专题二·期中综合复习·培优提升讲义（三角形实数勾股定理） ·2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题二·期中综合复习·培优提升讲义（三角形实数勾股定理） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握线段垂直平分线、等腰三角形、三角形中线等性质的灵活运用，解决周长与最值问题 · 综合运用全等三角形的多种判定方法，掌握倍长中线、旋转等常见辅助线模型 · 能进行平方根、立方根与实数混合运算，掌握无理数估算、数轴表示等进阶方法 · 灵活运用勾股定理及其逆定理解决折叠、最短路径、实际应用等问题 · 掌握尺规作图的原理（角平分线、垂直平分线）与全等判定方法的综合运用 📚 知识梳理 ☆ 1.实数的运算与估算 平方根、立方根混合运算：先化简根式（开得尽的开出来），再合并同类根式 无理数估算的进阶：夹逼法结合完全平方数、立方数确定整数部分与小数部分 数轴与实数：实数与数轴一一对应，利用数轴位置判断绝对值化简、比较大小 近似数：四舍五入到指定数位，科学记数法 a×10n（1≤|a|<10）与精确度对应 概念辨析例题：已知 的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a-b 的值。 答案：5- 解析：因为 9<13<16，所以 3<<4，整数部分 a=3，小数部分 b=-3，故 a-b=3-(-3)=6-。 ☆ 2.全等三角形的判定与综合 全等判定综合：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 灵活选择，SSA 不能判定全等 倍长中线模型：延长中线至 2 倍构造全等，转移线段与角，再结合三边关系求范围 一线三垂直、旋转构造全等是常见辅助线模型，注意对应边对应角的准确找法 动点全等问题：用速度×时间表示线段，按对应顶点分类讨论列方程 概念辨析例题：在 △ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是 BC 边上的中线，求中线 AD 的取值范围。 答案：1<AD<4 解析：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 CE，则 △ABD≌△ECD，CE=AB=5。在 △ACE 中，5-3<AE<5+3，即 2<2AD<8，故 1<AD<4。 ☆ 3.等腰三角形与垂直平分线 等腰三角形：等边对等角、等角对等边、三线合一，注意分类讨论腰与底边 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可把分散线段转化到同一边 角平分线与垂直平分线综合：角平分线性质+垂直平分线性质联合转移线段 最短路径：作对称点化折为直，两点之间线段最短，勾股定理求具体长度 概念辨析例题：如图，在 △ABC 中，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，垂足为 E，若 △ACD 的周长为 12，AC=5，求 AB 的长。 答案：7 解析：由垂直平分线性质得 DB=DC，故 △ACD 周长 = AC+CD+AD = AC+DB+AD = AC+AB = 12，所以 AB=12-5=7。 ☆ 4.勾股定理及其应用 勾股定理：a2+b2=c2；逆定理判定直角三角形，常与全等、等腰结合 折叠问题：折叠前后对应边相等，设未知数在直角三角形中用勾股定理列方程 最短路径：圆柱、长方体侧面展开，化立体为平面，两点间线段最短 实际应用（云梯、绳索、信号覆盖）：先构造直角三角形，再列式计算 概念辨析例题：如图，长方形纸片 ABCD 中，AB=8，BC=10，将 △ABC 沿 AC 折叠，使 B 落在 E 处，求 AE 与 CE 的长度关系并求折叠后重叠部分面积。 答案：AE=AB=8，CE=CB=10，重叠面积=30 解析：折叠后 △AEC 与 △ABC 全等，AE=AB=8，CE=CB=10。设 AF=x（F 为 AE 与 CD 交点），DF=8-x，在 Rt△ADF 中，DF2+AD2=AF2，即 (8-x)2+64=x2，解得 x=8，与折叠条件结合可求重叠面积。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 倍长中线 延长中线至2倍构造全等 转移线段后结合三边关系 全等判定 SSS/SAS/ASA/AAS/HL SSA 不能判定全等 垂直平分线 点到线段两端距离相等 转移线段求周长 等腰三角形 等边对等角、三线合一 注意腰与底分类讨论 最短路径 对称化折为直 两点之间线段最短 勾股应用 折叠、展开、实际模型 先构造直角三角形 ⚠️ 核心考点 【考点1】线段垂直平分线 · 垂直平分线上的点到线段两端距离相等，直接转移线段求周长或长度 · 垂直平分线性质常与角平分线、等腰三角形联合使用 · 尺规作垂直平分线原理：SSS 全等确定垂直平分线上的点，两点确定直线 · 遇中垂线找等长线段，把分散条件集中到同一三角形中 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，连接，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．若的周长为23，，则的周长为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而求出的长，根据的周长求出的长，推出的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为； 故选B． 3．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长计算，正确理解线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为 ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知的周长为，边的垂直平分线分别交，于点，，连接．若，则的周长为___． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据的周长为，，可得：，由垂直平分线的性质可知，可得的周长为． 【详解】解：的周长为， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 的周长为， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，作直线，交于点若的周长为11，，则的长为______． 【答案】7 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识点，根据尺规作图可知，垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：由作图可知，， 的周长， ， ， 故答案为： 6．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵D在的中垂线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∴， ∴； (2)的周长为11． 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和角平分线性质得出，，证明，即可得出结论； （2）证明，可得，然后求出的周长为，计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴的周长为： ． 7．（25-26八年级上·北京·期中）如图，已知，的角平分线与边的垂直平分线交于点，连接，． (1)依题意补全图形，要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 解：如图所示． (2) 【知识点】作垂线(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据角平分线的作图方法和线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）过点D作于点M，作交的延长线于点N，结合线段垂直平分线的性质和角平分线的性质可得，，，则，可得，则，进而可得，则，即可得． 【详解】（1）略 （2）解：过点D作于点M，作交的延长线于点N， ∵的角平分线与边的垂直平分线交于点D， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点2】等腰三角形 · 等边对等角、等角对等边互相转化，证明等腰或求角常用 · 三线合一：作底边高线可得中点与角平分线，常用于求高、面积 · 等腰三角形分类讨论：腰与底边、顶角与底角两种情形 · 等腰与平行线结合：内错角、同位角相等推出等角，进而等边 8．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】三线合一 【分析】由等腰三角形“三线合一”性质求解即可． 【详解】解：在中，，，则由等腰三角形“三线合一”性质得到是底边上的中线， ． 9．（25-26八年级上·北京·期中）如图，直线，直线与直线，分别交于点，．点在线上，且．若，则______（用含的式子表示）． 【答案】 【知识点】等边对等角、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线性质与等腰三角形性质，解题思路是利用平行线得内错角相等，结合等腰三角形的角关系推导；解题关键是识别等腰三角形的底角相等，易错点是混淆角度的等量代换． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴是等腰三角形， ∴ 在中，，（两直线平行，内错角相等） 得； 故答案为． 10．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）已知的两条边长分别为2和5，若为等腰三角形，则第三边c的值是______． 【答案】5 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】根据等腰三角形的性质讨论：当以2为腰时，根据三角形三边关系可得结论；当以2为底边时，再根据三角形三边关系解答即可． 【详解】解：当以2为腰时，三边长为2，2，5， 根据三角形三边关系，可得， 所以不符合题意； 当以2为底边时，三边长为2，5，5， 根据三角形三边关系，可得， 所以符合题意， 则第三边c的值为5． 11．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示，等腰三角形的底边为，腰长为，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以的速度移动，当P运动________秒时，是直角三角形．      【答案】或8 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】先利用等腰三角形“三线合一”求出、以及边上的高，再分别讨论和为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下的长，即可求出所需时间． 【详解】解：如图，作于点D，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 当点P运动到与点D重合时，是直角三角形， 此时， ∴运动时间为（秒）； 当时，设， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 所以运动时间为（秒）； 综上可得：当P运动8秒或秒时，是直角三角形． 故答案为：或8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 12．（20-21七年级下·江苏徐州·期中）已知．试求： (1)代数式的值； (2)以、为边的等腰三角形的周长． 【答案】(1)900 (2)12 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】利用本题重点考查​配方法与非负数的性质​，以及​等腰三角形的性质与三角形三边关系​，​通过配方法将方程转化为平方和为零的形式，从而求出未知数的值，并结合等腰三角形的分类讨论是解题的关键​． （1）对原式配方，求出，代入求解即可； （2）根据等腰三角形定义，结合三角形形成要求，求出等腰三角形三条边长，根据三角形周长计算公式计算即可． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）若腰长为，底边为5，则三边为， 此时，不满足三角形条件，不合题意； 若腰长为 5，底边为 2，则三边为 此时，满足三角形条件， 所以三边为 ， 所以等腰三角形的周长为． 【考点3】三角形的高、中线与三边关系 · 中线把三角形面积平分；三角形中线交点（重心）分中线 2:1 · 三边关系：|a-b|<c<a+b，求第三边范围或判断能否组成三角形 · 钝角三角形作高注意在延长线上作垂线 · 面积问题用等高三角形面积比等于底边比转化 13．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）中，是边的中线，且的长度为奇数，，则等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、求不等式组的解集、确定第三边的取值范围、根据三角形中线求长度 【分析】延长至点，使得，连接，证明，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴, ∴， 在中，由 得：， ∴, ∵的长度为奇数， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，三角形的三边关系，解一元一次不等式组，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 14．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段检测）在中，是钝角，下列图中画边上的高线正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形的高的定义可知，边上的高线是经过点向边所作的垂线段，依此求解即可，解题的关键是正确理解定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 【详解】由题意可得，在中，是钝角，画边上的高线是， 故选：． 15．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，E是中线的中点．若的面积是3，则的面积是 ____． 【答案】6 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了中线的性质．熟练掌握中线将三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键． 根据中线将三角形分成两个面积相等的三角形求解作答即可． 【详解】解：∵E是中线的中点， ∴， ∵E是中线的中点． ∴， 故答案为：6． 16．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，的面积为2018，点D，E分别在，上，且，，与交于F，当的面积不大于100时，则自然数n的最小值为______． 【答案】11 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、求一元一次不等式的解集 【分析】根据等高的三角形的面积比等于底边之比，推导出，，则可得，解不等式即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， 同理可得， ， ， 当的面积不大于100时，， 根据题意可得， ， ， ， 解得， 则自然数n的最小值为． 17．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）画图并填空，如图：方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸中将经过一次平移后得到．图中标出了点D的对应点． (1)请画出平移后的； (2)若连接、，则这两条线段之间的位置关系是____________； (3)线段扫过的面积为____________． 【答案】(1) 即为所求作的三角形： (2)平行 (3)8 【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，解题的关键是根据平移后的对应点，然后作出三角形三个顶点平移后的对应点． （1）根据点D的对应点为得出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）根据平移的性质进行求解即可； （3）利用割补法求出线段扫过的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据平移的性质可知：、之间的位置关系是平行； （3）解：线段扫过的面积为： ． 【考点4】全等三角形的判定与性质 · 综合判定：根据已知条件选最直接方法，隐含条件（公共边、对顶角）先找 · HL 判定直角三角形全等，注意只在直角三角形中使用 · 全等性质用于转移线段、角，构建等腰、垂直等新结论 · 动点全等：设运动时间表示线段，按对应顶点分类列方程 18．（24-25八年级下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查中心对称，设点P关于A的对称点为点Q，过点Q作轴于点B，则有，即可得到，，进而求出点Q的坐标． 【详解】解：设点P关于A的对称点为点Q，过点Q作轴于点B， 则，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点Q的坐标为， 故选：C． 19．（22-23八年级上·山西运城·期末）如图，，下列等式不一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，，再逐个判断即可．本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 【详解】解：， ，，，， ， ， 即只有选项D符合题意，选项A、选项B、选项C都不符合题意； 故选：D． 20．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知，，添加一个条件______ 判定． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：添加一个条件，判定， 理由如下： 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 21．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，，与相交于点，若，，则的长为______． 【答案】3 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；由题意易得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为3． 22．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知是的平分线，，若的面积为，则的面积 __________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，延长交于点D，证明，推出，进而可得，通过即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点D， 是的平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 23．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图如果点P在射线OC上，，，垂足分别为D，E，，若，______．    【答案】/70度 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】利用证明，可得，进一步计算，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，证明是解题的关键． 24．（江苏省八年级上学期期中真题必刷基础60题（30个考点专练）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版））如图，某同学不小心把一块三角形玻璃碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 ___________块（填“”、“ ”或“” ． 【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．根据三角形全等的判定定理判断即可． 【详解】解：根据三角形全等的判定定理可知，带去可以配一块完全一样的玻璃， 故答案为：． 25．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为_________． 【答案】1或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ，， ∴，， 解得，； ②当时， ，， ∴，， 解得，， 综上所述，的值是1或， 故答案为：1或． 26．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，，垂足为，，垂足为，与交于点，，，则的长为_____． 【答案】3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 通过证明，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 27．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，于点，于点，交于点，已知，，则的长为______．    【答案】1 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是关键；由面积可求得；再证明，则得，则由可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 28．（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 【答案】证明；在和中， ， ∴． 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】略 29．（11-12七年级下·江苏·阶段检测）已知：，，试说明：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先利用证明得到，再利用证明，则可证明． 【详解】略 30．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在△ABC中，，直线l经过顶点C，分别过A，B两点作l的垂线，，E，F为垂足，． (1)求证： (2)求证：． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ， ， ， ． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）先利用证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可以得到，据此即可证明； （2）根据全等三角形对应角相等可以得到，因为，所以，根据平角定义可得． 【详解】（1）略． （2）略． 31．（23-24七年级下·全国·暑假作业）如图，为的中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点．试说明：． 【答案】 为的中点， ． 又 ， 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了利用证明三角形全等，由P为的中点，可得，再由对顶角相等可得出，结合已知条件可得出． 【详解】略 32．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）如图1，是中边上的高，点D是上一点，连接交于点F，． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，延长至点G，连接，，若，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：是中边上的高， ， ， ， ， ， 即：． (2) 证明：由（1）知：，， ，， ， 又， ， 即：， ， 即：， ， ， 在和中，， ， ． (3) 【知识点】垂线的定义理解、角平分线的判定定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查垂直的定义、全等三角形的判定和性质和角平分线的定义， （1）有题意得，则，即有结论成立； （2）由（1）知，即可得，进一步证明，则有； （3）根据面积公式得，即，由（2）知：，则，过点G作交的延长线于点H，则，可证明，有，由（2）知：，利用，即可得，解得即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：是中边上的高， ， ，， ， ， ， 即， ， 由（2）知：， ， ， 过点G作交的延长线于点H，如图， 则，由（1）知：， ， ， 由（2）知：，即：， 在和中，， ， ， 由（2）知：， ， ， ， ， 即：， ， ． 33．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，点为边上一点，连接，． ①若平分，平分，则的度数为； ②若，点为边的中点，求证：； 【问题解决】 （2）如图②，某工程队需要在，两棵树的前方建立一座八角亭．按如下方法选址：如图，甲工人从点直走到树处，然后向右转后再直走一段路到点处；且；乙工人从点直走到树处，然后向左转后再直走一段路到点处，且．工程队队长打算把八角亭建在的中点处．过几天，工程队带着建筑材料来施工，却发现忘记标记起始点，智慧的队长想出了办法，他的作法如下： ①连接，取的中点； ②过点作且，从而找到点． 你觉得队长的方法对吗？为什么？ 【答案】（1）① ②证明：延长、交于，   ， ， ， 为中点， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形； ∴， （2）队长的说法正确； 理由如下： 如图2，连接、、，作于点，使，连接、， ， ， ，，， ， 延长，作交的延长线于点，连接、、，则， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 、、三点在同一条直线上， 是的中点， 队长的方法是对的． 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；掌握灵活运用全等三角形的判定方法及有关性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． （1）①由平行线的性质得，由角平分线的定义得，，即可求解；②延长、交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，结合等腰三角形的判定及性质，即可证为等腰直角三角形，则； （2）连接、、，作于点，使，连接、，则，所以，由，，，得，延长，作交的延长线于点，连接、、，推导出，则，进而证明，得，，再证明，，即可证明，得，，则，所以、、三点在同一条直线上，则是的中点，说明队长的方法是对的． 【详解】（1）①解：， ， 平分，平分， ，， ， ； ②略 （2）略 【考点5】全等综合与探究 · 新定义题先理解定义，把新概念转化为全等、等腰等已知模型 · 多问综合题：利用前面结论作为后面条件，层层推进 · 探索性问题（SSA 何时全等）需分类讨论并构造反例 · 辅助线优先考虑倍长中线、截长补短、旋转构造全等 34．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）在学习“关于三角形全等的条件”时，我们知道“两边和一角分别相等”包括两种情况：如果这个角是两边的夹角，那么可以通过“”判定两个三角形全等；如果这个角是其中一组等边的对角，那么这两个三角形不一定全等．小明学完之后有个疑惑，“不一定全等”究竟怎么判别呢？聪明的你请给小明做出解释：什么情况下可以全等，并给出证明；什么情况下不能全等，并画出反例． 【答案】 解：如图①，当时， 在和中， ， ∴（）； 如图②，当时，通过作图，可知与不一定全等． 如图③，当时，作交的延长线于G，作交的延长线于H． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 分三种情况逐一判断即可． 【详解】略 35．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”． (1)下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______________（填序号） ①腰上的高；②底边上的中线；③底角的平分线． (2)如图1，在四边形中，为的中点，取中点，连接． 求证：是的“周长平分线” (3)在（2）的基础上，分别取的中点，如图2．请在上找点，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线” ①用无刻度直尺确定点的位置（保留画图痕迹）； ②若，直接写出的长． 【答案】(1)② (2) 延长交于点M，连接， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵点Q是的中点， ∴是的“周长平分线”； (3) ①连接，并延长交于点E，连接，并延长交于点F，则是的中垂线，是的中垂线， ∴点E，F即为所求； ② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及“周长平分线”的定义，即可判断； （2）延长，交于点M，连接，则是等腰直角三角形，再证明，进而即可得到结论； （3）①连接，并延长交于点E，连接，并延长交于点F，即可；②连接，，过点A作于点G，过点D作于点H，由等腰直角三角形的性质得的值，再证明，设，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）∵等腰三角形底边上的中线所在直线也是等腰三角形的对称轴， ∴等腰三角形底边上的中线一定是所在等腰三角形的“周长平分线”， 故答案是：②； （2）略 （3）①略 ②连接，过点A作于点G，过点D作于点H， 则， ∵， ∴和都是等腰直角三角形，且， 又∵，， ∴ ，， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中垂线，是的中垂线， ∴， 设，则，设，则， 在中，根据勾股定理得：，解得：， 在中，根据勾股定理得：，解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加合适的辅助线，构造等腰直角三角形以及“一线三垂直”模型，是解题的关键． 【考点6】角平分线与尺规作图 · 角平分线性质：点到角两边距离相等，作垂线构造等距 · 尺规作角平分线原理：SSS 全等证明两边三角形全等 · 内心（三条角平分线交点）到三边距离相等，可用面积法求周长 · 角平分线+面积：S=×周长×内切圆半径（内心到边距离） 36．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明边相等、作角平分线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 由作图知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又的面积为8， ∴的面积是， 故选B． 37．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）在中，，，，用尺规作图的方法作线段和线段，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则的周长是（    ）    A．3 B． C． D．6 【答案】D 【知识点】作垂线(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形全等的判定与性质以及尺规作图，掌握以上知识点是解题的关键． 观察作图痕迹，知道是的角平分线，，根据角平分线的性质结合，证明，推出，，那么，从而推出的周长． 【详解】由作图痕迹，知道是的角平分线，且 是的角平分线，， 在和中，， ，， 的周长为6 故选D． 38．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，的面积是15，分别平分和于D，且，则的周长是______． 【答案】10 【知识点】角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握利用角分线的性质求三角形的面积是解题的关键．连接，将分割成3个三角形．过点O作于点E，于点F，根据点O为的内心，即可得出．根据三角形的面积公式列式即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，于点F， 分别平分和， 点O为的内心， ． ， ， ， ， 的周长是10， 故答案为：10． 【考点7】平方根、立方根与实数运算 · 平方根解方程：x2=a → x=±，注意检验是否有意义 · 立方根解方程：x3=a → x=∛a，结果唯一 · 混合运算先化简绝对值、根式，再合并；注意负数的立方根为负 · 已知平方根/立方根求参数：利用相反数性质或代入验证 39．（2024·甘肃天水·三模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的性质，掌握负数的立方根是负数，正数的立方根是正数，一个数的算术平方根是非负数是解题的关键． 根据算术平方根与立方根的性质进行逐项分析即可． 【详解】A．，故该选项错误； B．，故该选项错误； C．，故该选项错误； D．，故该选项正确； 故选D． 40．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【答案】 ①③ ⑤⑥ ②④ 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的分类、无理数、有理数的分类 【分析】该题考查了实数的分类，整数包括正整数、负整数和零；分数是有理数中不是整数的部分，包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数；据此求解即可． 【详解】解：①0是整数；②是无理数，因为是无理数，除以3后仍为无理数；③是整数；④是无理数，因为是无理数，除以2后仍为无理数；⑤是无限循环小数，属于分数；⑥是分数． 故整数有①③，分数有⑤⑥，无理数有②④． 故答案为：①③；⑤⑥；②④． 41．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）（1）计算：     （2）解方程：． 【答案】（1）（2） 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根，负整数指数幂，零指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简负整数指数幂，零指数幂，立方根，再运算加减法，即可作答． （2）方程同时除以8，再开立方根，得出，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， 则， 解得． 42．（24-25七年级下·福建福州·阶段检测）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查平方根与立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得，． 43．（25-26八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握相关定义是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴， ∴． 44．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）若的平方根是，的立方根为，c是的整数部分，求的值． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算能力，运用平方根和立方根知识进行计算和估算进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴ ∴ 45．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键． （1）方程两边同时开方，得两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可； （2）方程移项后，两边同除以2，再开立方得一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得，， ∴ ∴或； （2）解：， ， ， ， ∴． 【考点8】无理数估算与数轴 · 夹逼法：找相邻完全平方数/立方数确定范围，进一步求整数部分 · 两个连续整数之间夹无理数：如 m<<m+1，则介于 m 和 m+1 · 数轴表示实数：利用勾股定理在数轴上构造 的位置 · 数轴比较大小：右>左，结合绝对值化简判断符号 46．（2026·江苏南通·中考真题）实数介于两个相邻的整数之间，这两个整数是（     ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算、估计算术平方根的取值范围 【分析】通过比较13与相邻完全平方数的大小，确定的范围． 【详解】解: ∵ ，，， ∴ ， 即 ． ∴介于3和4之间． 47．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知，其中是整数，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算；是无理数，被开方数是13，在13的前后找到能能开平方的数即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：B. 48．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，数轴上的点A，B，C分别对应实数a，b，c．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、绝对值的几何意义、利用数轴比较有理数的大小、实数与数轴 【分析】根据数轴可知：，，即可判断选项A，B，C，根据即可判断选项D． 【详解】解：根据数轴可知：，， 故A选项错误，B选项正确，C选项错误， ∵， ∴D选项错误． 49．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知n为整数，且，则n等于________． 【答案】5 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算．先找出介于，之间的整数，然后求出答案即可． 【详解】解：∵，，5是整数， ∴， 故答案为：5． 50．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段检测）已知两个正方形的边长分别是，且满足． (1)如图①，，数轴上点A对应的是m，n中的 ；（填m或n） (2)请在图②的数轴上找到另一个数对应的点． 【答案】(1)m (2) 解：如图所示，点B即为所求． 【知识点】求一个数的平方根、用勾股定理解三角形、实数与数轴 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，勾股定理，实数与数轴，熟知相关知识是解题的关键． （1）先求出m、n的值，再利用勾股定理求出的长，进而得到点A表示的数即可得到答案； （2）由于，利用勾股定理和数轴的特点求解即可． 【详解】（1）解：∵两个正方形的边长分别是，且满足， ∴或（舍去），或（舍去）； 由数轴和勾股定理可得， ∵点A在原点右侧， ∴点A表示的数为，即点A对应的是m； （2）略 【考点9】勾股定理及其逆定理 · 直角三角形求边：a2+b2=c2，已知两边求第三边用开方 · 勾股逆定理：三边满足 a2+b2=c2 即直角（c 为最长边） · 网格中判断直角三角形：用勾股定理算三边再验证逆定理 · 构造图形问题：把代数式的最小值转化为两线段和最短 51．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年－公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，则此勾股形的面积为（    ） A．28 B．30 C．32 D．36 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键． 设，则，，，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该三角形的面积． 【详解】解：设，则由全等三角形可得， ∴，，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴此勾股形的面积为， 故选：B． 52．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，圆柱形容器高，底面周长，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，3秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是_____． 【答案】/ 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题， 先将圆柱的侧面展开，找到蚂蚁走的最短距离，再根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论． 【详解】解：假设在杯内壁点处吃到蜂蜜， 如图，圆柱的侧面展开，点与关于点对称，连接，则为蚂蚁走的最短距离， 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴蚂蚁的平均速度至少是， 故答案为：． 53．（2025八年级上·全国·专题练习）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长_____尺． 【答案】 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键．根据题意可得的长度，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：根据题意可得（尺）， 设水深尺，则芦苇长尺， 在中，， 即， 解得， ，即芦苇长尺． 故答案为：． 54．（23-24八年级上·四川成都·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是______． 【答案】5 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键．仿照例题，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，问题转化为求的最小值，利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：依题意如图，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长， 故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为的长， ∴，，，，， ∴， ∴， 代数式的最小值是5． 故答案为：5． 55．（23-24八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为，点都在格点上．    (1)求四边形的周长和面积？ (2)是直角吗？为什么？ 【答案】(1)四边形的周长为，四边形的面积 (2) 是直角，理由如下， 如图所示，连接，      ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴是直角． 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】（1）根据格点的特点，运用勾股定理分别算出的长，可求出四边形的周长，运用“割补法”可求出四边形的面积； （2）运用勾股定理的逆定理可求出是直角三角形，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据格点的特点得，，，，， ∴四边形的周长为， 如图所示，    ∴，则， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． （2）略 【点睛】本题主要考查格点三角形的性质，勾股定理及逆定理的运用，掌握勾股定理及逆定理的运用是解题的关键． 56．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，四边形中，，，，，． (1)判断是否是直角，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) 解：是直角，理由如下： 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角； (2) 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可求出的值，则可证明，据此可得结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ． 【考点10】勾股定理综合应用 · 折叠问题设未知数，在直角三角形中列勾股方程求解 · 含30°直角三角形：30°所对直角边等于斜边一半，配合勾股求边 · 实际应用（云梯、绳索、滑落）：画直角三角形，勾股列式 · 最值问题：展开侧面或作对称点，化曲为直后用勾股求最短距离 57．（25-26八年级下·广东深圳·期末）将一副直角三角板如图放置，，，作的平分线交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的混合运算、角平分线的有关计算、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】由三角板可知：，，利用勾股定理可得，易得；利用角平分线的定义可得，根据含30度直角三角形的性质可得，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由三角板可知：，， ∵， ∴，解得：， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴，解得：． 58．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点D落在点G处，分别交于点F、H，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形性质及判定，折叠问题等．根据题意设，则，证明，利用全等性质得到，在中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵长方形纸片中，沿折叠，点D落在点G处， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴在中应用勾股定理得：， 解得：， ∴， 故选∶D． 59．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，三角形纸片中，点是边上一点，把沿着直线翻折，得到，连接交于点，若，，的面积为，则的长为(　　)      A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，先由沿着直线翻折，得到，证明垂直平分，再由，根据勾股定理求得，再由，得，则，即可列面积等式求得，则，再根据勾股定理求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵沿着直线翻折，得到， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是， 故选：B． 60．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上)折叠，若点与点恰好重合，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、折叠问题 【分析】连接，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，证明，根据性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：连接，， ∵，的平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点与点恰好重合， ∴，, ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 垂直平分线、角平分线性质是转移线段的利器，见到就想到等长关系 · 倍长中线是构造全等的重要辅助线，牢记“延长—证全等—转移”三部曲 · 等腰三角形问题先想三线合一，再想分类讨论，避免漏解 · 勾股定理题先明确斜边，折叠与最短路径都靠“设未知数列方程” · 实数题注意平方根与立方根区别，估算用夹逼法写完整过程 【作业1】．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）在，，，，π，中，有理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】有理数的定义、实数的分类 【分析】本题考查有理数，实数的分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义求解． 【详解】解：在，，，，π，中 有理数有，，，共3个，，π，是无理数． 故选：C． 【作业2】．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）在3.14，，，，，等中，无理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】无理数 【分析】无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案； 【详解】解：，，是无理数； 故选：B 【点睛】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键． 【作业3】．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段检测）两根木棒分别长4cm，7cm，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形．如果第三根木棒的长是xcm，则x的值可能是（　　） A．1 B．3 C．5 D．12 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三条边的关系．根据三角形三条边的关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”即可求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 ，即， 观察四个选项，选项C符合题意． 故选：C． 【作业4】．（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中点，，，能与点，构成一个直角三角形的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键． 证明直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ， ∴直角三角形， ∴点符合题意， 故选：D． 【作业5】．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．无理数与无理数的和一定为无理数 B．一个数的算术平方根一定不比这个数大 C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D．实数可分为有理数和无理数 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、实数与数轴、实数概念理解 【分析】本题考查了无理数，实数，有理数，数轴等概念，熟练掌握这些概念是解题的关键； 根据实数的分类及实数与数轴的关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．无理数与无理数的和不一定还是无理数，有可能是有理数，，0是有理数，故此选项不符合题意； B．一个数的算术平方根有可能比这个数大，例如的算术平方根是，，故此选项不符合题意； C．数轴上的点和实数一一对应，故此选项不符合题意． D．实数可分为有理数和无理数，此说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【作业6】．（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 【作业7】．（25-26七年级下·山东济南·期末）已知是9的平方根，则的值是__________． 【答案】1或 【知识点】求一个数的平方根、平方根概念理解 【分析】根据平方根的定义得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：的平方根是，是的平方根， 或， 解得：或． 【作业8】．（17-18八年级下·四川·阶段检测）m、n为两个连续的整数，且，则______________ 【答案】17 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，解题的关键是先根据题意算出的取值范围． 先估算出的取值范围，得出、的值，进而可得出结论． 【详解】解：， ， ，， ． 故答案为：17． 【作业9】．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）用四舍五入法，将78950000精确到十万位得到近似值是________． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】先根据科学记数法将78950000转化为，再利用四舍五入法看万位数字，大于等于5的进1，即可求出答案． 【详解】解：78950000， 78950000精确到十万位得到的近似值是． 【作业10】．（25-26八年级上·江苏常州·阶段检测）用四舍五入法对31400取近似数，精确到千位__________． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】本题考查近似数，熟练掌握“四舍五入”是解题的关键．精确到千位即看百位能否进位即可． 【详解】解：对31400取近似数，精确到千位，百位上是4，根据“四舍五入”的原则，舍去即可， 故精确到千位是． 故答案为：． 【作业11】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）“苏超”总决赛现场观赛人数约为万，近似值万精确到_______位． 【答案】百 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了求近似数的精确度．近似值万可化为62300，其中数字3在百位上，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：近似值万表示实际人数为62300人，最后一位数字3位于百位， 因此精确到百位， 故答案为：百 【作业12】．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）2025年淮安市城市足球联赛冠军争夺赛淮阴区队工业园区队现场观看人数为24588人，将24588精确到千位所得的近似数为_________（用科学记数法表示）． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】本题考查了求一个数的近似数、科学记数法，科学记数法表示为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 将24588精确到千位，需看百位数字5，根据四舍五入规则进位，得25000，再用科学记数法表示即可． 【详解】解： 故答案为：． 【作业13】．（2024·广东·模拟预测）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是______． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得，即得，进而得，据此即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业14】．（25-26八年级上·全国·课堂练习）如图，在门上方离地面的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该灯及内，灯就会自动发光．小明身高，他走到点D处时（即），灯刚好发光，则___________． 【答案】4 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练地掌握勾股定理．过点C作于点E，则人离墙的距离为， 在中，根据勾股定理列式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，传感器A距地面的高度为，人高， 过点C作于点E，则人离墙的距离为， 由题意可知，， 当人离传感器A的距离时，灯发光． 此时，在中，根据勾股定理可得， ， ∴， ∴， 即人走到离墙远时，灯刚好发光． 故答案为：． 【作业15】．（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，点是等边三角形内一点，若，，，则______． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，作等边三角形，连接，作交的延长线于点N，证明得证明是直角三角形，得由勾股定理求出即可． 【详解】解：作等边三角形，连接，作交的延长线于点N， ∵为等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴, ∴是直角三角形，且 ∴ 在中， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∵ 故答案为：． 【作业16】．（23-24九年级上·江苏·期末）在中，． (1)求的长； (2)求的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理： （1）过点B作于点D，根据直角三角形的性质可得，再由是等腰直角三角形，即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，可得的长，再由三角形的面积公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点D， 在中， ， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：在中，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【作业17】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，点，分别在，上，，相交于点． (1)判断与是否相等，并证明你的结论； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 解：与相等，理由如下： ∵， ∴； ∵， ∴； (2) 【知识点】全等三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质、含30度角的直角三角形，熟记相关结论即可； （1）由得，结合可得； （2）由题意得，推出；根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【作业18】．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 【作业19】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，通过计算说明道路被监控到的最大范围为几千米． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：连接， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， 是直角三角形，， ； （2）解：过点作于，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质，得：，， 由（1）知，， ， 是等腰直角三角形，， ∴， ， ， 被监控到的道路长度为． 【作业20】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，D是的中点，过点D的直线交于F，交的平行线于点G，，交于点E，连接，．请你判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】 解：，理由如下： ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用证明，得到，，再利用证明，得到，再利用三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】略 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二·期中综合复习·培优提升讲义（三角形实数勾股定理） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握线段垂直平分线、等腰三角形、三角形中线等性质的灵活运用，解决周长与最值问题 · 综合运用全等三角形的多种判定方法，掌握倍长中线、旋转等常见辅助线模型 · 能进行平方根、立方根与实数混合运算，掌握无理数估算、数轴表示等进阶方法 · 灵活运用勾股定理及其逆定理解决折叠、最短路径、实际应用等问题 · 掌握尺规作图的原理（角平分线、垂直平分线）与全等判定方法的综合运用 📚 知识梳理 ☆ 1.实数的运算与估算 平方根、立方根混合运算：先化简根式（开得尽的开出来），再合并同类根式 无理数估算的进阶：夹逼法结合完全平方数、立方数确定整数部分与小数部分 数轴与实数：实数与数轴一一对应，利用数轴位置判断绝对值化简、比较大小 近似数：四舍五入到指定数位，科学记数法 a×10n（1≤|a|<10）与精确度对应 概念辨析例题：已知 的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a-b 的值。 答案：5- 解析：因为 9<13<16，所以 3<<4，整数部分 a=3，小数部分 b=-3，故 a-b=3-(-3)=6-。 ☆ 2.全等三角形的判定与综合 全等判定综合：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 灵活选择，SSA 不能判定全等 倍长中线模型：延长中线至 2 倍构造全等，转移线段与角，再结合三边关系求范围 一线三垂直、旋转构造全等是常见辅助线模型，注意对应边对应角的准确找法 动点全等问题：用速度×时间表示线段，按对应顶点分类讨论列方程 概念辨析例题：在 △ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是 BC 边上的中线，求中线 AD 的取值范围。 答案：1<AD<4 解析：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 CE，则 △ABD≌△ECD，CE=AB=5。在 △ACE 中，5-3<AE<5+3，即 2<2AD<8，故 1<AD<4。 ☆ 3.等腰三角形与垂直平分线 等腰三角形：等边对等角、等角对等边、三线合一，注意分类讨论腰与底边 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可把分散线段转化到同一边 角平分线与垂直平分线综合：角平分线性质+垂直平分线性质联合转移线段 最短路径：作对称点化折为直，两点之间线段最短，勾股定理求具体长度 概念辨析例题：如图，在 △ABC 中，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，垂足为 E，若 △ACD 的周长为 12，AC=5，求 AB 的长。 答案：7 解析：由垂直平分线性质得 DB=DC，故 △ACD 周长 = AC+CD+AD = AC+DB+AD = AC+AB = 12，所以 AB=12-5=7。 ☆ 4.勾股定理及其应用 勾股定理：a2+b2=c2；逆定理判定直角三角形，常与全等、等腰结合 折叠问题：折叠前后对应边相等，设未知数在直角三角形中用勾股定理列方程 最短路径：圆柱、长方体侧面展开，化立体为平面，两点间线段最短 实际应用（云梯、绳索、信号覆盖）：先构造直角三角形，再列式计算 概念辨析例题：如图，长方形纸片 ABCD 中，AB=8，BC=10，将 △ABC 沿 AC 折叠，使 B 落在 E 处，求 AE 与 CE 的长度关系并求折叠后重叠部分面积。 答案：AE=AB=8，CE=CB=10，重叠面积=30 解析：折叠后 △AEC 与 △ABC 全等，AE=AB=8，CE=CB=10。设 AF=x（F 为 AE 与 CD 交点），DF=8-x，在 Rt△ADF 中，DF2+AD2=AF2，即 (8-x)2+64=x2，解得 x=8，与折叠条件结合可求重叠面积。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 倍长中线 延长中线至2倍构造全等 转移线段后结合三边关系 全等判定 SSS/SAS/ASA/AAS/HL SSA 不能判定全等 垂直平分线 点到线段两端距离相等 转移线段求周长 等腰三角形 等边对等角、三线合一 注意腰与底分类讨论 最短路径 对称化折为直 两点之间线段最短 勾股应用 折叠、展开、实际模型 先构造直角三角形 ⚠️ 核心考点 【考点1】线段垂直平分线 · 垂直平分线上的点到线段两端距离相等，直接转移线段求周长或长度 · 垂直平分线性质常与角平分线、等腰三角形联合使用 · 尺规作垂直平分线原理：SSS 全等确定垂直平分线上的点，两点确定直线 · 遇中垂线找等长线段，把分散条件集中到同一三角形中 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，连接，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．若的周长为23，，则的周长为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 3．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知的周长为，边的垂直平分线分别交，于点，，连接．若，则的周长为___． 5．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，作直线，交于点若的周长为11，，则的长为______． 6．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，求的周长． 7．（25-26八年级上·北京·期中）如图，已知，的角平分线与边的垂直平分线交于点，连接，． (1)依题意补全图形，要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； (2)若，求的度数． 【考点2】等腰三角形 · 等边对等角、等角对等边互相转化，证明等腰或求角常用 · 三线合一：作底边高线可得中点与角平分线，常用于求高、面积 · 等腰三角形分类讨论：腰与底边、顶角与底角两种情形 · 等腰与平行线结合：内错角、同位角相等推出等角，进而等边 8．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 9．（25-26八年级上·北京·期中）如图，直线，直线与直线，分别交于点，．点在线上，且．若，则______（用含的式子表示）． 10．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）已知的两条边长分别为2和5，若为等腰三角形，则第三边c的值是______． 11．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示，等腰三角形的底边为，腰长为，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以的速度移动，当P运动________秒时，是直角三角形．      12．（20-21七年级下·江苏徐州·期中）已知．试求： (1)代数式的值； (2)以、为边的等腰三角形的周长． 【考点3】三角形的高、中线与三边关系 · 中线把三角形面积平分；三角形中线交点（重心）分中线 2:1 · 三边关系：|a-b|<c<a+b，求第三边范围或判断能否组成三角形 · 钝角三角形作高注意在延长线上作垂线 · 面积问题用等高三角形面积比等于底边比转化 13．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）中，是边的中线，且的长度为奇数，，则等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 14．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段检测）在中，是钝角，下列图中画边上的高线正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   15．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，E是中线的中点．若的面积是3，则的面积是 ____． 16．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，的面积为2018，点D，E分别在，上，且，，与交于F，当的面积不大于100时，则自然数n的最小值为______． 17．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）画图并填空，如图：方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸中将经过一次平移后得到．图中标出了点D的对应点． (1)请画出平移后的； (2)若连接、，则这两条线段之间的位置关系是____________； (3)线段扫过的面积为____________． 【考点4】全等三角形的判定与性质 · 综合判定：根据已知条件选最直接方法，隐含条件（公共边、对顶角）先找 · HL 判定直角三角形全等，注意只在直角三角形中使用 · 全等性质用于转移线段、角，构建等腰、垂直等新结论 · 动点全等：设运动时间表示线段，按对应顶点分类列方程 18．（24-25八年级下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 19．（22-23八年级上·山西运城·期末）如图，，下列等式不一定正确的是（  ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知，，添加一个条件______ 判定． 21．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，，与相交于点，若，，则的长为______． 22．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知是的平分线，，若的面积为，则的面积 __________． 23．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图如果点P在射线OC上，，，垂足分别为D，E，，若，______．    24．（江苏省八年级上学期期中真题必刷基础60题（30个考点专练）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版））如图，某同学不小心把一块三角形玻璃碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 ___________块（填“”、“ ”或“” ． 25．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为_________． 26．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，，垂足为，，垂足为，与交于点，，，则的长为_____． 27．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，于点，于点，交于点，已知，，则的长为______．    28．（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 29．（11-12七年级下·江苏·阶段检测）已知：，，试说明：． 30．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在△ABC中，，直线l经过顶点C，分别过A，B两点作l的垂线，，E，F为垂足，． (1)求证： (2)求证：． 31．（23-24七年级下·全国·暑假作业）如图，为的中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点．试说明：． 32．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）如图1，是中边上的高，点D是上一点，连接交于点F，． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，延长至点G，连接，，若，，求线段的长． 33．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，点为边上一点，连接，． ①若平分，平分，则的度数为； ②若，点为边的中点，求证：； 【问题解决】 （2）如图②，某工程队需要在，两棵树的前方建立一座八角亭．按如下方法选址：如图，甲工人从点直走到树处，然后向右转后再直走一段路到点处；且；乙工人从点直走到树处，然后向左转后再直走一段路到点处，且．工程队队长打算把八角亭建在的中点处．过几天，工程队带着建筑材料来施工，却发现忘记标记起始点，智慧的队长想出了办法，他的作法如下： ①连接，取的中点； ②过点作且，从而找到点． 你觉得队长的方法对吗？为什么？ 【考点5】全等综合与探究 · 新定义题先理解定义，把新概念转化为全等、等腰等已知模型 · 多问综合题：利用前面结论作为后面条件，层层推进 · 探索性问题（SSA 何时全等）需分类讨论并构造反例 · 辅助线优先考虑倍长中线、截长补短、旋转构造全等 34．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）在学习“关于三角形全等的条件”时，我们知道“两边和一角分别相等”包括两种情况：如果这个角是两边的夹角，那么可以通过“”判定两个三角形全等；如果这个角是其中一组等边的对角，那么这两个三角形不一定全等．小明学完之后有个疑惑，“不一定全等”究竟怎么判别呢？聪明的你请给小明做出解释：什么情况下可以全等，并给出证明；什么情况下不能全等，并画出反例． 35．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”． (1)下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______________（填序号） ①腰上的高；②底边上的中线；③底角的平分线． (2)如图1，在四边形中，为的中点，取中点，连接． 求证：是的“周长平分线” (3)在（2）的基础上，分别取的中点，如图2．请在上找点，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线” ①用无刻度直尺确定点的位置（保留画图痕迹）； ②若，直接写出的长． 【考点6】角平分线与尺规作图 · 角平分线性质：点到角两边距离相等，作垂线构造等距 · 尺规作角平分线原理：SSS 全等证明两边三角形全等 · 内心（三条角平分线交点）到三边距离相等，可用面积法求周长 · 角平分线+面积：S=×周长×内切圆半径（内心到边距离） 36．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 37．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）在中，，，，用尺规作图的方法作线段和线段，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则的周长是（    ）    A．3 B． C． D．6 38．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，的面积是15，分别平分和于D，且，则的周长是______． 【考点7】平方根、立方根与实数运算 · 平方根解方程：x2=a → x=±，注意检验是否有意义 · 立方根解方程：x3=a → x=∛a，结果唯一 · 混合运算先化简绝对值、根式，再合并；注意负数的立方根为负 · 已知平方根/立方根求参数：利用相反数性质或代入验证 39．（2024·甘肃天水·三模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 40．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 41．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）（1）计算：     （2）解方程：． 42．（24-25七年级下·福建福州·阶段检测）求下列各式中的值： (1)； (2)． 43．（25-26八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 44．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）若的平方根是，的立方根为，c是的整数部分，求的值． 45．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）解下列方程： (1)； (2) 【考点8】无理数估算与数轴 · 夹逼法：找相邻完全平方数/立方数确定范围，进一步求整数部分 · 两个连续整数之间夹无理数：如 m<<m+1，则介于 m 和 m+1 · 数轴表示实数：利用勾股定理在数轴上构造 的位置 · 数轴比较大小：右>左，结合绝对值化简判断符号 46．（2026·江苏南通·中考真题）实数介于两个相邻的整数之间，这两个整数是（     ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 47．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知，其中是整数，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 48．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，数轴上的点A，B，C分别对应实数a，b，c．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 49．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知n为整数，且，则n等于________． 50．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段检测）已知两个正方形的边长分别是，且满足． (1)如图①，，数轴上点A对应的是m，n中的 ；（填m或n） (2)请在图②的数轴上找到另一个数对应的点． 【考点9】勾股定理及其逆定理 · 直角三角形求边：a2+b2=c2，已知两边求第三边用开方 · 勾股逆定理：三边满足 a2+b2=c2 即直角（c 为最长边） · 网格中判断直角三角形：用勾股定理算三边再验证逆定理 · 构造图形问题：把代数式的最小值转化为两线段和最短 51．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年－公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，则此勾股形的面积为（    ） A．28 B．30 C．32 D．36 52．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，圆柱形容器高，底面周长，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，3秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是_____． 53．（2025八年级上·全国·专题练习）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长_____尺． 54．（23-24八年级上·四川成都·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是______． 55．（23-24八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为，点都在格点上．    (1)求四边形的周长和面积？ (2)是直角吗？为什么？ 56．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，四边形中，，，，，． (1)判断是否是直角，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【考点10】勾股定理综合应用 · 折叠问题设未知数，在直角三角形中列勾股方程求解 · 含30°直角三角形：30°所对直角边等于斜边一半，配合勾股求边 · 实际应用（云梯、绳索、滑落）：画直角三角形，勾股列式 · 最值问题：展开侧面或作对称点，化曲为直后用勾股求最短距离 57．（25-26八年级下·广东深圳·期末）将一副直角三角板如图放置，，，作的平分线交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 58．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点D落在点G处，分别交于点F、H，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 59．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，三角形纸片中，点是边上一点，把沿着直线翻折，得到，连接交于点，若，，的面积为，则的长为(　　)      A． B． C． D． 60．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上)折叠，若点与点恰好重合，则度数为（    ） A． B． C． D． 💯 课后巩固 复习建议 · 垂直平分线、角平分线性质是转移线段的利器，见到就想到等长关系 · 倍长中线是构造全等的重要辅助线，牢记“延长—证全等—转移”三部曲 · 等腰三角形问题先想三线合一，再想分类讨论，避免漏解 · 勾股定理题先明确斜边，折叠与最短路径都靠“设未知数列方程” · 实数题注意平方根与立方根区别，估算用夹逼法写完整过程 【作业1】．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）在，，，，π，中，有理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【作业2】．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）在3.14，，，，，等中，无理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【作业3】．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段检测）两根木棒分别长4cm，7cm，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形．如果第三根木棒的长是xcm，则x的值可能是（　　） A．1 B．3 C．5 D．12 【作业4】．（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中点，，，能与点，构成一个直角三角形的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【作业5】．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．无理数与无理数的和一定为无理数 B．一个数的算术平方根一定不比这个数大 C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D．实数可分为有理数和无理数 【作业6】．（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【作业7】．（25-26七年级下·山东济南·期末）已知是9的平方根，则的值是__________． 【作业8】．（17-18八年级下·四川·阶段检测）m、n为两个连续的整数，且，则______________ 【作业9】．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）用四舍五入法，将78950000精确到十万位得到近似值是________． 【作业10】．（25-26八年级上·江苏常州·阶段检测）用四舍五入法对31400取近似数，精确到千位__________． 【作业11】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）“苏超”总决赛现场观赛人数约为万，近似值万精确到_______位． 【作业12】．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）2025年淮安市城市足球联赛冠军争夺赛淮阴区队工业园区队现场观看人数为24588人，将24588精确到千位所得的近似数为_________（用科学记数法表示）． 【作业13】．（2024·广东·模拟预测）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是______． 【作业14】．（25-26八年级上·全国·课堂练习）如图，在门上方离地面的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该灯及内，灯就会自动发光．小明身高，他走到点D处时（即），灯刚好发光，则___________． 【作业15】．（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，点是等边三角形内一点，若，，，则______． 【作业16】．（23-24九年级上·江苏·期末）在中，． (1)求的长； (2)求的面积．（结果保留根号） 【作业17】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，点，分别在，上，，相交于点． (1)判断与是否相等，并证明你的结论； (2)若，，，求的长． 【作业18】．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【作业19】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且． (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，通过计算说明道路被监控到的最大范围为几千米． 【作业20】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，D是的中点，过点D的直线交于F，交的平行线于点G，，交于点E，连接，．请你判断与的大小关系，并说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $