值为() A.5 B.6 C.7 D.8 9、如图,在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D中,点M,N分别是棱AD,DD,的中点,点P在正方体 ABCD-ABC1D的表面上运动,且AP∥平面BMN.则线 D C 段CP 的最小值为 (A)3V2 B (B)V5 2 (c)5 (D)2√2 D M 10.在正方体ABCD-AB,CD中,CM=xCD+yCC,其中 x∈[0,],y∈[0,1给出下列三个结论: ①所有满足条件的点M构成的图形为正方形(含内部): ②当x=1时,CM与4D所成角的最小值为: 国当y=时,存在点M使得BC1CM. 则所有正确结论的序号为() A.①③ B.①② C.②③ D.①②③ 二、填空题共5题,每题5分,共25分。 11,过点(-4,3)的已知圆(x+3)2+(0y-1)2=1的切线方程为 2.已知两点4③.0 B0,4 动点Pc》在线段AB上运动,则2的范围透 13.《易 系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图,洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案.河图的排列 结构如图所示, 0000000 第2页/共18页 一与六共宗居下,二与七为朋居上, 三与八同道居左,四与九为友居右, 五与十相守居中,其中白圈为阳数,黑点为阴数. 若从阳数和阴数中各取一数,则阳数大于阴数的概率为 14.已知a>0,b>0,直线ax+2y-3=0和x+b-)y+2=0垂直,则+2的最小值为 a b 15.如图,在长方形ABCD中,AB=2,AD=4,E,F分别是边AD,BC上的动点,且DE=BF,则CE+DF 的最小值为 D 三、解答题共6题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.(本小题13分) 已知A(1,1),B(2,3),C(4,0),求(均写出一般式方程): (1)BC边上的中线所在的直线方程(: (2)过B点且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程2: (3)AB边垂直平分线方程l及点C关于的对称点D的坐标. 17.(本小题13分) 第33届世界大学生冬季运动会将于2027年1月15日至1月25日在中国长春-吉林举行.随着大运会的临 近,大运会的热度持续提升.为了让更多的人了解大运会运动项目和运动精神,某大学举办了大运会知识 竞赛,并从中随机抽取了200名学生的成绩,绘制成如图所示的频率分布直方图. 个频率/组距 0.030 0.022 0.026 0.016 0.010 0.002 405060708090100成绩 (1)试根据频率分布直方图求出这200名学生中成绩低于60分的人数: (2)试利用频率分布直方图估计这200名学生成绩的第85百分位数; 第3页/共18页 (3)若采用分层随机抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的学生中共抽取6人参加志愿者活 动.现从这6人中随机抽取2人分享活动经验,求抽取的2人中至少有1人的成绩在[80,90)的概率. 18.(本小题14分) 在 ABC中,∠C为钝角,acos B=c-b. 2 (1)求∠A: (2)若a=7,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得 ABC存在,求C. 13 条件①:cosB 4 条件②:b+c=13;条件③: ABC的面积为6√3, 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分:如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个 解答计分, 19.(本小题15分) 如图,五面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形. (1)求证:EF//CB: 2)若平面ABCD1平面ABF,AB=AF=.EF=1,BF=2,求直线DE与平面BCEF所成角的大小. 2 20.(本小题15分) 在RtAABC中,∠C=90 ,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,满足DE//BC且DE经过 ABC的重心,将 ADE沿DE折起到 ADE的位置,使AC⊥CD,M是A,D的中点,如图所示 D (1)求证:AC⊥平面BCDE; (2)求点M到平面ABE的距离: 第4页/共18页 (3)在线段A,B上是否存在点N(N不与端点A,B重合),使平面CN与平面DEN垂直?若存在,求出 AN 的值:若不存在,请说明理由。 21.(本小题15分) 若数列2:a1,a2,,a(n≥3)满足如下两个性质,则称Q为D数列: ①a1,,,an是1,2,,n的一个排列: ②4-4,凸-4,,4-1-a是1,2,,n-1的一个排列. (1)判断数列2:1,4,3,2和数列22:5,1,4,2,3是否为D数列?说明理由: (2)若数列2:41,a2,,a0满足4=1,a0=10,求证:数列2:a1,a2,,a不是D数列: (3)若数列2:41,a2,,4m1(l≥2)为D数列,求4+4m-1的最小值. 第5页/共18页 参考答案 题号 1 2 3 6 6 8 9 10 答案 A C B B D D C C A B 1.A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知,直线x-3y+5=0的斜率k= 3 设直线的领斜角为a,所以ana= 3 又0 ≤a<180 ,所以a=30 , 故直线的倾斜角为30 . 2.C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程,求得圆心坐标与半径,计算圆心距后与两半径的和、差比较, 即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆O:x2+y2-2x=0,配方得(x-1)2+y2=1,故圆心O(1,0),半径1=1; 对于圆02:x2+y2-4y=0,配方得x2+(y-2)2=4,故圆心02(0,2),半径5=2; 显然两圆圆心距10,0,上√0-02+(0-22=5 两半径之差为-2=1,两半径之和为片+5=3, 显然满足1<√5<3,即川5-2002K片+2,因此两圆相交. 3.B 【分析】由两直线平行,根据平行的判定求m的值即可. 【详解】直线x+(1+m)y-2=0和直线mx+2y-2=0平行, .1 2-1+m)m=0,解得m=1或-2,经检验m=1时两条直线重合舍去, 所以m=-2. 4.B 【详解】圆,心(4,3)到直线4r+3=0的距离为:4-4 4+3x3_25 V42+325 5, 所以直线I上的点P与圆C上的点Q的距离的最小值为: 第6页/共18页 IPOlnin=5-2=3. 5.D 6.D 【详解】由题知AB=AD=A4=2,∠BAD=∠BAA=∠DAA=60 , 又BD=BA+AD=AD+AA-AB BD=(AD+AA-AB=AD+AA+AB'+2AD.A4-2AD.AB-244AB, =4+4+4+2 2 2c0s60 -2 2 2c0s60 -2 2 2c0s60 =12-4=8, 所以BD=2√2 7.C 【分析】根据直线1和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形,数形结合分析即可. 【详解】由题意,直线l的方程可化为(x+2)k-y+4=0,所以直线1恒过定点A(-2,4), y=√4-x2,可化为x2+y2=4(y≥0)其表示以(0,0)为圆心,半径为2的圆的一部分,如图: B 当1与该曲线相切时,圆心(0)到直线1的距窝4=4+2=2,解得k= Vk2+1 4 设B(2,0),则kAB= 4-0=-1. -2-2 由图可得,若要使直线1与曲线y=V4-x有两个交点,则-1≤k<-3 故选:C 8.C 【分析】根据已知条件结合古典概型列出不等式,通过指数运算求解不等式,进而得到的最小值. 【详解】已知破译器每秒能随机生成26个不重复的二维码, 一分钟能生成的二维码总数为60 26, 第7页/共18页 一个n n二维码共有2种情况, 要确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于 215, 则60x216 1 22 25,即60x26≤2-5, 即2-31≥60, 因为2<60<2,且n为整数, 所以2-31≥26, 解得n2-31≥6,即n2≥37, 所以n的最小值为7. 9、A 【分析】取B,C,中点F,BB,中点E,连接AD,DF,EF,AE,CB,证明平面ADFE//平面BMN, 由点P在正方体ABCD-ABCD的表面上运动可得点P在线AD,DF,EF,AE上运动,再由求线 段CP的最小值,即求点C到平面AD,FE各边距离的最小值即可求解 【详解】如图,取BC1中点F,BB中点E,连接AD,DF,EF,AE,CB, D B E M 因为点M,N分别是棱AD,DD的中点,所以AD,∥N,因为F为B,C1中点, 所以DF/BM,AD∩DF=D,MNOBN=N,所以平面ADFE//平面BMN, 点P在平面ADFE上运动,又因为点P在正方体ABCD-A,B,C,D的表面上运动,所以点P在直线 AD,DF,EF,AE上运动,且 CEF为等腰三角形, 求线段CP的最小值,即求点C到平面AD,FE各边距离的最小值,点C到边EF距离最小, 设点C到边BF的垂足为H,则H为EF的中点,所以CH=VCE-H_3 所以线段CP的最 2 第8页/共18页 小值为3V2 10、B 【分析】对于①,由平面向量基本定理可得解;建立空间直角坐标系,对于②先判断M在线段DD,上, 可设M(Q0,mme 》,用m表示向量夹角余法位,结合不等式的性质判断即可;对于包.当y 时可得CW=0-x 求得B,C.CM的值,即可判断不可能垂直. 【详解】如图所示: D B B 对于①,因为CM=xCD+yCC,x∈[0,,y∈[0,1], 由平面向量基本定理可得点M在正方形DCC,D内,故①正确: 对于②,当x=I时,CM=CD+yCC,即CM-CD=yCC,DM=yCC, 所以M在线段DD上, 如图以DA,DC,DD分别为x,,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1, 则D(0,0,0),4(1,0,1),C(0,1,0),设M(0,0,m),(m∈[0,), 则DA=(1,0,1),CM=(0,-1,m), 所以cs(DA,CM= DA CM m DA+m 2 V 1+m 因为me,则s4.Ce0引 所以当m=1时,即点M与D重合时, CM与AD所成角的最小值为,故②正确; 对于③,由于B(1,1,1),C(0,1,1), 则B,C=(-1,0,-1),CD=(0,-1,0),CC=(0,0,1) 第9页/共18页 当y3时.Cw=xD+cc=0,-lo0)+0)-0-x 所ucw=cw-G-0x}-@a)-x》 则BC-CM=),不可能垂直,故不存在点M使得BC1CM,③错误 D B A M D(O 故选:A 二、填空题: 11、x=-4/3x+4y=0 【分析】根据A,B的坐标画出线段AB,可知y+的几何意义为(:,)与C(2,)连线斜率,所以可由斜率 x-2 公式求解. 【详解】根据题意画出线段AB如下图所示: : y+的几何意义为(x,y)与C(2,)连线的斜率, x-2 A 3 又kAC= 0+1=1,kc= 4+1-5 3-2 0-22’ 以合象可.引切 弘04 【分析】由阳数为1,3,5,7,9,阴数为2,4,6,8,10,可得从阳数和阴数中各取一数的组合共有 5 5=25个,从而确定其中满足阳数大于阴数的个数,即可利用古典概型概率计算公式求出所求概率. 【详解】由题可得阳数为1,3,5,7,9,阴数为2,4,6,8,10,可得从阳数和阴数中各取一数的组合 第10页/共18页 共有5 5=25个, 满足阳数大于阴数的有(3,2),(5,2),(5,4),(7,2),(7,4),(7,6),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8)共10个, 所以所求概率 10_2 255 收答案为:号 45 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出 ,b的关系,再利用基本不等式“1"的妙用求出最小值. 【详解】由直线ax+2y-3=0和x+(b-1)y+2=0垂直,得a+2(b-1)=0, 即a+2b=2,而a>0,b>0,则上+2-a+2b+2=6+2b+20) .12.1 a b 2 a b'2 a b 2 ≥25+2 2b.2=号,当且仅当a=b=时取等号) a b 3 所以之+名的最小值为号 9 15、4V2 【分析】先设DE=BF=x,再根据勾股定理,用x表示出CE+DF,再通过式子中的几何意义,根据“将 军饮马”模型解决即可, 【详解】设DE=BF=x,x∈[0,4, 在长方形ABCD中,AB=2,AD=4, CE=VX+4,又CF=4-x, DF=V(4-x2+4, CE+DF=Vx2+4+V(4-x)2+4 这个式子的几何意义是x轴上的动点P(x,0), 到点A(0,2)与点D(4,2)的距离之和,如图, 作A(0,2)关于x轴对称点A(0,-2),则PA=P, 则PA+PD=P+PD,两点之间线段最短, 最小值就是线段D的长, 即AD=V(4-0)2+(2+22=4V2 第11页/共18页 D B 三、解答题 16.(1)x-4y+3=0 (2)3x-2y=0或x-y+1=0 4:2x+4-1=0,4g 【分析】(1)先求出BC的中点坐标,再由点斜式方程即可求得中线所在直线方程; (2)依题意,分截距为0与不为0两种情况,截距为0时,直接用点斜式即可求得直线方程;截距不为0 时,设截距式方程,代入点B求出参数即得所求直线方程: (3)先求出AB边的垂直平分线{的方程,再利用对称性列方程求解即得对称点D的坐标. 2+43+0 【详解】(1)因A(1,1),B(2,3),C(4,0),设BC中点为E,则得E 2,2 即 13 则直线的方程为y-1子x-小甲-30: 3 (2)依题意,当截距为0时,直线l井过原点和点B,则其方程为y=。x,即3x-2y=0; 当截距不为0时,依题意,可设直线1,:+卫=1,代入点B(2,3),解得a=-1, a-a 则得-x+y=1,即x-y+1=0, 综上,I的方程为3x-2y=0或x-y+1=0; (3)AB的中点F 32 =3-1-2,则其垂直平分线1的斜率为 斜率为kB=2-1 2 故有y-2=- 引 即2x+4y-11=0 设C(4,O)关于l的对称点D(x,y),则CD中点在L上且CD⊥4, 2x+4 则 +4x2-11=0 n236 y-0=2 ,解得x=23 5’5 x-4 第12页/共18页 17、(1)36 (2)87.5 明 【详解】(1)由频率分布直方图可知,成绩低于60分的区间为40,50)和[50,60), 对应的频率分别为0.002 10=0.02,0.016 10=0.16, 所以低于60分的总频率为0.02+0.16=0.18,人数为200 0.18=36人. (2)由频率分布直方图可知,低于80分的频率为(0.002+0.016+0.022+0.030) 10=0.70, 低于90分的频率为0.70+0.02 10=0.90, 所以第85百分位数位于[80,90)内,设为x, 则0.70+(x-80) 0.020=0.85,解得x=87.5, 所以估计这200名学生成绩的第85百分位数为87.5. (3)由频率分布直方图可知,[70,80),80,90),「90,100]这三个区间对应的频率分别为0.30,0.20, 0.10, 它们的比值为3:2:1,若采取分层抽样抽取6人,则这三个区间所占人数分别为3人,2人,1人, 现从这6人中随机抽取2人分享活动经验,“至少有1人的成绩在80,90)"的对立事件是“2人的成绩都不在 [80,90)”, 所求的概率为P=1- S-1-6=3 1551 18.(1)4= 3: (2)选①或③,c=8;选②,三角形不存在 【详解】(1)在AABC中,由acosB=c-b及正弦定理,得sin Acos B=SinC-S -sin B, 2 sin Acos B+sin B=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 1 整理得2inB=cs4sinB,而sinB>0,则cosA=2,又0<A<元, 所以A-香 (2)选择条件①:c0sB=号 _35 14 第13页/共18页 cosCc0s(+)-c0s /cos B+sin Asin B X <0, 214214 7 ∠C为钝角,符合题意,而a=7,则 ABC存在,此时sinC=1-(宁 45 7 由正弦定理得6-9smC7x =8. √3 2 选择条件②:b+c=13,由余弦定理得49=a2=b2+c2-2 bccos A=(b+c)2-3bc=169-3bc, 解得bc=40,由∠C为钝角,得b<c,于是b=5,c=8, 此时cosC=72+52-82 >0与cosC<0矛盾, ABC不存在,因此②不可选. 2 7 5 选择张件@:a4C的面积为65,测esind=5e=6v5,解得e=24, 4 由余弦定理得49=a2=b2+c2-2 bccos A=(b+c)2-3bc=(b+c)2-72,则b+c=11, 由∠C为钝角,得b<c,于是b=3,c=8,此时cosC=7+32-8<0,符合题意,A1BC存在, 2 7 5 所以c=8. 19 【详解】 (1)因四边形ABCD是正方形,则AD∥CB, 又ADZ平面BCEF,BCC平面BCEF,则AD∥平面BCEF, 又平面BCEF∩平面ADEF=EF,则ADIEF,故EF//CB. (2)因平面ABCD⊥平面ABF,AB⊥AD,平面ABCDO平面ABF=AB, 则AD⊥平面ABF,又ABC平面ABF,AFC平面ABF, 则AD⊥AB,AD⊥AF, 因AB=AF=1,BF=√2,则AB2+AF2=BF2,则AB⊥AF, 则以A为原点,以AD,AF,AB所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 则B(0,0,1),D(1,0,0),E(2,1,0),F(0,1,0), 则FB=(0,-1,1),FE=(2,0,0),DE=((1,1,0), 设平面BCEF的法向量为m=(x,y,z), FB.m=-y+z=0 则 FEm=2x=0,令y=山,则m=(0,1), 第14页/共18页 则cos DE,m= DE.m 11 DEmV2x√22' 则直线DE与平面BCEF所成角的正弦值为2, 又因其夹角取值范围为 02 故直线DE与平面BCEF所成角为T 6 20.8.(1) 因为在Rt ABC中,∠C=90 ,DE/IBC,所以DE⊥AD,DE⊥CD, 根据折叠关系DE⊥AD,而AD∩CD=D且A,D,CDc平面ACD, 所以DE⊥平面ACD,ACc平面ACD,则DE⊥AC,又AC⊥CD, 由CDODE=D,CD,DEC平面BCDE,所以AC⊥平面BCDE: R 2 AN 2 (3)存在, 4B3 【分析】(1)根据已知有DE⊥CD、DE⊥AD,应用线面垂直的判定和性质定理证明结论: (2)构建合适的空间直角坐标系,标注出相关点坐标,并求出相关直线的方向向量、平面的法向量,应 用点面距的向量求法求距离: (3)根据(2)所建坐标系,设N(x,,Z),BN=元BA,0<2<1,求出相关平面的法向量,再由平面垂 直列方程求参数,即可得. 【详解】(1)略 (2)因为DB经过AABC的重心,故DB=2BC=2,由(1)知4C⊥平面BCDE, 3 以CD为x轴,CB为y轴,CA为z轴,建立空间直角坐标系, 第15页/共18页 M B 由几何关系知CD=2,AD=4,AC=23, 故C(0,0,0),D(2,0,0),E(2,2,0),B(0,3,0),4(0,0,2V5,M1,0V3 所以4M=0,0,-V5),4B=(0,3,-25,4E=(2,2,-25), 4B=0 设平面ABE的法向量为i=(x,y,z),则 n AE=0 3y-2W3z=0 2x+2y-252=0令y=2,则i=(2,5), 设M到平面ABE的距离为d= 4M.i2 2 (3)设N(x,,),BN=BA,0<元<1,即(x,y-3,z)=0,-3,2V5), 即x=0,y=31-2,a=251,N0,3(1-),232),. 设平面CN的法向量为n=(x2,y2,2),则CM=(1,0,3),CN=(0,31-2),2W3 CM=0∫x+V3z,=0 所以 C0则02055,-5小 则 设平面DEN的法向量为%=(3,,23),DE=(02,0),DN=(-2,31-2),23, n DE=02y=0 则 元DN=0即{2+30-w+252=0令%=5.则元-(5.0) 即 若平面CN与平面DEN垂直,则满足%-%=0,即3-克0,=行 行这样的血.时-,所以倍子 21. 【答案】(1)数列9:1,4,3,2不是数列,92:5,1,4,2,3是①数列.理由如下: 因为1-4=3,4-3=1,川3-2=1,而3,1,1不是1,2,3的一个排列,所以数列9:1,4,3,2不是2数 第16页/共18页 列. 因为5,1,4,2,3是1,2,34,5的一个排列, 又|5-1=4,1-4=3,4-2=2,2-3=1,4,3,2,1是1,2,3,4的一个排列, 所以数列22:5,1,4,2,3是数列. (2)假设数列2:4,4,…,4如为3数列, 则4-a+4,-4|+…+4,-a=1+2++19=4+19) 19=190. 2 因为4-4与4+1-4i=1,2,…,19)的奇偶性相同, 所以4-4+凸-4+…+4g-如 与42-4+4-42+…+40-4g的奇偶性相同. 所以4-4+凸-+…+4g-a0与2如-4的奇偶性相同. 又4-马+l4,-4++4g-=190是偶数,a如-4=9是奇数,矛盾. 所以数列Q:4,42,…,4不是3数列. (3)+1. 【分析】(1)根据数列的定义判断即可; (2)利用反证法证明即可; k,i=2k-1, (3)通过新定义得4+4m-1≥m+1,从而设4= 2m-k,i=2k 亿=1,2,…,2-1),得到其最小值. 【详解】(1)略 (2)略 (3)因为数列Q:4,4,…,4m-1为①数列, 所以4-4+a-4++am-2-4ml=1+2+…+2-2=(2m-100m-), 且l91-4+43-4+…+42m-2-4m- ≤(4-l+凸2-)+((凸-叫+la3-++(am-2-m+a2m-1-) =2(a-l+la-l+…+la-1-m))-(a-l+lam1-) =2 (0+1+1+2+2++m-1+L-1)-((4-m+am-1-) 第17页/共18页 =2m(m-1)-(a-m+am-1-m 所以(2m-1)(0m-)≤2n(0m-1)-(4-l+a-1-) 所以4-l+am-1-叫≤-1 因为m-4≤4-m,m-am-1≤am-1-川, 所以l-A+m-a2m-1≤L-1,即4+42m-1≥m+1. -6-120. 则l4+1-4=2-(i+100=1,2,…,2-2), 所以4-马,4-4,…,am-2-4m-1}={红,2,…,2-2}, 即数列Q:4,马,…,4m1为①数列. 所以4+42m-1的最小值为m+1. 第18页/共18页