广东揭阳市榕城区立才中英文学校2026-2027学年第一学期九年级数学第一次学情自测卷

立才中英文2026-2027学年度第一学期第一次月考 九年数学试卷 时间：120分钟 分数：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列性质中菱形一定具有的是（　　） A．对角线相等 B．有一个角是直角 C．对角线互相垂直 D．四个角相等 2．方程4x2﹣2x+1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．4、2、1 B．4、2、﹣1 C．4、﹣2、﹣1 D．4、﹣2、1 3．不解方程，判断一元二次方程x2﹣2x＝3的根的情况是（　　） A．有两个不等实根 B．有两个相等实根 C．没有实根 D．无法确定 4．如图，在正方形ABCD外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为（　　） A．15° B．22.5° C．20° D．10° 5．在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了a、b、c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 6．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围（　　） A．m＜3 B．m＜3且m≠2 C．m＞3且m≠2 D．m＞3 7．如图，测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC＝90°，则AD的长为（　　） A．4cm B．3cm C．5cm D．2.5cm 8．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（2，4），则AC的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 10．《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（　　） A．32+82＝x2 B．（x﹣8）2+32＝x2 C．x2+82＝（x+3）2 D．（x﹣3）2+82＝x2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为_________ cm2． 12．某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有_____ 人． 13．已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是﹣1和3，它的二次项系数是1，请写出符合条件的方程：______________ （写方程的一般形式）． 14．如图，在正方形ABCD中，点P是BD上一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF，若AB＝2，则EF的最小值为_______________ ． 15．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，进行如下操作：第一次，顺次连接菱形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；..如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBn∁nDn的面积是____________________ ． 3、 解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 16．解方程： （1）x2﹣4x﹣2＝0；（2）3x（x+1）＝2（x+1）． 17． 在菱形ABCD中，点E是边AB的中点，试分别在下列两个图形中按要求仅使用无刻度的直 尺作图． （1）在图1中，过点E作线段EF∥BC，交CD于点F; （2）在图2中，连接BD，在BD上找一点P，使PA+PE的值最小． 18．如图，在▱ABCD中，E为AB的中点，F为ED延长线上一点，连接AF，BF，过点B作BG∥AF交FE的延长线于点G，连接AG． （1）求证：△AEF≌△BEG； （2）已知________ （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AGBF的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：EF⊥CD． 4、 解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发沿DA向点A运动，运动到点A即停止，同时点Q从点B出发沿BC向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1cm/s．连接PQ，AQ，CP．设点P，Q运动的时间为ts． （1）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ （2）是否存在某一时刻t，使得PQ⊥PC？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由． 21．配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为x（本），总成本C（元）为：C＝x2﹣12x+40． 利用配方法求C的最小值， 解：C＝x2﹣12x+40＝x2﹣12x+36+4＝（x﹣6）2+4， ∵（x﹣6）2≥0， ∴当x＝6时，总成本C最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）求a2﹣2a+3的最小值_____ ； （2）已知m2+2n2+6m﹣8n+17＝0，求m+n的值； （3）若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分 22．2025年9月，伴随着“绿茵燃江苏，逐梦苏超杯”的口号江苏省城市足球联赛正式开赛，全省十三个设区市的球员在赛场上激情碰撞，也让江苏球迷的足球梦想在江淮大地绽放．为响应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售一款印有吉祥物“苏苏”和“江江”的苏超赛事纪念徽章深受球迷喜爱．商家以每件45元的价格购进该款纪念徽章，以每件68元的价格出售．经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． （1）求该款纪念徽章2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式．经试验，发现该款纪念徽章每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款纪念徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 23．如图，点G在正方形ABCD的边BA的延长线上，点E在边AD上，且AE＝AG，BE的延长线交DG于点F，连接CF． （1）求证：BF⊥GD； （2）求∠BFC的度数； （3）求证：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $