31.2.2(第2课时)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级下册

sin2θ+cos2θ=1 人教版(新教材) 九年级下册 第三十一章 相似 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？ 2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？ B A C B' A' C' B A C B' A' C' 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 合作探究 如果两个三角形有两条边成比例，它们一定相似吗？ 有两条边成比例， 但不相似. B C A 3 4 B′ C′ A′ 6 8 只有两条边成比例的两个三角形，不一定相似. 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 合作探究 把探究一中的条件增加：如果成比例的这两边的夹角相等，那么它们一定相似吗？ 画△ABC与△A′B′C′，使∠A=∠A′， =k. 设法比较∠B与∠B′(或∠C与∠C′)的大小. 当k=时 B C A B′ C′ A′ 6 8 3 4 ∠B=∠B′ 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三角形相似的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′， B A C B' A' C' ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 合作探究 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，使 A′D = AB． 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' ∴ 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 合作探究 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' ∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A. ∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC. ∵ A′D=AB， ∴ △A′DE是联系 △ABC和△A′B′C′的桥梁. 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 思考 对于△ABC 和 △A′B′C′，如果 ∠B = ∠B′， 这两个三角形一定会相似吗？试着画画看. 不一定，如下图，显然∠C和∠C'不相等. 特别 提醒 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由： ∠A=40°，AB=8，AC=15. ∠A' =40°，A'B' =16，A'C' =30. 解：∵ . ∴ =. 又∵∠A=∠A′， ∴ △ABC∽△A'B'C′. 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 如图，AD=3，AE=4，BE=5，CD=9 ，△ADE与△ABC相似吗？说明理由. 解：△ADE∽△ABC ,理由如下： ∵ =, ∴ 又∵∠EAD=∠CAB, ∴△ADE∽△ABC. 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 如图，在△ABC中，D是AC上一点. 已知AB2=AD•AC，∠ABD=40°. 求∠C的度数. 解：∵ AB²=AD•AC ， ∴ . A B C D ∵ ∠A=∠A， ∴ △ADB∽△ABC， ∴ ∠C=∠ABD. ∵ ∠ABD=40°， ∴ ∠C=40°. 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1， 求证：△ABC ∽ △DBA. A C B P D ∵ ∠ABC = ∠DBA ∴△ABC ∽ △DBA. 证明：∵∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1， ∴AB = ， BD =2， 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 解：相似．理由如下： 设正方形的边长为 ，则 ， ∵Q是CD的中点，∴ ， ∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ．∴ ． 又 ，∴ ． 如图，在正方形 中，P是BC上的点，且 ，Q是CD的中点． 与 是否相似，为什么？ 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC， 求证: △ABC ∽△AED. 证明：∵ AB · AD = AE·AC， ∴ 又∵ ∠DAB =∠CAE， ∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ， 即∠DAE =∠BAC， ∴ △ABC ∽△AED. A B C D E 看到线段的乘积式，就转化为比例式，再去找可能是哪组三角形的对应边. 你还记得全等三角形的“手拉手”模型吗？说一说你有什么新的发现. 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 已知 和 都是直角三角形， ， ， ，连接AD,CE．(1)如图1，当 时，求证： ； (1)证明：∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ 和 均为等腰直角三角形， ∴ ， ​， ∵ ，即 ， ∴ ； 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 (2)如图2，当点E刚好落在AC上，且BE平分∠ABC，求证：AD=AE. (2)证明：∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ， ∴ ，即 ， ∴ ，∴ ， ∵在 中， ， 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 (2)如图2，当点E刚好落在AC上，且BE平分∠ABC，求证：AD=AE. 在 中， ， ， ∴ ， ∵BE平分∠ABC， ∴ ， ∴ ， ∴ . 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 解：∵ ∠AOD=∠BOC ， . ∴ △AOD∽△BOC (两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似)， 如图所示，是用卡钳测量容器内径的示意图. 现量得卡钳上A，D两端点的距离为5cm，.求容器的内径BC. D A O B C ∴ ，即 ∴ BC=2×5=10 (cm). 答：容器的内径BC为10cm. 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 如图，在△ABC 中，AB=10 cm，BC=20 cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 cm/s 的速度移动.如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，经过几秒钟后，△PBQ 与△ABC 相似? 对应关系不明确,勿忘分类讨论！ 本题没有明确两个三角形的对应元素,所以要分情况过论. 由于∠B是公共角,所以点B和点B是对应点,要分两种情况讨论. 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 解：设经过 t s 后，△PBQ 与 △ABC 相似， 那么 AP= 2 t cm，BQ=4t cm，BP=(10-2t) cm. 因为∠PBQ =∠ABC，所以有两种情况： (1)当 时，△PBQ∽△ABC，此时 ， 解得 t =2.5.所以经过 2.5 s 后，△PBQ 与△ABC 相似. (2)当 时，△PBQ∽△CBA，此时 ， 解得 t=1，所以经过 1 s 后，△PBQ 与△ABC 相似. 综上所述，经过 1 s 或 2.5 s 后，△PBQ 与△ABC 相似. 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 本课总结 运用 两边成比例且 夹角相等的 两个三角形相似 利用两边及夹角判定三角形相似 内容 模型 相似三角形的判定定理的运用 B A C B' A' C' 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 如图，已知 ．下列图形中与相似的是（     ） A． B． C． D． 解： 的顶角度数未知，故C,D选项中的三角形不一定与 相似； ∵ ， 故A选项中的三角形与 不相似； ∵ ， 故B选项中的三角形与 相似. 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 如图，已知 ， ， ， ．将 沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与 不相似的是（     ） A． B． C． D． 解：A、 ， ，由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与 相似，不符合题意； B、 ，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与 相似，符合题意； C、 ， ，且 ，由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意；D、 ，不符合题意． 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 如图，四边形 的对角线AC与BD相交于点O，且 ，则 ① ；② ．下列关于①②的判断正确的是（     ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 解：∵ ， ， ∴ ，故①正确； 在 与 中，只有 ，再找不到任何一对角相等，也不能说明夹此角的两边对应成比例，故②错误． 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 解：当 △ADP ∽△ACB 时， AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ， 解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时， AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ， 解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和△ABC 相似． 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似. A B C D 4 或 9 P P 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由. ∠A = 120° ，AB = 7 cm ，AC = 14 cm， ∠A′ = 120° ，A′B′ = 3 cm ，A′C′= 6 cm， 解：相似. 理由如下： ∵ ∴ ∴△ABC ∽ △A′B′C′. 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 已知：如图，在 和 中， ， ， ， ． 求证： ． 证明：∵ ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ，∴ ． 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3， 且 = ，求DE的长. B C A D E 解： ∵ AE=1.5，AC=2， ∴ =. ∵ =, 又∵∠EAD=∠CAB ∴△ADE∽△ABC. ∴= =. ∴ = . ∵BC=3， ∴DE= BC= . 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC，AB上，且 ，连接DE，BD． (1)求证： ； (1)证明： ∵ ， ， ∴ ； 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 规范解答 (2)若点E为AB的中点， ，若 ，求CD的长度． (2)解：∵点E为AB的中点，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ． 31.2.2(第2课时) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 $