精品解析：北京市顺义区仁和中学2026-2027学年九年级上学期数学10月练习

2026-2027学年度第一学期九年级数学10月练习 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 风车纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 2. 如果，那么下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A. B. C. D. 4. 如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 再生水利用提升工程是北京市“十五五”时期美丽北京建设的重大工程之一．北京市一家在建的再生水厂建成后每天能够供应高品质再生水．若一年按365天计．则该再生水厂建成后，一年能够供应的高品质再生水的总量用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，D是的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，分别为正六边形各边上的动点（不与顶点重合），且六边形也是正六边形，它们的中心都是点，连接交于点．当时，给出下面四个结论： ①； ②的最小值为； ③； ④的最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若，则的值为___________． 10. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 11. 如图，已知，其中，，则与的面积比为______． 12. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为_____． 13. 数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面处（镜子的大小不计），旗杆底端到镜子的距离，小明竖直站在距镜子的处，眼睛到地面的距离，且点在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端的像．，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即，则旗杆的高为___________． 14. 如图，四边形与四边形相似，位似中心点是O，，则__. 15. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 16. 如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形． 三、解答题（共68分，第17-21题每题5分，第22-24题每题6分，第25题5分，第26题8分，第27题7分，第28题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF． 20. 已知，求代数式的值． 21. 如图，，，． （1）求证：； （2）延长交于点，求的度数． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个实数根为负数，求的取值范围． 23. 如图，矩形中，点为边上一动点，交于点． （1）求证：； （2）当时，，求的长． 24. 在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 25. 若干名学生参加编程比赛，比赛共8轮，每轮有3道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的数量（得分为整数）．已知甲、乙两名学生8轮得分的情况如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲8轮得分的平均数为________，乙8轮得分的平均数为________； （2）记甲、乙8轮得分的方差分别为和，则________（填“”“”或“”）； （3）如果丙8轮得分的中位数为，那么丙8轮得分的平均数是不是一定大于乙8轮得分的平均数？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 26. 科创小组分别用两台装置提取实验物质，当两台装置各自工作时，记录员分别记录了装置提取的实验物质的体积（单位：）和装置提取的实验物质的体积（单位：），部分数据如下： （1）补全表格（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上信息，解决问题： 若装置比装置早启动了，则装置启动___________时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为___________（结果保留小数点后一位）； 在的条件下，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取___________实验物质（结果保留小数点后一位）． 27. 如图，在中，，，是上一点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作于点，延长，交于点． （1）求证：； （2）在上截取（点在点右侧），连接交于点，依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于直线l和图形W给出如下定义：若图形W上存在点M，N，，对于图形W上任意满足的点P，Q，都有，则称线段的长为图形W的“直线l”关联值． （1）如图，点，，． ①的“y轴”关联值为            ； ②若的“直线”关联值为，则m的值为            ； （2）已知边长为d的菱形的两条对角线分别平行于x，y轴，，若存在直线m（记直线m与x轴的夹角为），使得且菱形的“直线m”关联值为2，直接写出d的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期九年级数学10月练习 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 风车纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 如果，那么下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例性质，熟记比例性质恒等变形验证选项是解决问题的关键． 通过比例性质，恒等变形逐一验证选项即可得到答案． 【详解】解：A：由比例性质，交换选项式子中和的位置得到，选项结论错误，不符合题意； B：由比例性质，交换选项式子中和的位置得到，选项结论正确，符合题意； C：由比例性质，题目中式子交叉相乘得到，与选项中的式子不一致，选项结论错误，不符合题意； D：由比例性质，题中式子，不一定等于、不一定等于，比如取，也满足，但，选项中的结论不一定正确，不符合题意； 故选：B． 3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置确定， 的取值范围及正负性，结合绝对值的性质及有理数的大小比较法则进行判断． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，， A：∵，， ∴， ∴A不符合题意； B：∵， ∴， 又 ∵， ∴， ∴B不符合题意； C：∵，根据绝对值的性质可得 ， ∴C符合题意； D：∵，， ∴， ∴D不符合题意． 4. 如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：三角尺的直角顶点在直线上，且直角等于， ， ， ． 5. 再生水利用提升工程是北京市“十五五”时期美丽北京建设的重大工程之一．北京市一家在建的再生水厂建成后每天能够供应高品质再生水．若一年按365天计．则该再生水厂建成后，一年能够供应的高品质再生水的总量用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵每天供应量为，一年按365天计算 ∴一年总供应量为： 因此结果为． 6. 如图，D是的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由相似三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：，，∽，故选项A不符合题意； ，，∽，故选项B不符合题意； ，但无法确定与是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C符合题意； 即，，∽，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 7. 大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割的意义，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ． 8. 如图，分别为正六边形各边上的动点（不与顶点重合），且六边形也是正六边形，它们的中心都是点，连接交于点．当时，给出下面四个结论： ①； ②的最小值为； ③； ④的最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先用正六边形的性质以及三角形的外角的性质证明可得，再根据线段的和差可判断①；如图：连接、、，则是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，如图：过O作，根据三线合一和勾股定理可得、，再根据垂线段定理可判断②；根据三角形的外角以及三角形内角和可知，，结合可判断③；证明可得，要使最大，则需最小，即最小，由的最小值为，进而求得的最小值，最后求得的最大值． 【详解】解： ∵正六边形和正六边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即①正确； 如图：连接、、，则是等边三角形， ∴，， 如图：过O作， ∴， ∴， 由垂线段最短可知：，即的最小值为， ∴的最小值为，即②错误； ∵，， ∵， ∴， ∴，即③错误． 由题意可知：， ∵， ∴， ∴，则， 要使最大，则需最小，即最小， ∵的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为，即④正确． 综上，①④正确． 故选C． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】已知的值，将所求分式拆分变形后，代入已知条件即可计算出结果． 【详解】解：将所求分式拆分变形，得， ∵， ∴原式． 10. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分式的分母不等于，列不等式求解即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ∴实数x的取值范围是． 11. 如图，已知，其中，，则与的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面处（镜子的大小不计），旗杆底端到镜子的距离，小明竖直站在距镜子的处，眼睛到地面的距离，且点在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端的像．，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即，则旗杆的高为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：，， ∴， 又∵， ， ， ， ， 答：旗杆的高为， 故答案为：12． 14. 如图，四边形与四边形相似，位似中心点是O，，则__. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似， ∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC， ∴， ∴． 故答案为 15. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 16. 如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形． 【答案】或或 【解析】 【分析】设，则，与是相似三角形时，分，两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：设，则， 分两种情况： 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得或； 综上可知，当为或或时，与是相似三角形． 三、解答题（共68分，第17-21题每题5分，第22-24题每题6分，第25题5分，第26题8分，第27题7分，第28题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算、、、这四项的值，再依次进行加减运算得到最终结果． 【详解】解：原式 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原不等式组为 解不等式①，得 解不等式②，得． 所以原不等式组的解集为． 19. 网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF． 【答案】 证明：∵ ， ∴． ∴△ABC∽△DEF． 【解析】 【分析】 【详解】略 20. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ， ， ， 原式． 21. 如图，，，． （1）求证：； （2）延长交于点，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． （1）由角的和差关系得出，根据，得出，即可证明； （2）根据相似三角形的性质得出，根据三角形内角和定理即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，交于， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个实数根为负数，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：对于方程， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，因式分解法解一元二次方程． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求证即可； （2）利用因式分解法求得方程的两个根，根据题意可得，，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 因式分解得， 即或， ∴， ∵ 方程有一个实数根为负数，且， ∴ ， ∴ ， 故的取值范围为． 23. 如图，矩形中，点为边上一动点，交于点． （1）求证：； （2）当时，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，可得出，从而得出，利用两角对应相等的三角形相似得出结论； （2）由，得，得出，证明，运用相似三角形的性质可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 24. 在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 【答案】A类机器人的速度为，比赛起点到终点的路程为 【解析】 【分析】根据赛道总路程不变，设A类机器人速度为，得出全程路程；再根据B类成绩规则，由公示成绩算出它含维护的实际总耗时，拆分出两段行驶时长与对应速度，将两段行驶路程相加，与总路程相等建立方程求解． 【详解】设这台A类机器人的速度为， 由题意可知，， 解得， 所以， 答：这台A类机器人的速度为，此次比赛从起点到终点的路程为． 25. 若干名学生参加编程比赛，比赛共8轮，每轮有3道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的数量（得分为整数）．已知甲、乙两名学生8轮得分的情况如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲8轮得分的平均数为________，乙8轮得分的平均数为________； （2）记甲、乙8轮得分的方差分别为和，则________（填“”“”或“”）； （3）如果丙8轮得分的中位数为，那么丙8轮得分的平均数是不是一定大于乙8轮得分的平均数？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】（1）2；2 （2） （3）不是，当丙8轮的得分分别为0，0，0，2，3，3，3，3时，丙8轮得分的中位数为，但平均数为，小于乙8轮得分的平均数． 【解析】 【分析】（1）根据统计图得出甲、乙的得分，进而求得平均数； （2）利用方差公式即可求解； （3）举例子说明． 【小问1详解】 解：甲8轮得分的平均数为：； 乙8轮得分的平均数为：； 【小问2详解】 解： ， ． 【小问3详解】 略 26. 科创小组分别用两台装置提取实验物质，当两台装置各自工作时，记录员分别记录了装置提取的实验物质的体积（单位：）和装置提取的实验物质的体积（单位：），部分数据如下： （1）补全表格（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上信息，解决问题： 若装置比装置早启动了，则装置启动___________时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为___________（结果保留小数点后一位）； 在的条件下，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取___________实验物质（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1） （2） 如图， （3）或，或； 【解析】 【分析】题考查了函数的图象与性质，描点法画函数图象，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据当时，，当时，，与是正比例函数，求出解析式即可； （）根据画函数图象方法步骤即可； （）根据题意将图象向上平移个单位，然后观察图象即可； 观察图象即可． 【小问1详解】 解：∵当时，，当时，， ∴与是正比例函数， 设， ∴，解得：， ∴， 当时，， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵装置比装置早启动了，如图， 根据图象可知，装置启动或时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为或， 故答案为：或，或； 在的条件下，根据图象可知，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取实验物质， 故答案为：． 27. 如图，在中，，，是上一点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作于点，延长，交于点． （1）求证：； （2）在上截取（点在点右侧），连接交于点，依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：在中，， ∴， 由旋转性质得：，， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得，由旋转性质得，，进而得，由此依据“”判定和全等得，据此即可得出结论； （2）依题意补全图形即可；过点F作交于点，由结合平行线分线段成比例定理可得，证明和全等得，同理可得，据此即可得出线段与的数量关系． 此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意补全图形如图1所示： 线段与的数量关系是：，证明如下： 过点作交于点，如图2所示： ∴ ∵， ∴， ∵于点，延长，交于点， ∴， 由（1）可知：， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于直线l和图形W给出如下定义：若图形W上存在点M，N，，对于图形W上任意满足的点P，Q，都有，则称线段的长为图形W的“直线l”关联值． （1）如图，点，，． ①的“y轴”关联值为            ； ②若的“直线”关联值为，则m的值为            ； （2）已知边长为d的菱形的两条对角线分别平行于x，y轴，，若存在直线m（记直线m与x轴的夹角为），使得且菱形的“直线m”关联值为2，直接写出d的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①在线段上任取一点作于点，由可得的“y轴”关联值为；②符合题意且长度为的线段只有线段，求出解析式即可得出m的值； （2）与相交于点，设菱形的“直线m”关联值为，求出菱形的“直线m”关联值的最大值和最小值即可求出d的取值范围． 【小问1详解】 解：①如图所示，在线段上任取一点作于点， ∴轴， ∵， 又∵，， ∴， ∴的“y轴”关联值为； ②∵，，， ∴，，， ∵，，， ∴符合题意的线段不能在边、、上，也不能与这三条边平行， ∴符合题意且长度为的线段只有线段，如图所示， 设直线解析式为， 将，代入得， ，解得， ∴， 由题意得，直线与平行， ∴． 【小问2详解】 解：如图所示，与相交于点， 设菱形的“直线m”关联值为， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当轴时，此时可使时，“直线m”关联值取最大值， 当时， ∵， ∴边与直线m平行， ∴此时“直线m”关联值取最小值， ∴当，菱形的“直线m”关联值的范围为， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $