北京交通大学附属中学2026-2027学年九年级上学期10月 数学学情自测

2026—2027学年度第一学期10月学习诊断—初三数学 一．选择题（本题共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．把抛物线向上平移个单位长度得到的抛物线的表达式为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ） A．图象必经过点 B．图象在第一、三象限内 C．在图象的每个象限内，随的增大而增大 D．若，则 5．已知抛物线经过点，，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法确定 6．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么的值可能是（ ） A． B． C． D． 7．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，若点是轴上的任意一点，连接，，若的面积为，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．二次函数的图象经过点，，．若，且抛物线的对称轴为直线．则下列结论正确的是（ ） ①；②；③关于的方程的两根之积；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二．填空题（本题共16分，每小题2分） 9．若点和关于原点对称，则________． 10．写出一个图象开口向上，过点的二次函数的表达式：________． 11．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为________． 12．如下图，矩形中，，．以点为中心，将矩形旋转得到矩形，使得点落在边上，则此时的长为________． 13．如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为________． 14．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．现有长为的绳子按照黄金分割分成两段，设较长一段的长为，依题意，可列方程为________． 15．已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和图象总有公共点，则的取值范围是________． 16．对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在点，使得，为正数，则称点为图形的倍等距点．已知点，． （1）在点，，中，线段的倍等距点是________； （2）线段的所有倍等距点形成图形的面积是________． 三．解答题（本题共68分，第17题6分，第18题3分，第19、21、22、23题每小题5分，第20、24、26题每小题6分，25、27、28题每小题7分） 17．解方程：（1） （2） 18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点逆时针方向旋转得到． （1）在网格中画出； （2）点的坐标为________； （3）线段在旋转过程中扫过的面积为________（结果保留）． 19．已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： （1）； （2）． 20．已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的差为，求的值． 21．二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … （1）求这个二次函数的表达式； （2）在上图中画出此二次函数的图象； （3）结合图象，直接写出当时，自变量的取值范围． （4）当抛物线的顶点在直线的下方时，的取值范围是________． 22．如图，四边形是一块边长为米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，其中点在边上，点在的延长线上，．设的长为米，改造后苗圃的面积为平方米． （1）与之间的函数关系式为________________________（不需要写出自变量的取值范围）； （2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，请问此时的长为多少米？ 23．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点的横坐标为． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 24．如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，、相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点作于点，交于点，若，，求的长． 25．中新社上海月日电（记者缪璐）日在上海举行的年全国跳水冠军赛女子单人米跳台决赛中，陈芋汐以分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 竖直高度 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：___________________； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 26．在平面直角坐标系中，抛物线：的对称轴为． （1）求的值； （2）若当时，抛物线与轴有且只有一个交点，直接写出的取值范围； （3）将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，在抛物线上，若对任意的，，都有，求的值． 27．在中，，，为的延长线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图，，点在直线上，求证：； （2）如图，用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 28．点到的距离定义如下：点为的两边上的动点，当最小时，我们称此时的长度为点到的距离，记为．特别的，当点在的边上时，． 在平面直角坐标系中，． （1）如图，若，，则________，________； （2）在正方形中，点． ①如图，若点在直线上，且，求点的坐标； ②将抛物线向下平移个单位长度后得到的新抛物线记作图象，若点在图象上，且满足的点有且只有两个，请直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年度第一学期10月学习诊断初三数学 答案 一.选择题（本题共16分，每小题2分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 0 A B c D B 小 二.填空题（本题共16分，每小题2分） 9.-1 10.答案不唯一，例如y=x2+1 11.-2 12.1 1 a≤- 13.2<x<6 14. x2=4(4-x) 15.a>0或 3 16.①点C和点E;②π 三.解答题（本题共68分） 17.(1)解：(x-1}=3 x-1=±5 …1分 x=1±V3 2分 x=1+V3x2=1-V3 …3分 (2)解法一： 解：x2-4x+4=1, (x-2)}=1 …1分 x-2=±1. 2分 =1,x2=3 …3分 解法二： 解：(x-(x-3)=0 …2分 x-1=0或x-3=0, x=1,x2=3 …3分 18.解：(1)如图，△OA'B即为所求： …1分 (2)4(-2,4) …2分 9π （3）43分 19.解：根据根与系数的关系得到 +=2.= …2分 155 =x6,(x+x2)=5× (1)原式 224:… 。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …3分 5 =号+至_(3+尸-2西=4 -121 Xx2 xX2 2 (2)原式 2 …5分 20.(1)证明：由一元二次方程得 a=l,b=-(m-),c=m-2, .A=[-(m-1)]-4(m-2)=(m-3}≥0 该方程总有两个实数根： …2分 (2)解：由一元二次方程得 x+5=6=m-1X5=仁=m-2 a a …1分 ,该方程两个实数根的差为2， (x-x2)=4 (飞-x)=(x+x)2-4xx2 …2分 ∴.(m-1)2-4(m-2)=4 …3分 解得m=l或m=5, .m的值为l或5.. 4分 21.1)解法一：由题意，设二次函数的表达式为y=a(x++2 ·二次函数经过点(，0) ∴.4a+2=0. ∴.a= 2 …1分 =2(x++2 1 ∴二次函数的表达式为 …2分 3 y=- 即 2-x+ 2 解法二：由题意， 设二次函数的表达式为y=a(x+3)(x-1) “二次函数经过点（1,2)】 .-4a=2 1 ∴.a=- 2 …1分 .二次函数的表达式为 s、 2x+30x-) …2分 y=- 即 x-x+3 2 2 (2)如下图。…3分 x-+ 2 (3)-3<x<1 …4分 4)n>3 …5分 22.解：(1)y=-2x2+4x+16(或y=(4-x(4+2x) …2分 (2)由题意，原正方形苗圃的面积为16平方米，得-2x2+4x+16=16. …3分 解得=2，名=0（不合题意，舍去）.… …4分 答：此时BE的长为2米.… …5分 y="(m≠0) 23.解：（1)解：：一次函数y=k(x-)+6(k>0)的图象与反比例函数=x 的图象的一个 交点的横坐标为1， ∴代入一次函数得，y=(x-)+6=k1-)+6=6 ·交点坐标为（山，6） …1分 y="(m≠0）) m二6 把交点坐标代入反比例函 得，1 .m=6, …2分 6 y= ∴反比例函数解析式为 …3分 (2)k≥2 …… …5分 24.(1)证明：BE∥CD,CE∥AB :四边形CEBD是平行四边形. … …1分 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点， :.CD=BD=1AB 2 。。。。。。。。。。。。。。 …2分 四边形CEBD是菱形： …3分 (2)解：AB=10」 :D-A8=5 .DF⊥CE」 .∠DFC=90° .CF=3. ..DF=CD2-CF2=4 … …4分 :四边形CEBD是菱形， ∴.CE=CD=5,∠DCG=∠ECG. ∴.EF=CE-CF=2 在△DCG与△ECG中， CD=CE ∠DCG=∠ECG CG=CG ·.△DCG≌△ECG(SAS) ..DG=GE .FG2+EF2=EG2 …5分 :.(4-DG2+22=DG2 ·DG=S …6分 25.解：(1)根据表格得函数图象过点(4,10)，(4.5,6.25)，(3,10) h=3+4-=3.5 2 y=-5(x-3.5)}2+k a(3-3.5)2+k=10 .5 a(4.5-3.5)2+k=6.25 a=-5 解得=11.25 的函数关系y=-5(x-3.5}+11.25 故答案为：11.25，y=-5(x-3.5)2+11.25 2分 (2)对于y=-5(x-3.5)}+11.25 当y=0时，0=-5(x-3.5)2+11.25 解得=5，名=2（不合题意，舍去）， .d,=5米， …3分 对于y=-5x2+40.x-68 当y=0时，-5x2+40x-68=0, 5-4+25 解得 5 为=425 5(不合题意，舍去)， .d2=4+ 2W15 5 ，…4分 4+2 5 75 .d<dz 5分 (3)y=-5x2+40x-68=-5(x-4}+12 ∴点B坐标为(4,12)， ∴c=12, ∴.y=-5t2+12 …6分 当1=1.6时，y=-5x1.62+12=0.8 0.8<0 即她在水面上无法完成此动.… …7分 26.解：(1)：抛物线G.y=ar2-2a2x+c(a≠0 的对称轴为x=1 -2a2 =1 2a a=1; …1分 (2)由(1)可知，a=1, G:y=x2-2x+c=(x-1'+c-1 ①当C-1=0时，G与x轴只有一个交点， 解得c=1: …2分 ②当c-1≠0时，将3,0)代入y=-2x+c得，c=-3,将(0,0)代入y=-2x+c得，c=0, 当0<x<3时，抛物线G与x轴有且只有一个交点，-3<c≤0或C=1.…3分 (3):抛物线G,y=am-2ax+c(a≠0)的对称轴为x=1, 抛物线G2的对称轴为x=1+m, :对任意的3<<4，戈=m,都有片>2， :当点A(:,少），B(,乃)都在对称轴的左侧时，<m .m24,.. …4分 当点A(,乃)在对称轴的右侧时，，>m+2 m+2≤3，即m≤1，…5分 综上，m的取值为0<m≤1或m≥4 …6分 27,(1)证明：：∠BAC=a=30° ∴.180°-2a=180°-2×30°=120° :将线段AD绕点A顺时针旋转180°-2Q得到线段AE,连接CE, ∴.AE=AD,∠EAD=120° …1分 :∠B=∠D=（180°-120)=30° :∠ABC=90°，即AB⊥ED, ZBAD=∠BAE=∠EAD=60 ∴.∠CAD=∠BAD-∠BAC=30° .∠CAD=∠D=30° AC=CD... ，。。。。。。。。。。 …2分 :∠EAC=∠BAE+∠BAC=60°+30°=90°.∠E=30°， ∴.CE=2AC, 即CE=2CD …3分 (2)解：CE2=4AB2+CD2,证明如下： :在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=a, ∴.∠ACD=∠BAC+∠ABC=90°+a. 如图，将△4CD绕点A顺时针旋转180°-2a得到△ACE, G B D .AC=AC,CD=CE,∠ACE=∠ACD=90°+a,∠CAC=∠EAD=180°-2a ∴∠ACC=∠ACC,=(180°-∠CAC)=a …4分 ∴.∠ECC=∠ACE-∠ACC=90° …5分 ∴CE2=CC+EC ∴.CE2=CC2+CD2 6分 连接CC,过A作AG1CC于点G, 证△AGC≌△CBA :.CG-AB-CC ∴.CC=2AB .CE2=(2AB)}+CD2 即CE2=4AB2+CD2.…7分 28.(1)1;1.(说明：每空1分) 2分 (2)①如图， G B -5引 点P在EF上时，OP=2V2, 设P(x,3x+4), x2+(3x+4)2=8 2 x=2,5=-5(合)， P(-2,-2) …4分 点P在射线FG上时，P到射线OB的距离为2V2 点P与点C重合， P(0,4) …5分 .P(-2,-2）.(0,4) <k<4+22 ② …7分