精品解析：广东广州市天河区华南师范大学附属中学2026-2027学年九年级上学期学业评价（一）数学 试题

2026-2027学年九年级上学期学业评价（一） 数学 试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 2. 将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，正确利用轴对称图形的特点做题是解决此题的关键．根据题意可知，得到的是轴对称图形，然后认真观察图形，找出符合题意的选项即可 解答 【详解】解：A、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； B、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； C、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后能得到此图形，符合题意； D、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； 故选：C ． 3. 如图，是的外角，过点作射线，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程无实数根的条件，计算各选项的根的判别式判断． 【详解】解：A选项，方程中，，有实数根； B选项，方程中，，有实数根； C选项，将方程整理为，，有实数根； D选项，方程中，，没有实数根． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组对边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】需注意各特殊四边形判定定理的适用前提，逐一验证选项． 【详解】解：A、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，错误； B、 对角线相等的平行四边形是矩形，仅对角线相等的四边形无法判定为矩形，错误； C、 平行四边形的对边相等，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，错误； D、 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合菱形判定条件． 6. 把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由题意得，即． 故选：A． 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 8. 慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是熟练掌握根据数量关系列函数关系式．由“每天的利润每日销售量每盒利润”可列出y与x之间的函数表达式． 【详解】解：由题知：日销售量为盒， 每盒利润为元， ， 故选：D． 9. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 10. 如图，在中，，以为边向上作正方形．若阴影部分面积是面积的4倍，则关于x的二次函数的图象与x轴（ ） A. 没有交点 B. 有1个交点 C. 有2个交点 D. 交点个数由a，b取值决定 【答案】C 【解析】 【分析】易得正方形的面积是面积的5倍，利用面积公式和勾股定理得到，进而得到，求出判别式的符号，即可得出结果. 【详解】解：由题意，正方形的面积是面积的5倍， ∵， ∴的面积为， ∴正方形的面积为， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于x的二次函数的图象与x轴有2个交点. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 12. 如图是跷跷板示意图，横板绕中点O上下转动，立柱与地面垂直，当横板的A端着地时，测得，若，则的长为_________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 先根据直角三角形的性质求出，再根据即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点为中点， ∴， 故答案为：． 13. 如图，抛物线与直线交于A、B两点，则的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象上一次函数图象在二次函数图象上方部分对应的自变量取值范围即可得解． 【详解】解：由图象可知，当时，一次函数图象在二次函数图象上方， 则的解集是． 14. 若一次函数的图象经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象经过第一、二、三象限的性质，得到一次项系数和常数项的取值范围，列不等式组求解即可． 【详解】解：∵ 一次函数 的图象经过第一、第二、第三象限， ∴， 解得． 15. 已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 【答案】 或 【解析】 【分析】二次函数开口向上，顶点为，根据对称轴与给定自变量的范围的位置关系分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：二次函数开口向上，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，分三种情况讨论： ① 若，此时在的范围内，随增大而增大，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ②若，此时在的范围内，随增大而减小，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ③若，此时顶点的横坐标在的范围内，函数最小值为， 不满足最小值为的条件，舍去； 综上，的值为或． 16. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤ ， 其中正确结论有__________（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】 根据开口方向，对称轴公式和与y轴的交点位置可判断①；由对称性可求出抛物线与x轴交于点，则当时，，可判断②；根据顶点的纵坐标小于c可判断③；④把点A坐标代入解析式得到，结合c的取值范围可判断④；根据顶点处的函数值最小可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴； ∵抛物线与y轴的交点B在和之间（不包括这两点）， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴交于点，且对称轴为直线， ∴由对称性可知，抛物线与x轴交于点， ∴当时，， ∴，故②错误； ∵抛物线开口向上，且，顶点的纵坐标为， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线与x轴交于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； ∵抛物线开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值， ∴，即，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．） 17. 计算 （1） （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 令或， 解得：， 18. 已知：如图，，．求证：． 【答案】证明：因为，， 所以，即， 又因为， 所以， 所以． 【解析】 【分析】首先得到，然后证明，即可得到． 【详解】略 19. 已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在二次函数图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：在，理由如下： 由（1）知：， ∴当时，， ∴点在二次函数图象上. 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出 函数解析式即可； （2）把代入函数解析式，进行判断即可. 【小问1详解】 解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴设二次函数的表达式为， 把点代入，得：， 解得， ∴这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 略 20. 如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（恰好全部用完），设的长为， （1）的长为 m，的取值范围是 ； （2）当x为何值时，可使矩形花园的面积为？ 【答案】（1）， （2）当时，矩形花园的面积为 【解析】 【分析】（1）根据矩形的周长求出的长，根据矩形的边长为正数，且与墙平行的边的长度不超过墙长； （2）根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：， ， ∵， ； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得 解得（舍），； 答：当时，矩形花园的面积为. 21. 目前，技术在生活、学习、产业等领域的应用日益广泛．为了解学生对不同应用领域的关注偏好，某数学小组设计了如下问卷对本校部分学生进行了调查，并统计了相关数据．（被调查学生均对两个问题按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你最关注的应用领域是（ ）．（单选） A．智能机器人（如服务机器人、工业机器人） B．图像生成（如绘画、设计类工具） C．智能学习助手（如答疑、学情分析工具） D．语音交互（如智能音箱、语音翻译） 问题2：你每周使用的时间是________． 【整理数据】 第一步：将“问题1”的数据进行整理后，得到如下统计表； 学生最关注的应用领域人数统计表 应用领域 人数 频率 A B 12 C 15 D 3 合计 第二步：将“问题2”中学生每周使用的时间（单位：）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成下图尚不完整的频数分布直方图． 【解答问题】 （1） ， ，并补全频数分布直方图； （2）该校共有2800名学生，请你估计每周使用的时间不少于的学生人数． 【答案】（1）30，，补全频数分布直方图如图 （2）每周使用的时间不少于的学生人数是1540人 【解析】 【分析】（1）先根据表格中D的人数和频率求出调查的总人数，继而求出a，b的值，再用总人数减去其余三组的人数求出使用的时间在这一组的人数，即可补全频数分布直方图； （2）用样本估计总体的方法解答即可． 【小问1详解】 解：∵（人）， ∴（人），， （人），作图略； 【小问2详解】 解：（人）， 答：每周使用的时间不少于的学生人数是1540人． 22. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求k的取值范围； （2）若，满足，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根，得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）先根据根与系数的关系用表示和，再代入已知等式得到关于的方程，结合（1）中的范围筛选出符合条件的值即可； 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 展开整理得， 解得； 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， 代入得， 整理得， 解得， ，， 不符合题意，舍去， ． 23. 如图，已知四边形是平行四边形． （1）实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）证明与计算：在（1）的条件下，连接，，并解决下列问题： ①求证：四边形为菱形； ②若，，，求菱形的边长． 【答案】（1）解：如图，直线即为所求： （2）①证明：如图，设与相交于点O， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ② 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）①设与相交于点O，先根据垂直平分线的性质得到，，，再证明得到，进而有，然后利用菱形的判定可证得结论； ②过A作交延长线于H，由已知和含30度角的直角三角形的性质求得，，进而可得，设，在中，由勾股定理列方程求得x值即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略； ②如图，过A作交延长线于H，则， ∵， ∴，又， ∴，， ∵， ∴ 设，则， 在中，由勾股定理得， 则，解得， 故，即菱形的边长为． 24. 阅读材料：在凸四边形中，顺次连结它四条边的中点，所构成的四边形称为该四边形的中点四边形．结论：若一个凸四边形的两条对角线互相垂直且相等，则它的中点四边形是正方形． （1）初步理解：下列四边形的中点四边形一定是正方形的是_______； A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）拓展运用：如图1，为锐角三角形，以的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，判断四边形的中点四边形的形状，并说明理由． （3）素养提升：如图2，四边形中，，，M、N分别为的中点 ①探究与的数量关系，并证明． ②若，求的最小值（用含m的式子表示）． 【答案】（1）D （2）解：四边形的中点四边形是正方形， 理由：如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K ， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形中点四边形是正方形； （3）解：①，证明如下： 如图，记、的中点分别为E、F，连接 ∵四边形中，， ∴四边形中点四边形是正方形，即四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）根据各四边形的对角线的性质，进行判断即可； （2）设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K ，证明，推出 四边形的对角线相等且平分，即可得证； （3）①记、的中点分别为E、F，连接，易得四边形是正方形，由勾股定理得到，再根据三角形中位线定理即可得出结论；②易得当点O在上（即E、O、F共线）时，最小，最小值为的长，根据三角形中位线定理得到的最小值，利用①中结论进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，一个凸四边形的两条对角线互相垂直且相等，则它的中点四边形是正方形， 在平行四边形，矩形，菱形和正方形中，只有正方形的对角线互相垂直且相等， 故四边形的中点四边形一定是正方形的是正方形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①略 ②如图，设交于点O，连接、、，则， ∴当点O在上（即E、O、F共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， ∵，即， ∴都是直角三角形， ∵E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∴的最小值， ∵四边形是正方形， ∴； ∴的最小值， 由①知， 又∵， ∴，即， ∴的最小值为. 25. 已知二次函数． （1）当时，该函数图象的对称轴为直线，与轴相交于点和点，与轴交于点 ①求该函数的表达式； ②点是直线下方的抛物线图象上的动点，于点，当取最大值时，求点坐标； （2）若，已知点，点，若二次函数的图象与线段有交点时，求的取值范围． 【答案】（1）①，② （2）当或时，二次函数的图像与线段有交点． 【解析】 【分析】（1）①结合抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，利用待定系数法求解即可；②如图，连接，过作轴交于，求解，结合，可得直线为，设，则，，而，，则,当面积最大，则最大；再进一步求解即可； （2）由题意可得，从而求得抛物线的顶点为，抛物线与x轴的交点为、，当抛物线过点或时，根据二次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴二次函数， 把点代入得，， ∴该函数的表达式为； ②如图，连接，过作轴交于， ∵， 当时，， 解得：，， ∴， ∵， ∴设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴, ∴， 而，，则, ∴当面积最大，则最大； ∴当时，面积最大， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴抛物线的顶点为， 把代入得，， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点为、， 当抛物线过点时，， 解得， 如图，根据越大，抛物线的开口越小，当时，二次函数的图像与线段有交点， 当抛物线过点时，， 解得， 如图，当时，二次函数的图像与线段有交点， 综上所述，当或时，二次函数的图像与线段有交点． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，运用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期学业评价（一） 数学 试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 等于（ ） A. B. C. D. 2. 将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的外角，过点作射线，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组对边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 6. 把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（ ）． A. B. C. D. 9. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 10. 如图，在中，，以为边向上作正方形．若阴影部分面积是面积的4倍，则关于x的二次函数的图象与x轴（ ） A. 没有交点 B. 有1个交点 C. 有2个交点 D. 交点个数由a，b取值决定 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 12. 如图是跷跷板示意图，横板绕中点O上下转动，立柱与地面垂直，当横板的A端着地时，测得，若，则的长为_________m． 13. 如图，抛物线与直线交于A、B两点，则的解集是________． 14. 若一次函数的图象经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是_________． 15. 已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 16. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤ ， 其中正确结论有__________（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．） 17. 计算 （1） （2）解方程： 18. 已知：如图，，．求证：． 19. 已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在二次函数图象上，并说明理由． 20. 如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（恰好全部用完），设的长为， （1）的长为 m，的取值范围是 ； （2）当x为何值时，可使矩形花园的面积为？ 21. 目前，技术在生活、学习、产业等领域的应用日益广泛．为了解学生对不同应用领域的关注偏好，某数学小组设计了如下问卷对本校部分学生进行了调查，并统计了相关数据．（被调查学生均对两个问题按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你最关注的应用领域是（ ）．（单选） A．智能机器人（如服务机器人、工业机器人） B．图像生成（如绘画、设计类工具） C．智能学习助手（如答疑、学情分析工具） D．语音交互（如智能音箱、语音翻译） 问题2：你每周使用的时间是________． 【整理数据】 第一步：将“问题1”的数据进行整理后，得到如下统计表； 学生最关注的应用领域人数统计表 应用领域 人数 频率 A B 12 C 15 D 3 合计 第二步：将“问题2”中学生每周使用的时间（单位：）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成下图尚不完整的频数分布直方图． 【解答问题】 （1） ， ，并补全频数分布直方图； （2）该校共有2800名学生，请你估计每周使用的时间不少于的学生人数． 22. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求k的取值范围； （2）若，满足，求实数k的值． 23. 如图，已知四边形是平行四边形． （1）实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）证明与计算：在（1）的条件下，连接，，并解决下列问题： ①求证：四边形为菱形； ②若，，，求菱形的边长． 24. 阅读材料：在凸四边形中，顺次连结它四条边的中点，所构成的四边形称为该四边形的中点四边形．结论：若一个凸四边形的两条对角线互相垂直且相等，则它的中点四边形是正方形． （1）初步理解：下列四边形的中点四边形一定是正方形的是_______； A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）拓展运用：如图1，为锐角三角形，以的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，判断四边形的中点四边形的形状，并说明理由． （3）素养提升：如图2，四边形中，，，M、N分别为的中点 ①探究与的数量关系，并证明． ②若，求的最小值（用含m的式子表示）． 25. 已知二次函数． （1）当时，该函数图象的对称轴为直线，与轴相交于点和点，与轴交于点 ①求该函数的表达式； ②点是直线下方的抛物线图象上的动点，于点，当取最大值时，求点坐标； （2）若，已知点，点，若二次函数的图象与线段有交点时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $