3.1 圆的相关概念～3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 阶段练习 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册

3.1 圆的相关概念～3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 阶段练习 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册 一、选择题 1、下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴； ④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2、已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3、如图，是的外接圆，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4、如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 5、如图，的直径，垂足为，，连接并延长交于点， 连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6、如图，正方形的边长为8，若经过C，D两点的与直线相切，与相交于点E， 则为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7、如图，是的直径，是的弦，，将沿着折叠后恰好经过点O，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 8、如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9、下列说法：①半圆是弧；②面积相等的圆是等圆；③直径是弦，弦是直径；④经过圆内一定点可以作无数条弦； ⑤三角形的外心不可能在其边上．其中错误的有______．（填写序号） 10、如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_________ 11、如图，是的内接三角形，于点，若，则___________． 12、如图，为的一条弦，且，C为劣弧上一点，连接，则的度数为_____． 13、点是的外心，若，则为______． 14、如图，△ABC的周长为8，⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E， 与AB的延长线相切于点F，则AF的长为_____． 15、如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点， 若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 16、如图，在以AB为直径的半圆中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1， 则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________． 三、解答题 17、已知：如图，、是的两条直径，、分别是、的中点，连接、． 求证：． 18、如图，的弦AB、CD的延长线相交于点，且．求证：． 19、如图，在中，是的直径，，是上不同于，的两点，， 连接．过点作，垂足为，直线与交于点． （1）求证：是的切线； （2）当，，时，求的长． 20、如图，点，，，，在上，且． （1）求证：； （2）若，，则的半径为_______． 21、如图，在中，AB是的直径，CD是的弦，，垂足为P．过点D作的切线 与AB的延长线交于点E．若，求的度数． 22、内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； （2）在图2中的圆上找一点，使得平分． 23、请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，过点P作的一条切线； （2）如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； （3）如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 24、如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧， ，过点作交的延长线于，连接． （1）求的度数； （2）求证：是的切线． 25、如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，，过点的直线与边 交于点，且，平分，过点作，垂足为点，以为直径作． （1）求直线对应的函数表达式； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图2，将沿x轴向右滚动，当与直线相切时，请直接写出圆心P的坐标． 26、[学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决． 例如：如图1，在中，，是外一点，且，长为半径作辅助圆，则、两点必在上，则________． [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，则________； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得 （不写作法，保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围_________． ②如图4②，在，，，且，求． 3.1 圆的相关概念～3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 阶段练习 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册 一、选择题 1、下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴； ④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 解：①直径是经过圆心的弦，故①正确； ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误； ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误； ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误； 综上，正确的说法共个． 2、已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. 3、如图，是的外接圆，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 解：如图所示，连接， 易知， 又是等腰三角形，所以． 4、如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5、如图，的直径，垂足为，，连接并延长交于点， 连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 解：∵OA=OC， ∴∠OCA=∠A=30°，∴∠BOC=∠OCA+∠A=60°， ∵CF是⊙O的直径， ∴∠CDF=90°，即FD⊥CD， 又∵AB⊥CD， ∴ABDF， ∴∠CFD=∠BOC =60°． 故选：C． 6、如图，正方形的边长为8，若经过C，D两点的与直线相切，与相交于点E， 则为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 解：∵四边形是边长为8的正方形， ∴，， 连接， ∵，∴是的直径， ∴O点是的中点， ∵与直线相切， 设与边的切点为F，连接并延长，交于G点，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，且， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ ∴． 7、如图，是的直径，是的弦，，将沿着折叠后恰好经过点O，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 解：如图所示，过点O作于E，交于D，连接， ∴， ∵，将沿着折叠后恰好经过点O， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 故选B． 8、如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 解：设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆 ∵四边形为矩形； ∴ ∵； ∴；∴ ∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上 连接OB交圆O与点N ∵点B为圆O外一点 ∴当直线BM过圆心O时，BM最短 ∵， ∴ ∴ ∵；故选：D． 二、填空题 9、下列说法：①半圆是弧；②面积相等的圆是等圆；③直径是弦，弦是直径；④经过圆内一定点可以作无数条弦； ⑤三角形的外心不可能在其边上．其中错误的有______．（填写序号） 【答案】③⑤ 解：①半圆是弧，原说法正确； ②面积相等的圆的半径一定相等，故是等圆，原说法正确； ③直径是弦，但弦不一定是直径，原说法错误； ④经过圆内一定点可以作无数条弦，原说法正确； ⑤直角三角形的外心为斜边的中点，原说法错误； ∴说法错误的有③⑤． 10、如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_________ 【答案】 解：点，的纵坐标相同， 线段平行于轴，且中点横坐标为， 线段的垂直平分线为直线， 的外接圆圆心在线段的垂直平分线上， 设外接圆圆心坐标为， 点到点、的距离相等，且， ， ， ， ， ， ， ， 外接圆圆心坐标为， 外接圆半径． 11、如图，是的内接三角形，于点，若，则___________． 【答案】2 解：如图所示，连接，， ∵，∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 12、如图，为的一条弦，且，C为劣弧上一点，连接，则的度数为_____． 【答案】##120度 解：在优弧上任取一点，连接，．   ，  ．  四边形内接于 ，  ， ． 13、点是的外心，若，则为______． 【答案】55°或125° 解：分两种情况： （1）点Ａ与点在BC边同侧时，如下图： . ∵ ， ∴ （2）点与点在BC边两侧时，如下图： ∵，即所对的圆心角为 ∴所对的圆心角为： ∴ 故答案为：55或125 14、如图，△ABC的周长为8，⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E， 与AB的延长线相切于点F，则AF的长为_____． 【答案】4 解：∵的延长线与圆分别相切于点E、F，∴， ∵圆O与相切于点D，∴，∴， ∵的周长等于8， ∴， ∴，∴，∴．故答案为4． 15、如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点， 若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 【答案】 解：直线的解析式为， 直线与轴正半轴的夹角为， 当直线与相切时，圆心到直线的距离等于半径， 设切点为，连接， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， 当直线与轴正半轴相交且相切时，，即， 同理，当直线与轴负半轴相交且相切时，，即， 直线与有公共点， 点在轴上介于两切点之间，则的取值范围是． 16、如图，在以AB为直径的半圆中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1， 则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________． 【答案】 解：连接OE，OD， ∵=， ∴∠DOC=∠EOF， ∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠DCO=∠EFO=90°， 又∵DO=EO， ∴Rt△DOC≌Rt△EOF， ∴CO=OF=， ∵在Rt△DOC中，OD=， ∴AO=DO=，AC=AO-CO=， AB=2AO=， BC=AB-AC=- =， ∴以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得． 故答案为：x2-x+1=0． 三、解答题 17、已知：如图，、是的两条直径，、分别是、的中点，连接、． 求证：． 【答案】证明：∵、是的两条直径，∴， ∵、分别是、的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 18、如图，的弦AB、CD的延长线相交于点，且．求证：． 【答案】 证明：连接AC， ∵，∴，∴， ∴， ∴，∴． 19、如图，在中，是的直径，，是上不同于，的两点，， 连接．过点作，垂足为，直线与交于点． （1）求证：是的切线； （2）当，，时，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，∴，∴ 又∵为的半径， ∴为的切线； 【2】 解：连接，如图所示： ∵是直径，∴， ∴， ∴， ∴，∴， ∴， ∴， ∴． 20、如图，点，，，，在上，且． （1）求证：； （2）若，，则的半径为_______． 解：【1】 证明：， ， 即， ． 【2】 连接、、、，作交于点， ， ，即，， ∵，， ， ∵ ；是中线，即， ∴过点， 设，， 中，， 中，， ，，，， 代入，解得，即的半径为． 21、如图，在中，AB是的直径，CD是的弦，，垂足为P．过点D作的切线 与AB的延长线交于点E．若，求的度数． 【答案】 解：连接， ∵AB是的直径，，∴，∴， ∵，∴， ∵是的切线，∴，∴． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，切线的性质，以及直角三角形两锐角互余．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 22、内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； （2）在图2中的圆上找一点，使得平分． 【1】 解：如图，即为所求； 【2】 解：如图，点F即为所求： 23、请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，过点P作的一条切线； （2）如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； （3）如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 【答案】（1）解：如图①，直线即为所求； （2）解：如图②，点Q即为所求； （3）解：如图③，直线即为所求． 24、如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧， ，过点作交的延长线于，连接． （1）求的度数； （2）求证：是的切线． 【答案】【1】解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）证明：如图所示，连接， ，， ． ， ． ，， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 25、如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，，过点的直线与边 交于点，且，平分，过点作，垂足为点，以为直径作． （1）求直线对应的函数表达式； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图2，将沿x轴向右滚动，当与直线相切时，请直接写出圆心P的坐标． 【答案】【1】 解：平分，则， ，则， ， 则中，，， 则， 则圆的半径为，则点， 设直线的表达式为， 由点、的坐标得， ，解得：，直线的表达式为：； （2）与的位置关系相切，理由： 过点作于点， 则； 故与的位置关系相切； 【3】 当点在的左侧时， 过点作轴的平行线交轴于点，交于点，过点作轴的平行线交于点； 由题意得：、、轴均与圆相切，则，， 设点，则， 则，， 则，解得：，即点； 当时，，解得：，即点， 则点为点的中点， 由中点坐标公式得：点， 综上，或； 26、[学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决． 例如：如图1，在中，，是外一点，且，长为半径作辅助圆，则、两点必在上，则________． [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，则________； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得 （不写作法，保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围_________． ②如图4②，在，，，且，求． 【答案】（1）； （2）； （3）上所有的点，如图所示： （4）①；② 解：（1），， ； 故答案为：； （2）取的中点为，连接、， ，， 以为圆心长为半径作， 则均在上， ，， ； 故答案为：； （3）略 （4）①取的中点为，以为圆心长为半径作，过点作交于点，连接，由垂径定理可知，以为圆心，长为半径作，交边长于点，由圆周角定理可知， 当与边长只有一个交点时， 矩形， ， ， ， ， ，， ， ，三点共线， ，四边形为矩形， ，即，解得； 当与边长有个交点，且交点与重合时， ，四边形为正方形， ，即，解得； 若满足的点恰好有两个，则的取值范围为； 故答案为：； ②作的外接圆，连接，过点作于点，作于点， ， ， 四边形为矩形， ，且， ，， ， ， ， ， ， ， ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $