第二章 实数初步认识全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 聚焦实数核心概念，以“定义辨析-参数计算-运算应用-综合拓展”为逻辑主线，覆盖8类高频题型，强化抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义辨析|6题|判断正误/概念辨析|从平方根、算术平方根、立方根定义出发，构建概念认知基础| |求参数|5题|利用平方根性质列方程|衔接定义与代数运算，培养推理意识| |开方解方程|5题|直接开方法解一元二次方程|深化运算能力，体现概念应用价值| |估算无理数|4题|结合阅读材料求整数/小数部分|发展数感，建立无理数与有理数联系| |实数与数轴|3题|正方形面积与数轴表示|渗透几何直观，实现数形结合| |大小比较|4题|直接比较/平方比较|强化运算能力，掌握比较策略| |小数点规律|7题|探究平方根/立方根小数点移动|培养规律探究能力，体现数学思维| |近似数|4题|精确度与有效数字判断|联系实际应用，发展应用意识|

第二章 实数初步认识全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1·平方根、算术平方根、立方根定义辨析 题型2·利用关系求参数 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1·平方根、算术平方根、立方根定义辨析 1．的值是（     ） A． B． C．3 D． 2．有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 4．下列语句中，正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是2 5．下列说法正确的是（    ） A． B．0既没有平方根也没有立方根 C．的立方根是 D．的平方根是 6．以下说法正确的是（    ） A．是的一个平方根 B． C．±3是27的立方根 D． ◆题型2·利用关系求参数 7．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A． B． C． D． 8．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．若的算术平方根是2，是27的立方根，则的值为（   ） A． B． C． D．0 10．若，则的值是（   ） A．12 B．12或4 C．12或 D．或4 11．若，则的平方根是______． ◆题型1 开方解方程 1．求式子中的x：． 2． 3．利用平方根的意义求下列各式中的． (1)； (2)． 4．求的值： (1)； (2)． 5．求下列各式中x的值： (1)； (2)． ◆题型2估算无理数，求整数部分、小数部分 6．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 7．阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 8．综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数． 无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ，，，， 的整数部分是2，小数部分是． (1)的整数部分是_________； (2)为的小数部分，为的整数部分，求的值； (3)已知，其中是一个正整数，，求的值． 9．阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． ◆题型3实数与数轴综合 10．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与表示的点重合，那么点在数轴上表示的数为_____________． 11．如图，教材有这样一个探究：把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于两点，那么点表示的数为____； (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的面积是______，边长_____；如图，请借鉴（）中的方法在数轴上找到点，使点P所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 12．观察图，每个小正方形的边长均为．可以得到每个小正方形的面积为．      (1)图中阴影正方形的面积为_____，阴影正方形的边长为_____． (2)阴影正方形的边长介于两个相邻整数_____和_____之间． (3)利用图1，请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数． (4)请在图2的的方格内作出边长为的正方形． ◆题型4实数大小比较 13．比较大小：_____3．（选填“”“”或“”） 14．比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 15．比较大小：________．（填写“”或“”） 16．比较大小：______．（填“”“”或“”） ◆题型5平方根，立方根小数点移动规律 17．已知，，那么________； 18．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 19．利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … … 根据以上规律，若，，则____________． 20．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 21．小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 22．已知，则_______________． 23．已知，，，，，则_____，_____． ◆题型6近似数精确度 24．近似数精确到______位，它有______个有效数字． 25．近似数万精确到_____位． 26．用四舍五入法得到的近似数精确到_________． 27．田畴吐绿，气象万千，2025年上半年，甘肃省第一产业增加值达到410.05亿元，同比增长，延续了稳健增长态势410.05亿这个数精确到________． 1．如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 2．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 3．如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 4．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为（   ） A． B． C． D． 5．若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上述规律，第个等式（   ） A． B． C． D． 7．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 8．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 9．如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 10．观察下列各式：，，，，按照此规律，第8个等式是_____． 11．规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为______． 12．如图，通过画边长为的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为_____．（结果保留根号） 13．综合与实践 一、教材理解： (1)如图1，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到如图2一个面积为2的大正方形 ，它的边长为________．据此我们得到一种在数轴上表示无理数的方法：如图3以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，则与正半轴交点表示的数为________； 二、深入思考： 如图4，怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形剪拼成一个大正方形？小红经过思考在网格（单位长度是1）中得到如图5剪拼方式； (2)如图6，小红根据图5剪拼结果利用该网格，在数轴上以_________为圆心，以_________为半径画弧，则与正半轴交点表示的数是_________； 三、动手操作： (3)如图7，现有13个边长均为1的小正方形，请将它们剪拼成一个大正方形，并在图7中用虚线画出剪裁方案，同时在图8网格中画出拼接完成后的大正方形； (4)若利用网格（单位长度是1），在数轴上，以原点为圆心，该大正方形的边长为半径画圆弧，圆弧与数轴负半轴交点所表示的数为_______，并请你在图9中画出找到点过程中使用的那条半径． 14．解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为 的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为 的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数初步认识全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1·平方根、算术平方根、立方根定义辨析 题型2·利用关系求参数 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1·平方根、算术平方根、立方根定义辨析 1． 【答案】C 【详解】解：． 2． 【答案】C 【分析】根据若，则是的平方根，其中非负的平方根是的算术平方根，负数没有平方根，逐一判断各说法即可得出正确结论． 【详解】解：① ，， 是的一个平方根，①正确； ② ，49的算术平方根是， 不是的算术平方根，②错误； ③ ， 的平方根是，③正确； ④ 负数没有平方根，， 没有平方根，④错误； ⑤ 的算术平方根是，⑤错误； ⑥ ，，的平方根为，⑥正确； ⑦ 的平方根是，只有0的平方根等于本身，⑦错误； 综上，正确的说法共3个． 3． 【答案】D 【分析】本题需要先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解，注意明确需要求算术平方根的对象是的运算结果． 【详解】解：，， ∴的算术平方根等于2． 4． 【答案】D 【分析】根据算术平方根和平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、在实数范围内，负数没有算术平方根，即无意义，原说法错误，不符合题意； B、的平方根是，原说法错误，不符合题意； C、的算术平方根是2，原说法错误，不符合题意； D、的算术平方根是2，原说法正确，符合题意． 5． 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根的定义，根据定义逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：∵表示100的算术平方根，结果为非负数， ∴，A选项错误． ∵的平方根是，的立方根也是， ∴B选项错误． ∵，的立方根是， ∴的立方根是，C选项正确． ∵，的平方根是， ∴的平方根是，D选项错误． 故选：C． 6． 【答案】A 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根的定义，根据相关定义逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A，，是的一个平方根，该选项说法正确． 对于选项B，表示的算术平方根，，原计算错误，该选项不符合题意． 对于选项C，，的立方根是，原说法错误，该选项不符合题意． 对于选项D，，原计算错误，该选项不符合题意． ◆题型2·利用关系求参数 7． 【答案】D 【分析】先根据一个正数的两个平方根分别是和，列出关于a的方程，求出a的值，然后求出其中一个平方根，最后求出这个正数即可． 【详解】解：∵和是一个正数的两个平方根， ∴与互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴这个正数为． 8． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方根的知识，熟练根据正数的平方根互为相反数列方程求解是解题的关键．根据正数的平方根互为相反数列方程求解即可． 【详解】解：∵正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 解得：． 故选：A． 9． 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义求出的值，再根据立方根的定义求出的值，最后代入计算结果，选出对应选项． 【详解】解：的算术平方根是， ， ． 是的立方根， ， ， ． ． 10． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根与立方根，求代数式的值，根据平方根与立方根的概念求出a与b的值是解题的关键；由可求得，再代入求值即可． 【详解】解：∴， ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值是12或4； 故选：B． 11． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴9的平方根是． ◆题型1 开方解方程 1． 【答案】或 【详解】解： 或 解得或． 2． 【答案】， 【详解】解： ， ， 开平方得， 即或， 解得，． 3． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查平方根的定义，如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根或二次方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数： （1）根据平方根的定义即可求得答案； （2）根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：移项，得 根据平方根的定义，得 或； （2）解：系数化为，得 根据平方根的意义，得 或 所以或． 4． 【答案】(1) , (2) 【分析】（1）移项，根据得到或，由此即可求解； （2）原式变形得，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ∵， ∴， 解得，． 5． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得或． ◆题型2估算无理数，求整数部分、小数部分 6． 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为． （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故． 7． 【答案】(1) (2)取无理数（答案不唯一），理由如下： ，，， ， ，的小数部分为， 的整数部分为，的小数部分为， 二者小数部分相等，符合要求． (3) 【分析】（1）通过平方数估算无理数取值范围，确定整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）利用“无理数加整数后小数部分不变”构造同小数部分的无理数； （3）分别表示出两个代数式的小数部分再相加，最后计算和的平方根． 【详解】（1）解：，，， ， ， 的整数部分为， 的小数部分为； （2）略 （3）解：， ，， 的整数部分为，的整数部分为， ，， ， 的平方根为． 8． 【答案】(1)3； (2)1； (3)19 【分析】（1）根据阅读材料解答即可； （2）根据阅读材料分别求得a和b的值，然后代入计算即可； （3）根据，可知，结合题意可求得x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的整数部分是3； （2）解：，，， ， 的小数部分是，即， ，，， ， 的整数部分是2，即， ； （3）解：由（2）得，， ∴， ∵，其中x是一个正整数，， ， ∴． 9． 【答案】(1)3，3 (2) 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据文中的方法求解即可； 【详解】（1）解：∵，即； ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，即； ∴ 故的整数部分是15，小数部分是； 故； 故． ◆题型3实数与数轴综合 10． 【答案】(1)这个魔方的棱长为2 (2)阴影部分的面积为，边长为 (3) 【分析】（1）设这个魔方的棱长为，根据正方体的体积公式列方程，利用立方根解方程即可； （2）根据魔方的棱长，得到每个小立方体的棱长，进而得到每个小正方形的面积，再由魔方的一面的面积的一半，求出阴影部分的面积，再结合正方形面积公式，即可求出边长； （3）由（2）可知正方形边长为，用点表示的数减去边长求解即可． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为，则， 解得：， 即这个魔方的棱长为2； （2）解：∵魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为， 每个小正方形的面积都为， 魔方的一面的面积为， 阴影部分的面积， ∵正方形的面积为， 它的边长为； （3）解：由（2）可知正方形边长为， ， ∵点A与重合， 点D在数轴上表示的数为． 11． 【答案】(1) (2) (3)， 如解图所示： 【分析】（）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长； （）依据图中小正方形对角线长为，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数为； （）先通过割补法计算出阴影正方形的面积为，从而得到其边长为；再构造长度为的线段，在数轴上画出表示的点． 【详解】（1）解：∵正方形面积等于边长的平方，已知大正方形面积为， ∴边长为​， 由题意，大正方形边长就是小正方形对角线长，因此小正方形对角线长为； （2）解：圆心在数轴上表示的点，半径为正方形对角线长， 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与之间的距离为， ∴点在圆心左侧， 因此点表示的数为； （3）解：用割补法求阴影面积：外围大正方形边长为，面积； 四周有个全等的直角三角形，每个直角三角形直角边为和，面积和， 因此阴影正方形面积， 正方形面积等于边长平方，因此边长， 作图步骤（对应图）： 以数字所在的点为圆心，沿数轴向右取个单位，过该点作数轴垂线向上截取单位，连接所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点 12． 【答案】(1)； (2)； (3)点、点即为所求； (4)正方形即为所作． 【分析】（1）根据网格构造直角三角形，利用各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （3）利用图的结论，作出，再以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点即可； （4）根据算术平方根的意义求出正方形面积，再由网格画出正方形即可． 【详解】（1）解：∵每个小正方形的边长均为， ∴， ∴阴影正方形的边长为． 故答案为：；； （2）∵，，， ∴， 即， 故答案为：；； （3）由（1）知：阴影正方形的边长为，它的相反数是， 如图，设原点为点，作长为，宽为的长方形，以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点， ∴，点所表示的数是，点所表示的数是； （4）如图，取格点、、、，再顺次连接， 由（1）知：四边形为正方形， ∵每个小正方形的边长均为， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， 则正方形即为所作． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，正方形的面积及等积变换等知识点，理解算术平方根的定义是解题的关键． ◆题型4实数大小比较 13． 【答案】 【分析】两个正数比较大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小得到原数的大小关系． 【详解】解： ，，且 ，， ∵， ∴． 14． 【答案】 【分析】将整数化为立方根形式，通过比较被开方数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 15． 【答案】 【分析】利用作差法进行大小比较即可． 【详解】， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 【答案】 【详解】解：两个分数的分母均为，且，因此只需比较分子与的大小， ∵，， ∴， ∴， ∴. ◆题型5平方根，立方根小数点移动规律 17． 【答案】 【详解】解：因为 所以 18． 【答案】 【分析】根据数阵中数字的特点总结规律求解即可． 【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根， 且第1行的第1个数是1的算术平方根，而， 第2行的第1个数是3的算术平方根，而， 第3行的第1个数是7的算术平方根，而， 第4行的第1个数是13的算术平方根，而， …… 第8行的第1个数是的算术平方根，即， 第6个数是的算术平方根，即． 19． 【答案】 【分析】通过观察表格数据，得到被开方数小数点移动与算术平方根小数点移动的对应规律，再运用规律计算即可得到结果． 【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位， ，且是的小数点向左移动两位得到的， ． 20． 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 21． 【答案】D 【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题. 【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位； ∵，且是将的小数点向右移动三位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即. 22． 【答案】 【分析】根据立方根的性质，被开方数的小数点每向左（向右）移动3个数位，立方根向左（向右）移动1个数位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． 23． 【答案】 1.285 2.342 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出a的值，根据被开方数小数点向左移动三位，其立方根的小数点就向左移动一位即可求出b的值． 【详解】解：， 故答案为：1.285；2.342 ◆题型6近似数精确度 24． 【答案】 万分 四 【详解】解：近似数精确到万分位，它有四个有效数字． 25． 【答案】百 【分析】确定近似数的精确度，需先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再看近似数的末位数字实际在哪一位，即为精确到哪一位． 【详解】解：， 14200中近似数1.42的末位数字2，对应原数中的百位，因此近似数1.42万精确到百位． 26． 【答案】千位 【分析】本题考查近似数的精确度．科学记数法表示的近似数，其精确度由系数最后一位数字所在的数位决定，据此进行解答即可． 【详解】解：， 系数最后一位数字0对应千位， 故精确到千位． 故答案为：千位． 27． 【答案】百万位 【分析】此题考查精确度，正确掌握相关知识点是解题关键． 数字410.05亿是以亿为单位的数，小数部分0.05亿对应绝对数值的百万位，因此精确到百万位． 【详解】解：∵ 1亿 ， ∴0.01亿 百万． ∴ 0.05亿 百万． 故410.05亿精确到百万位． 故答案为：百万位． 1． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出已知两个正方形的边长，结合图形观察出三个正方形边长的大小关系，从而确定中间正方形边长的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， 正方形的边长，正方形的边长， 设正方形的边长为，由图可知，点在线段上，点在线段上， ，即， ，，， 选项均不符合题意， ， ， 正方形的边长可以是，选项 D  符合题意． 2． 【答案】D 【分析】经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为，从而得出答案． 【详解】解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有个数，且第n行的第n个数为， ∴第2021行从左向右数第2021个数是2021， ∴第2021行从左向右数第2020个数是． 3． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，算术平方根的应用，利用面积法求出的长并熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 根据A、B、C、D为的方格各边中点可得正方形的面积等于的方格面积的一半，即可求出的长，点在原点右侧且到原点的距离为1个单位可得点A表示的数，根据数轴上两点间距离公式即可求出点E表示的数． 【详解】解：∵A、B、C、D为的方格各边中点， ∴正方形的面积等于的方格面积的一半， ∴， ∴， ∵点在原点右侧且到原点的距离为1个单位， ∴点A表示的数为1， ∵， ∴， ∵点E在点A左侧， ∴点E表示的数为， 故选：B． 4． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，理解“调日法”的算法规则是解题关键，按照规则依次进行三次计算即可得到结果． 【详解】解：∵． ∴第一次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第二次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第三次使用“调日法”得． ∴使用三次“调日法”得到的近似分数为， 故选：C． 5． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的比较大小，根据题目给出的数据采取统一乘方是解题的关键．分别求6次方比较幂的大小得出结论． 【详解】解：∵m，n，k都是正数，分别求它们的6次幂， ∴，，， ∵， 即， ∴． 故选：A． 6． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的规律、算术平方根等知识点，从已有式子中发现规律是解题的关键． 直接根据已有式子和算术平方根归纳规律即可． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， …… 第n个等式：． 故选：D． 7． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】解：，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选B． 8． 【答案】B 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为2﹣6， ∴一个空白长方形面积=， ∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3， ∴大正方形边长=，重叠部分边长=， ∴空白部分的长=， 设空白部分宽为x，可得：，解得：x=， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=， ∴小正方形面积==10， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键． 9． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义和非负数的性质求出x、y的值，然后求出的值，最后根据的算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 的算术平方根是1． 10． 【答案】 【分析】观察已知等式中各部分的数字特征，归纳出一般性规律，即可得到第8个等式． 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， 第个等式：， ∴第8个等式为：． 11． 【答案】4 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，涉及算术平方根和取整运算，根据定义，逐步计算2025的算术平方根并取整，直到结果为1． 【详解】解：对2025进行操作： 第一次操作，； 第二次操作，； 第三次操作，； 第四次操作，， 故进行了4次操作后变为1， 故答案为：4． 12． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据勾股定理可得，经过逐步推理计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 且右侧最近的整数点为， 表示的数是， ， 表示的数是． 且右侧最近的整数点为， 表示的数是， ， 表示的数是． 故答案为：． 13． 【答案】(1)； (2)点；； (3)， (4)； 【分析】（1）利用正方形面积公式运算求解即可； （2）利用正方形面积公式求出正方形的边长，再根据图6的信息解答即可： （3）在拼接的过程中，需要用到个一样的直角三角形，利用这个原理划分三角形即可； （4）利用正方形面积公式求出正方形的边长，作图解答即可． 【详解】（1）解：∵图2大正方形的面积为：， ∴图2大正方形的边长为：； ∵图3以单位长度为边长画一个正方形， ∴图3正方形面积 利用两个图3正方形进行如图所示拼接： 则此时图形的面积为图3正方形面积的两倍：， 此时图形的边长为：， 即图3正方形的对角线长度为：； （2）解：∵图中一共有个正方形， ∴图正方形面积为：， ∴图正方形的边长为：， ∴小红根据图剪拼结果利用该网格，在数轴上以为圆心，以为半径画弧，则与正半轴交点表示的数是； （3）∵在拼接的过程中，需要用到个一样的直角三角形， ∴如图所示裁剪即可： 拼接完成后的大正方形： （4）解：∵图中一共有个正方形， ∴图正方形面积为： ∴图正方形的边长为： ∴由题意作图可得： ∴圆弧与数轴负半轴交点所表示的数为：． 14． 【答案】(1) ，  a (2) ， 3 (3) 不能剪出，理由如下： 面积为的大正方形，边长为， 而（2）中卡纸的长为， 计算得：， 若卡纸需沿大正方形卡纸的边的方向剪出， 则卡纸的长和宽都必须小于大正方形的边长才能剪出， ∵卡纸的长为，大于， ∴卡纸不能按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出． 【分析】本题考查了图形的折叠，实数的计算． （1）根据折叠的特点可知小正方形的对角线是大正方形的边长，作答即可； （2）设卡纸宽为，根据折叠的特点可知第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合，即可作答即可； （3）确定出卡纸的长与大正方形的边长的大小，即可判定． 【详解】（1）解：∵小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴当小正方形卡纸边长均为时，大正方形的边长为； ∵大正方形的边长为，小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴小正方形卡纸边长均为：； （2）设卡纸宽为，如下图， 根据折叠可知：第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合， 根据正方形的特点，可得第一次的折痕长度为：，即卡纸的长边长为：， ∵卡纸的面积为 ， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴卡纸的长边为：， 故答案为： ， 3； （3）略． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数初步认识全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1·平方根、算术平方根、立方根定义辨析 题型2·利用关系求参数 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1·平方根、算术平方根、立方根定义辨析 1．的值是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：． 2．有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据若，则是的平方根，其中非负的平方根是的算术平方根，负数没有平方根，逐一判断各说法即可得出正确结论． 【详解】解：① ，， 是的一个平方根，①正确； ② ，49的算术平方根是， 不是的算术平方根，②错误； ③ ， 的平方根是，③正确； ④ 负数没有平方根，， 没有平方根，④错误； ⑤ 的算术平方根是，⑤错误； ⑥ ，，的平方根为，⑥正确； ⑦ 的平方根是，只有0的平方根等于本身，⑦错误； 综上，正确的说法共3个． 3．的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题需要先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解，注意明确需要求算术平方根的对象是的运算结果． 【详解】解：，， ∴的算术平方根等于2． 4．下列语句中，正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是2 【答案】D 【分析】根据算术平方根和平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、在实数范围内，负数没有算术平方根，即无意义，原说法错误，不符合题意； B、的平方根是，原说法错误，不符合题意； C、的算术平方根是2，原说法错误，不符合题意； D、的算术平方根是2，原说法正确，符合题意． 5．下列说法正确的是（    ） A． B．0既没有平方根也没有立方根 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根的定义，根据定义逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：∵表示100的算术平方根，结果为非负数， ∴，A选项错误． ∵的平方根是，的立方根也是， ∴B选项错误． ∵，的立方根是， ∴的立方根是，C选项正确． ∵，的平方根是， ∴的平方根是，D选项错误． 故选：C． 6．以下说法正确的是（    ） A．是的一个平方根 B． C．±3是27的立方根 D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根的定义，根据相关定义逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A，，是的一个平方根，该选项说法正确． 对于选项B，表示的算术平方根，，原计算错误，该选项不符合题意． 对于选项C，，的立方根是，原说法错误，该选项不符合题意． 对于选项D，，原计算错误，该选项不符合题意． ◆题型2·利用关系求参数 7．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一个正数的两个平方根分别是和，列出关于a的方程，求出a的值，然后求出其中一个平方根，最后求出这个正数即可． 【详解】解：∵和是一个正数的两个平方根， ∴与互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴这个正数为． 8．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方根的知识，熟练根据正数的平方根互为相反数列方程求解是解题的关键．根据正数的平方根互为相反数列方程求解即可． 【详解】解：∵正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 解得：． 故选：A． 9．若的算术平方根是2，是27的立方根，则的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义求出的值，再根据立方根的定义求出的值，最后代入计算结果，选出对应选项． 【详解】解：的算术平方根是， ， ． 是的立方根， ， ， ． ． 10．若，则的值是（   ） A．12 B．12或4 C．12或 D．或4 【答案】B 【分析】本题考查了平方根与立方根，求代数式的值，根据平方根与立方根的概念求出a与b的值是解题的关键；由可求得，再代入求值即可． 【详解】解：∴， ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值是12或4； 故选：B． 11．若，则的平方根是______． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴9的平方根是． ◆题型1 开方解方程 1．求式子中的x：． 【答案】或 【详解】解： 或 解得或． 2． 【答案】， 【详解】解： ， ， 开平方得， 即或， 解得，． 3．利用平方根的意义求下列各式中的． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查平方根的定义，如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根或二次方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数： （1）根据平方根的定义即可求得答案； （2）根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：移项，得 根据平方根的定义，得 或； （2）解：系数化为，得 根据平方根的意义，得 或 所以或． 4．求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) , (2) 【分析】（1）移项，根据得到或，由此即可求解； （2）原式变形得，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ∵， ∴， 解得，． 5．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得或． ◆题型2估算无理数，求整数部分、小数部分 6．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为． （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故． 7．阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2)取无理数（答案不唯一），理由如下： ，，， ， ，的小数部分为， 的整数部分为，的小数部分为， 二者小数部分相等，符合要求． (3) 【分析】（1）通过平方数估算无理数取值范围，确定整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）利用“无理数加整数后小数部分不变”构造同小数部分的无理数； （3）分别表示出两个代数式的小数部分再相加，最后计算和的平方根． 【详解】（1）解：，，， ， ， 的整数部分为， 的小数部分为； （2）略 （3）解：， ，， 的整数部分为，的整数部分为， ，， ， 的平方根为． 8．综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数． 无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ，，，， 的整数部分是2，小数部分是． (1)的整数部分是_________； (2)为的小数部分，为的整数部分，求的值； (3)已知，其中是一个正整数，，求的值． 【答案】(1)3； (2)1； (3)19 【分析】（1）根据阅读材料解答即可； （2）根据阅读材料分别求得a和b的值，然后代入计算即可； （3）根据，可知，结合题意可求得x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的整数部分是3； （2）解：，，， ， 的小数部分是，即， ，，， ， 的整数部分是2，即， ； （3）解：由（2）得，， ∴， ∵，其中x是一个正整数，， ， ∴． 9．阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 【答案】(1)3，3 (2) 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据文中的方法求解即可； 【详解】（1）解：∵，即； ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，即； ∴ 故的整数部分是15，小数部分是； 故； 故． ◆题型3实数与数轴综合 10．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与表示的点重合，那么点在数轴上表示的数为_____________． 【答案】(1)这个魔方的棱长为2 (2)阴影部分的面积为，边长为 (3) 【分析】（1）设这个魔方的棱长为，根据正方体的体积公式列方程，利用立方根解方程即可； （2）根据魔方的棱长，得到每个小立方体的棱长，进而得到每个小正方形的面积，再由魔方的一面的面积的一半，求出阴影部分的面积，再结合正方形面积公式，即可求出边长； （3）由（2）可知正方形边长为，用点表示的数减去边长求解即可． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为，则， 解得：， 即这个魔方的棱长为2； （2）解：∵魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为， 每个小正方形的面积都为， 魔方的一面的面积为， 阴影部分的面积， ∵正方形的面积为， 它的边长为； （3）解：由（2）可知正方形边长为， ， ∵点A与重合， 点D在数轴上表示的数为． 11．如图，教材有这样一个探究：把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于两点，那么点表示的数为____； (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的面积是______，边长_____；如图，请借鉴（）中的方法在数轴上找到点，使点P所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1) (2) (3)， 如解图所示： 【分析】（）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长； （）依据图中小正方形对角线长为，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数为； （）先通过割补法计算出阴影正方形的面积为，从而得到其边长为；再构造长度为的线段，在数轴上画出表示的点． 【详解】（1）解：∵正方形面积等于边长的平方，已知大正方形面积为， ∴边长为​， 由题意，大正方形边长就是小正方形对角线长，因此小正方形对角线长为； （2）解：圆心在数轴上表示的点，半径为正方形对角线长， 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与之间的距离为， ∴点在圆心左侧， 因此点表示的数为； （3）解：用割补法求阴影面积：外围大正方形边长为，面积； 四周有个全等的直角三角形，每个直角三角形直角边为和，面积和， 因此阴影正方形面积， 正方形面积等于边长平方，因此边长， 作图步骤（对应图）： 以数字所在的点为圆心，沿数轴向右取个单位，过该点作数轴垂线向上截取单位，连接所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点 12．观察图，每个小正方形的边长均为．可以得到每个小正方形的面积为．      (1)图中阴影正方形的面积为_____，阴影正方形的边长为_____． (2)阴影正方形的边长介于两个相邻整数_____和_____之间． (3)利用图1，请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数． (4)请在图2的的方格内作出边长为的正方形． 【答案】(1)； (2)； (3)点、点即为所求； (4)正方形即为所作． 【分析】（1）根据网格构造直角三角形，利用各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （3）利用图的结论，作出，再以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点即可； （4）根据算术平方根的意义求出正方形面积，再由网格画出正方形即可． 【详解】（1）解：∵每个小正方形的边长均为， ∴， ∴阴影正方形的边长为． 故答案为：；； （2）∵，，， ∴， 即， 故答案为：；； （3）由（1）知：阴影正方形的边长为，它的相反数是， 如图，设原点为点，作长为，宽为的长方形，以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点， ∴，点所表示的数是，点所表示的数是； （4）如图，取格点、、、，再顺次连接， 由（1）知：四边形为正方形， ∵每个小正方形的边长均为， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， 则正方形即为所作． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，正方形的面积及等积变换等知识点，理解算术平方根的定义是解题的关键． ◆题型4实数大小比较 13．比较大小：_____3．（选填“”“”或“”） 【答案】 【分析】两个正数比较大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小得到原数的大小关系． 【详解】解： ，，且 ，， ∵， ∴． 14．比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】将整数化为立方根形式，通过比较被开方数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 15．比较大小：________．（填写“”或“”） 【答案】 【分析】利用作差法进行大小比较即可． 【详解】， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：两个分数的分母均为，且，因此只需比较分子与的大小， ∵，， ∴， ∴， ∴. ◆题型5平方根，立方根小数点移动规律 17．已知，，那么________； 【答案】 【详解】解：因为 所以 18．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 【答案】 【分析】根据数阵中数字的特点总结规律求解即可． 【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根， 且第1行的第1个数是1的算术平方根，而， 第2行的第1个数是3的算术平方根，而， 第3行的第1个数是7的算术平方根，而， 第4行的第1个数是13的算术平方根，而， …… 第8行的第1个数是的算术平方根，即， 第6个数是的算术平方根，即． 19．利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … … 根据以上规律，若，，则____________． 【答案】 【分析】通过观察表格数据，得到被开方数小数点移动与算术平方根小数点移动的对应规律，再运用规律计算即可得到结果． 【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位， ，且是的小数点向左移动两位得到的， ． 20．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 21．小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【答案】D 【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题. 【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位； ∵，且是将的小数点向右移动三位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即. 22．已知，则_______________． 【答案】 【分析】根据立方根的性质，被开方数的小数点每向左（向右）移动3个数位，立方根向左（向右）移动1个数位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． 23．已知，，，，，则_____，_____． 【答案】 1.285 2.342 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出a的值，根据被开方数小数点向左移动三位，其立方根的小数点就向左移动一位即可求出b的值． 【详解】解：， 故答案为：1.285；2.342 ◆题型6近似数精确度 24．近似数精确到______位，它有______个有效数字． 【答案】 万分 四 【详解】解：近似数精确到万分位，它有四个有效数字． 25．近似数万精确到_____位． 【答案】百 【分析】确定近似数的精确度，需先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再看近似数的末位数字实际在哪一位，即为精确到哪一位． 【详解】解：， 14200中近似数1.42的末位数字2，对应原数中的百位，因此近似数1.42万精确到百位． 26．用四舍五入法得到的近似数精确到_________． 【答案】千位 【分析】本题考查近似数的精确度．科学记数法表示的近似数，其精确度由系数最后一位数字所在的数位决定，据此进行解答即可． 【详解】解：， 系数最后一位数字0对应千位， 故精确到千位． 故答案为：千位． 27．田畴吐绿，气象万千，2025年上半年，甘肃省第一产业增加值达到410.05亿元，同比增长，延续了稳健增长态势410.05亿这个数精确到________． 【答案】百万位 【分析】此题考查精确度，正确掌握相关知识点是解题关键． 数字410.05亿是以亿为单位的数，小数部分0.05亿对应绝对数值的百万位，因此精确到百万位． 【详解】解：∵ 1亿 ， ∴0.01亿 百万． ∴ 0.05亿 百万． 故410.05亿精确到百万位． 故答案为：百万位． 1．如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出已知两个正方形的边长，结合图形观察出三个正方形边长的大小关系，从而确定中间正方形边长的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， 正方形的边长，正方形的边长， 设正方形的边长为，由图可知，点在线段上，点在线段上， ，即， ，，， 选项均不符合题意， ， ， 正方形的边长可以是，选项 D  符合题意． 2．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 【答案】D 【分析】经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为，从而得出答案． 【详解】解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有个数，且第n行的第n个数为， ∴第2021行从左向右数第2021个数是2021， ∴第2021行从左向右数第2020个数是． 3．如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，算术平方根的应用，利用面积法求出的长并熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 根据A、B、C、D为的方格各边中点可得正方形的面积等于的方格面积的一半，即可求出的长，点在原点右侧且到原点的距离为1个单位可得点A表示的数，根据数轴上两点间距离公式即可求出点E表示的数． 【详解】解：∵A、B、C、D为的方格各边中点， ∴正方形的面积等于的方格面积的一半， ∴， ∴， ∵点在原点右侧且到原点的距离为1个单位， ∴点A表示的数为1， ∵， ∴， ∵点E在点A左侧， ∴点E表示的数为， 故选：B． 4．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，理解“调日法”的算法规则是解题关键，按照规则依次进行三次计算即可得到结果． 【详解】解：∵． ∴第一次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第二次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第三次使用“调日法”得． ∴使用三次“调日法”得到的近似分数为， 故选：C． 5．若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的比较大小，根据题目给出的数据采取统一乘方是解题的关键．分别求6次方比较幂的大小得出结论． 【详解】解：∵m，n，k都是正数，分别求它们的6次幂， ∴，，， ∵， 即， ∴． 故选：A． 6．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上述规律，第个等式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的规律、算术平方根等知识点，从已有式子中发现规律是解题的关键． 直接根据已有式子和算术平方根归纳规律即可． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， …… 第n个等式：． 故选：D． 7．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】解：，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选B． 8．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为2﹣6， ∴一个空白长方形面积=， ∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3， ∴大正方形边长=，重叠部分边长=， ∴空白部分的长=， 设空白部分宽为x，可得：，解得：x=， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=， ∴小正方形面积==10， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键． 9．如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义和非负数的性质求出x、y的值，然后求出的值，最后根据的算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 的算术平方根是1． 10．观察下列各式：，，，，按照此规律，第8个等式是_____． 【答案】 【分析】观察已知等式中各部分的数字特征，归纳出一般性规律，即可得到第8个等式． 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， 第个等式：， ∴第8个等式为：． 11．规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，涉及算术平方根和取整运算，根据定义，逐步计算2025的算术平方根并取整，直到结果为1． 【详解】解：对2025进行操作： 第一次操作，； 第二次操作，； 第三次操作，； 第四次操作，， 故进行了4次操作后变为1， 故答案为：4． 12．如图，通过画边长为的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为_____．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据勾股定理可得，经过逐步推理计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 且右侧最近的整数点为， 表示的数是， ， 表示的数是． 且右侧最近的整数点为， 表示的数是， ， 表示的数是． 故答案为：． 13．综合与实践 一、教材理解： (1)如图1，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到如图2一个面积为2的大正方形 ，它的边长为________．据此我们得到一种在数轴上表示无理数的方法：如图3以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，则与正半轴交点表示的数为________； 二、深入思考： 如图4，怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形剪拼成一个大正方形？小红经过思考在网格（单位长度是1）中得到如图5剪拼方式； (2)如图6，小红根据图5剪拼结果利用该网格，在数轴上以_________为圆心，以_________为半径画弧，则与正半轴交点表示的数是_________； 三、动手操作： (3)如图7，现有13个边长均为1的小正方形，请将它们剪拼成一个大正方形，并在图7中用虚线画出剪裁方案，同时在图8网格中画出拼接完成后的大正方形； (4)若利用网格（单位长度是1），在数轴上，以原点为圆心，该大正方形的边长为半径画圆弧，圆弧与数轴负半轴交点所表示的数为_______，并请你在图9中画出找到点过程中使用的那条半径． 【答案】(1)； (2)点；； (3)， (4)； 【分析】（1）利用正方形面积公式运算求解即可； （2）利用正方形面积公式求出正方形的边长，再根据图6的信息解答即可： （3）在拼接的过程中，需要用到个一样的直角三角形，利用这个原理划分三角形即可； （4）利用正方形面积公式求出正方形的边长，作图解答即可． 【详解】（1）解：∵图2大正方形的面积为：， ∴图2大正方形的边长为：； ∵图3以单位长度为边长画一个正方形， ∴图3正方形面积 利用两个图3正方形进行如图所示拼接： 则此时图形的面积为图3正方形面积的两倍：， 此时图形的边长为：， 即图3正方形的对角线长度为：； （2）解：∵图中一共有个正方形， ∴图正方形面积为：， ∴图正方形的边长为：， ∴小红根据图剪拼结果利用该网格，在数轴上以为圆心，以为半径画弧，则与正半轴交点表示的数是； （3）∵在拼接的过程中，需要用到个一样的直角三角形， ∴如图所示裁剪即可： 拼接完成后的大正方形： （4）解：∵图中一共有个正方形， ∴图正方形面积为： ∴图正方形的边长为： ∴由题意作图可得： ∴圆弧与数轴负半轴交点所表示的数为：． 14．解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为 的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为 的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 【答案】(1) ，  a (2) ， 3 (3) 不能剪出，理由如下： 面积为的大正方形，边长为， 而（2）中卡纸的长为， 计算得：， 若卡纸需沿大正方形卡纸的边的方向剪出， 则卡纸的长和宽都必须小于大正方形的边长才能剪出， ∵卡纸的长为，大于， ∴卡纸不能按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出． 【分析】本题考查了图形的折叠，实数的计算． （1）根据折叠的特点可知小正方形的对角线是大正方形的边长，作答即可； （2）设卡纸宽为，根据折叠的特点可知第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合，即可作答即可； （3）确定出卡纸的长与大正方形的边长的大小，即可判定． 【详解】（1）解：∵小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴当小正方形卡纸边长均为时，大正方形的边长为； ∵大正方形的边长为，小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴小正方形卡纸边长均为：； （2）设卡纸宽为，如下图， 根据折叠可知：第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合， 根据正方形的特点，可得第一次的折痕长度为：，即卡纸的长边长为：， ∵卡纸的面积为 ， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴卡纸的长边为：， 故答案为： ， 3； （3）略． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $