精品解析：广东广州市真光中学2026－2027学年第一学期10月阶段训练初三数学练习卷

2026学年第一学期十月阶段训练初三数学练习卷 注意事项： 1．本试卷共三大题25小题，共4页，满分150分．考试用时120分钟，不能使用计算器． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上指定位置上，再用2B铅笔把对应的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定区域．不准使用铅笔（除作图外）、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定的值，下列叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：原方程可化为，此时； 也可化为，此时； 故只有选项D符合题意. 2. 函数 的图象的顶点坐标是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点坐标公式，掌握二次函数顶点坐标公式是解题的关键． 根据二次函数解析式可得，代入顶点坐标公式，即可求解． 【详解】解：函数 中，， ∴，， ∴顶点坐标为， 故选：C ． 3. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程−配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，未知移到左边，二次项系数化为1，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方即可求出解． 【详解】解：，即， 方程两边同时加1，可得，即， 故选：B． 4. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】当时，原方程为一元一次方程不满足条件，当时，原方程为一元二次方程，结合根的判别式大于0求解即可． 【详解】解：当时，原方程为一元一次方程，只有一个实数根，不满足条件， 当时，原方程为一元二次方程，则，即， 解得， ∴的取值范围是且． 5. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 它的图象经过点 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 当时，y有最大值为0 D. 它的图象的对称轴是直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、因为，把代入，解得，故它的图象经过点， 故该选项是错误的，不符合题意； B、因为，对称轴，开口向上，当时，y随x的增大而减小，故该选项是正确的，符合题意； C、因为，对称轴，开口向上，当时，y有最小值为0，故该选项是错误的，不符合题意； D、因为，对称轴，故该选项是错误的，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，难度较小． 6. 若关于的方程的一个根是2，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是2， ∴ 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 7. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式确定顶点坐标特征对各选项的图象分析即可． 【详解】解： 函数解析式为 ， 抛物线的顶点坐标为 ， 抛物线的顶点一定在 轴上 观察图象，A、B、D选项的顶点均在轴上，C选项图象的顶点在轴正半轴上，不在轴上， 该图象不可能是函数的图象． 8. 将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点在直线上，则k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二次函数的图象平移后的顶点坐标，再将它代入，即可求出k的值． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴将的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后顶点坐标为． 根据顶点在直线上，得， 解得． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，难度适中．根据点的平移规律：右加左减，上加下减，正确求出二次函数的图象平移后的顶点坐标是解题的关键． 9. 某区为加强校园建设，2025年投入1000万元，预计2026年，2027年两年共投入4000万元，设投入经费的年平均增长率为，根据题意，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确等量关系为2026年与2027年的投入经费之和为4000万元，据此列方程即可. 【详解】解：∵2025年投入经费为1000万元，年平均增长率为， ∴2026年投入经费为万元，2027年投入经费为万元， ∵2026年、2027年两年共投入4000万元， ∴可列方程. 10. 如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是（　　） A. x2﹣2cx+b2＝0 B. x2﹣cx+b2＝0 C. x2﹣2cx+b＝0 D. x2﹣cx+b＝0 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先要表示出AD、AC的长，AD=AE-DE，然后利用等腰三角形的性质证出DE=BE=CE，则AC=AE+CE，求出AD、AC之后，根据韦达定理判断以它们的长为根的一元二次方程． 【详解】解：∵AB⊥BE，BD⊥BC， ∴∠ABE＝∠DBC＝90°， 在Rt△ABE中，a2+b2＝c2， ∵DE＝BE＝a， ∴∠EBD＝∠EDB， ∵∠EBD+∠EBC＝90°，∠EDB+∠C＝90°， ∴∠EBC＝∠C， ∴CE＝BE＝a， ∴AC＝AE+CE＝c+a， ∵AD+AC＝c﹣a+c+a＝2c，AD×AC＝（c﹣a）（c+a）＝c2﹣a2＝b2， ∴以AD和AC的长为根的一元二次方程可为x2﹣2cx+b2＝0． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用数形结合的方法，先表示出线段长度再根据韦达定理判断原方程． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 二次函数的常数项为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，常数项是不含未知数的项，据此找出对应项即可．即二次函数的一般形式为，其中是常数项． 【详解】解：对于二次函数，不含未知数的项为， 因此该二次函数的常数项为． 12. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握当一元二次方程的两根为和，则是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）来求解两根之和． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴ 故答案为： 13. 在一次同学聚会中，每两人之间互送一份礼物，如果一共送出110份礼物，则参加同学聚会的人数为_________人． 【答案】 【解析】 【分析】设参加聚会的人数为，每人给其余所有人送礼物，总礼物数可表示为，列方程求解后舍去不符合实际意义的负根即可． 【详解】解：设参加同学聚会的人数为人， ∵每两人互送一份礼物， ∴每人送出份礼物，总礼物份数为， 根据题意列方程得 ， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵人数不能为负数， ∴舍去， 因此参加同学聚会的人数为人． 14. 函数中自变量的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】 【详解】根据题意得： 解得：且. 故答案为且. 【点睛】二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于零. 15. 对于实数、，定义运算“※”：，如果，则x的值为______． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，实数的运算，解题的关键是分两种情况：当时；当时；然后根据定义的新运算分别进行计算，即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当时， ※， ， ， ， 或， （舍去），； 当时， ※， ， ， ， ； 综上所述：的值为3或， 故答案为：3或． 16. 二次函数y＝-(x-1)2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为___________． 【答案】-3 【解析】 【分析】由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为5m为负数，最大值为5n为正数．将最大值为5n分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出． 【详解】二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下： ①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即5m=﹣（m﹣1）2+5， 解得：m=﹣4， 当x=n时y取最大值，即5n=﹣（n﹣1）2+5， 解得：n=-4或n=1（均不合题意，舍去）； ②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即5m=﹣（m﹣1）2+5， 解得：m=﹣4， 当x=1时y取最大值，即5n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=1， 或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值， 5m=-（n-1）2+5，n=1， ∴m=1， ∵m＜0， ∴此种情形不合题意， 所以m+n=﹣4+1=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查二次函数的最值，一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内，数形结合是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 18. 已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到，则可变形为，通分得到原式，然后把代入计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 20. 已知二次函数． （1）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标； （2）若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积． 【答案】（1）对称轴为轴，开口向上，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的性质可得答案； （2）由、，顶点P坐标为；可得的面积． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的开口方向向上、对称轴为直线、顶点P坐标为； 【小问2详解】 解：如图， ∵、，顶点P坐标为； ∴． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质，坐标与图形面积，熟记抛物线的性质是解本题的关键． 21. 如图，用长的篱笆靠墙（墙长）围一个矩形花圃场， （1）设的长为，则__________（用含的代数式表示） （2）设面积为，求与之间函数关系式，当为多少时，面积取到最大值，并求面积最大值．（靠墙部分不用篱笆） 【答案】（1） （2），当时，面积取到最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据篱笆总长减去可得答案； （2）根据面积相等可得关系式，再配方得出顶点式，并根据二次函数图象的性质讨论得出最大值． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ∴； 【小问2详解】 解：， ∵， 解得， 由， 其中，抛物线开口向下， ∵在对称轴右侧，函数值随着x的增大而减小， ∴当时，， 所以当时，面积最大值为． 22. 某商场以每盒120元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为160元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出10盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出__________盒；（用含的代数式表示） （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到3360元？ 【答案】（1） （2）当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元． 【解析】 【分析】（1）根据每盒月饼降价元，商场每天就可以多售出盒，列出代数式即可； （2）设月饼每盒售价下降元，则每天能售出盒，根据“每天的销售利润恰好能达到元”列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设售价每盒下降元，则每天能售出盒； 【小问2详解】 解：设月饼每盒售价下降元，则月饼每盒售价为元，每天能售出盒， 依题意得：， 解得：，， 当时，（元）； 当时，（元）； 答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元． 23. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】（1）① （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【小问1详解】 解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； 【小问2详解】 解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； 【小问3详解】 解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 24. 已知抛物线：． （1）当，时，求抛物线的对称轴和顶点； （2）若对于任意实数，抛物线总经过定点， ①求和的值； ②点，在抛物线上，且线段与轴有交点，记的面积为，求的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2）①，；② 【解析】 【分析】（）把，代入解析式求出抛物线的解析式，再把它转化为顶点式即可求解； （）①把代入解析式得，进而得到，且，即可求解；②由题意得，即得，得到，利用待定系数法得直线的解析式为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，可得，再根据得到，令，根据二次函数的性质得在范围内单调递减，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 解： 当，时，抛物线解析式为， 即， 配方，得， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①将代入， 得， 整理，得， ∵对任意实数，抛物线总经过定点， ∴，且， 解得， 将代入， 得， 解得； ②由①知， ∴抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 将代入解析式，得， ∵线段与轴有交点， ∴、两点在轴两侧或其中一点在轴上，即， 即， 整理，得， 解得， 设直线的解析式为，将，代入， 得， 两式相减，得， 解得， 将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作平行于轴的直线，交直线于点， 将代入直线解析式，得， ∴， ∵， 又∵的面积为，， ∴， 令， 该二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴在范围内单调递减， 当时，； 当时，， ∴， ∴， 即． 25. 如图，以点为顶点的抛物线与轴交于点，与轴的正半轴交于点． （1）求的面积； （2）若为抛物线上一点，的面积为，求点的坐标； （3）当时，函数有最大值，求的值． 【答案】（1） （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线解析式与关键点坐标，再利用割补法，把三角形面积转化为梯形与两个直角三角形面积差求解； （2）利用坐标轴上三角形面积公式，先求点横坐标，再代入抛物线解析式求纵坐标； （3）根据开口向下抛物线增减性分、两种情况讨论求最大值，求解后均要检验分类条件． 【小问1详解】 解：将代入顶点式， 得， 解得． ∴抛物线解析式为，顶点为． 令，则， 解得，， ∴． 已知，，． 过点作轴，垂足为，则． ， ， ， ． 【小问2详解】 解：∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 当时，， ∴． 当时，， ∴． 点的坐标为或． 【小问3详解】 解：由题意知，抛物线对称轴为直线，开口向下． ①当时，区间包含对称轴，最大值为顶点． 由题意得， 解得，满足． ②当时，随的增大而增大，最大值取； ， ， ， （舍去），． 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期十月阶段训练初三数学练习卷 注意事项： 1．本试卷共三大题25小题，共4页，满分150分．考试用时120分钟，不能使用计算器． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上指定位置上，再用2B铅笔把对应的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定区域．不准使用铅笔（除作图外）、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定的值，下列叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数 的图象的顶点坐标是 （ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 5. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 它的图象经过点 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 当时，y有最大值为0 D. 它的图象的对称轴是直线 6. 若关于的方程的一个根是2，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点在直线上，则k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 9. 某区为加强校园建设，2025年投入1000万元，预计2026年，2027年两年共投入4000万元，设投入经费的年平均增长率为，根据题意，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是（　　） A. x2﹣2cx+b2＝0 B. x2﹣cx+b2＝0 C. x2﹣2cx+b＝0 D. x2﹣cx+b＝0 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 二次函数的常数项为_________． 12. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 13. 在一次同学聚会中，每两人之间互送一份礼物，如果一共送出110份礼物，则参加同学聚会的人数为_________人． 14. 函数中自变量的取值范围是__________. 15. 对于实数、，定义运算“※”：，如果，则x的值为______． 16. 二次函数y＝-(x-1)2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为___________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知是方程的一个根，求的值． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 20. 已知二次函数． （1）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标； （2）若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积． 21. 如图，用长的篱笆靠墙（墙长）围一个矩形花圃场， （1）设的长为，则__________（用含的代数式表示） （2）设面积为，求与之间函数关系式，当为多少时，面积取到最大值，并求面积最大值．（靠墙部分不用篱笆） 22. 某商场以每盒120元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为160元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出10盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出__________盒；（用含的代数式表示） （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到3360元？ 23. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 24. 已知抛物线：． （1）当，时，求抛物线的对称轴和顶点； （2）若对于任意实数，抛物线总经过定点， ①求和的值； ②点，在抛物线上，且线段与轴有交点，记的面积为，求的取值范围． 25. 如图，以点为顶点的抛物线与轴交于点，与轴的正半轴交于点． （1）求的面积； （2）若为抛物线上一点，的面积为，求点的坐标； （3）当时，函数有最大值，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $