4.5.2用二分法求方程的近似解教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修·第一册~2026-2027学年·4.5.2用二分法求方程的近似解 一、教学内容解析 本节课的核心是引导学生理解二分法的思想并掌握求方程近似解的操作步骤。内容建立在函数零点存在定理的基础上，通过不断取区间中点、判断中点函数值符号、缩小区间范围，直至达到预设精度要求。教学重点在于体会无限逼近的数学思想，难点在于理解为何区间长度小于误差要求时，区间中点即可作为方程的近似解。 本课不仅是一项具体的数值计算方法，更是培养学生逻辑推理与直观想象的重要载体。通过实际操作，学生能深刻体会算法思维与程序化步骤，为后续学习算法基础做铺垫。教学中需强调二分法的适用条件，即函数图像在指定区间内连续且不间断，同时引导学生思考如何根据精度要求确定二分区间的次数。 本节课是《普通高中教科书·数学（人教A版）》在必修第1册第4章第5节的第2课时，为了强化函数的应用，数学教材在学习本节内容前已将函数零点引入。本节教材是在学生学习了利用函数的零点来解决方程的解的问题的基础上，进一步研究方程的近似解，从中体会函数与方程之间的关系。二分法求方程的近似解既是函数的应用之一，又可以渗透逼近和算法的思想，并为以后解决比较大小、导数等问题奠定基础。这节教材对于培养学生数形结合、化归与转化的思想、利用信息技术解决数学问题能力以及数学抽象的能力也具有重要的意义。 二、教学目标解析 学生能结合二次函数与指数函数图象，判断给定方程在指定区间内是否存在实数解，体会数形结合思想。通过画图与观察，理解变号零点与不变号零点的差异，明确二分法适用的前提是函数图象穿过横轴。 借助连续函数的性质，学生经历不断取区间中点、比较端点函数值符号并缩小区间的操作过程，归纳出用二分法求方程近似解的步骤。在反复操作中体会逼近思想，理解精确度对终止迭代的作用，能按给定精确度求出近似解。 在探究中感受算法思维与化归思想，养成严谨求实的态度，提升逻辑推理与数学运算素养。 三、学情分析 学生在前几节课已经掌握了函数零点存在定理，能判断零点所在的大致区间，这为探究二分法提供了认知基础。但该定理仅能判定存在性，无法给出精确解，学生在面对实际求解需求时会产生认知冲突，具有探索近似解的内在动力。 从思维特点看，高一学生具备一定的抽象逻辑思维，但将“不断取区间中点”的无限逼近过程转化为具体的算法步骤仍有困难。尤其是对“精确度”与“准确值”的区别理解不深，容易在判断区间端点何时停止迭代时产生混淆。 此外，学生虽具备基本运算能力，但面对多次迭代计算时容易出错且缺乏耐心。教学需借助直观图象与表格梳理数据，帮助学生跨越从直观感知到算法建构的障碍，同时培养严谨的计算与检验习惯。 学生在初中阶段已学习了如何求解一元一次、二次方程的根，并在本册数学书的第2章也学习了一元二次函数、方程，初步了解了函数与方程之间的联系；在本册数学书的第3、4章深入研究了一系列基本初等函数的图像和性质后，学生对数形结合思想有了深入的认识，并在本节内容之前，已经进一步体会了函数零点与方程的根的关系，这些都为求方程的近似解提供了依据。并在以往教学经验中发现，学生对于“精确度”的理解相对困难，这将给学生对本节课的学习造成一定困难。 四、教学过程 1.复习引入，温故知新（5分钟） 同学们，咱们之前学了函数零点的概念，知道求方程的实数根，其实也就是求对应函数的零点。并且咱们掌握了零点存在定理：如果函数在区间左端点处的函数值与右端点处的函数值符号相反，那么这个函数在该区间内至少有一个零点。 现在请大家思考一个具体问题：已知某个函数在区间从一到二上的左端点处函数值为正数，右端点处函数值为负数。根据定理，该区间内肯定有零点。但这个零点到底在区间中点左侧还是右侧呢？ 如果咱们把区间中点一点五代入函数，发现函数值也是正数。那结合端点值的符号，零点肯定落在哪一半区间内？对，会落在一点五到二这个更小的区间里。照这样不断取中点，区间长度会越来越小，最终零点的位置也就越来越精确。今天咱们就顺着这个不断对半缩小区间的思路，来学习如何求方程的近似解。 2.公式代换，发现新知（8分钟） 二分法求方程的近似解 引导语 通过前一节课的学习，我们根据函数零点存在定理和函数单调性可以确定方程实数解的个数，今天进一步研究利用函数求方程的近似解. 问题：我们已经知道函数在开区间（2,3）内存在一个零点，如何求出这个零点？ 追问1：你能求出函数零点的精确值吗？为什么？ 师生活动：学生根据经验简单判断，思考. 教师补充：大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.（比如：当精确度为时：只要近似值与精确值之差的绝对值小于即可） 追问2：当精确度为0.5时，你能得到一个符合要求的零点的近似值吗？ 师生活动：学生可以想到：零点在区间内，数轴上2和3之间的距离为1，它们的中点与零点的距离一定小于0.5，因此精确度为0.5时，可以取2.5作为一个零点的近似值. 教师给出区间的中点的定义：一般地，         称为区间       的中点. 追问3：当精确度为0.5时，3可以看做零点的一个近似值吗？为什么？ 师生活动：学生思考：零点是在内，还是在内呢？这时就要考虑 的符号. 由计算工具算得，由可知，零点在区间内，由数轴上和之间的距离为0.5可知,零点和之间的距离小于0.5，因此，可以看做零点的一个近似值. 追问4：根据追问2和3的回答，当精确度缩小到0.01时，为了得到函数零点的近似解，我们至少需要将零点所在区间缩小到什么程度？你将采取怎样的办法来逐步缩小零点所在区间？ 师生活动：学生思考：当精确度为0.01时，长度小于0.01的零点所在区间内的任意实数都可以是零点的近似值，为此至少需要将存在零点的区间长度缩小到小于0.01. 根据追问2和3的回答，可以通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半，达到缩小零点所在区间的目的. 教师总结：通过以上问题的思考和回答可知，如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值. 为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围. 具体地，就是通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小到长度小于精确度的范围. 设计意图：通过研究如何求函数的零点，使学生理解二分法的基本原理. 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0 的函数y=f(x), 通过不断地把函数y=f(x) 的零点所在的区间一分为二 ,  使区间的两个端点逐步逼近零点 ,  进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection). 思考(1): 二分法的理论依据是什么？ 思考(2): 你能说说求y=f(x)零点x0的主要步骤吗？在这样的过程中要注意什么问题？ 思考(3): 想一想，且二分法求y=f(x)零点要注意哪些问题？ 函数零点存在定理。 因此，二分法只适用于求函数的变号零点(图象在零点处穿过x轴，即两侧函数值异号的零点)，对于函数的不变号零点则不适用，如函数f(x)=(x-1)2的零点。 1．确定零点x0的初始区间[a，b],验证f(a)·f(b)<0. 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． (1)注意题目要求的精确度，它决定着二分法何时结束； (2)初始区间的一般选在在两个整数间，且尽可能小一些； (3)在第四步中，一般由|a－b|<ε取零点近似值为a或b. 【设计意图】通过对二分法概念的辨析，发展学生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养； 3.课堂探究，公式证明（12分钟） 用二分法求方程的近似解 一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．取区间（２，３）的中点2.5，用计算工具算得f（ 2.5 ）≈－0.084．因为f（ 2.5 ）f（３）＜０，所以零点在区间（ 2.5 ，３）内． 再取区间（ 2.5 ，３）的中点2.75 ，用计算工具算得f（ 2.75 ≈0.512．因为f（ 2.5 ）f（ 2.75 ）＜０，所以零点在区间（ 2.5 ， 2.75 ）内． 由于（２，３）（2.5，３）（2.5，2.75），所以零点所在的范围变小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小,这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值． 概念解析： 1．二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·_f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？ 连续不断；f(a)·f(b)<0；一分为二；零点 [提示] 二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解． 2. 二分法求函数零点近似值的步骤 f(a)·f(b)<0；f(c)=0；b=c；(a，c)；f(c)·f(b)<0；(c，b)；|a－b|<ε 【设计意图】通过特殊的方程求解问题的探究，推广一般的方程求解问题的方法，即二分法，；发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 4.几何解释，加深理解（5分钟） 我们在前序环节中明确了二分法的代数步骤，现在从函数图象的角度加深理解。假设函数在区间内有连续不断的图象，且区间两端点的函数值异号，这就意味着图象在穿过横轴时必然产生了一个交点，这个交点的横坐标就是我们要找的零点。每次取区间的中点，其实就是在图象上切一刀，把包含交点的那一段图象保留下来，不断舍弃没有交点的另一半。每次取半的操作，使得交点所在的区间长度不断缩小，图象被不断逼近至一个极小的局部。 从几何直观上看，随着区间长度不断减半，区间端点对应的函数图象上的点越来越靠近横轴上的交点。当区间长度小于预设的精确度要求时，这段极短图象与横轴的交点，或者区间内任意一点对应的横坐标，都已经无限贴近真实的零点。这种取半缩小的过程，在几何上就是把大范围的不确定性逐步压缩成极小范围的过程。学生结合图象的动态变化，能直观感受到区间逼近与零点收缩的一致性，从而明白为何最终区间内的任意值都可作为近似解。 5.学以致用，迁移内化（8分钟） 问题：当精确度为0.01时，如何求函数零点的近似值？ 师生活动：学生阅读课本第145页第二段，根据问题1的研究，取区间的中点，算得， 因为，             所以零点在区间内.再取区间的中点用计算工具算得.因为，所以零点在区间内. 我们可重复这样的步骤，继续缩小零点所在区间，直到区间长度小于0.01为止，如表2,见课本第145页. 追问：根据填好的表格，请你给出函数零点的近似值. 师生活动：学生可以想到区间（2.53125，2.5390625）内任意一点都可以作为零点的近似值. 设计意图：通过求函数的零点在一定精确度下的近似值，体会二分法的实施过程. 问题：在问题2中，我们用怎样的方法求函数零点近似值？你能归纳总结形成二分法的定义吗？ 师生活动：学生思考：通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，得到零点近似值. 对于在某一区间上函数图象连续不断，且区间端点的函数值的乘积符号为负的函数，都可以利用这种方法来求零点的近似值. 教师在学生回答的基础上形成“二分法”的定义：对于区间上的连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似解的方法叫做二分法.二分法是求方程近似解的常用方法. 设计意图：通过归纳总结形成二分法的定义. 问题：根据求函数零点的近似值的过程，你能提炼出给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤吗？ 师生活动：学生阅读课本第145页第五段，归纳用二分法求函数零点的近似值的一般步骤： （1）确定零点的初始区间，验证. （2）求区间中点.（3）计算，并进一步确定零点所在区间： ①若（此时，）,则就是函数零点； ②若（此时，），则令； ③若（此时，），则令.4. 判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值为（或）；否则重复步骤2～4. 设计意图：根据求函数零点的近似值的过程，提炼出用二分法求函数零点近似值的一般步骤. 6.巩固运用，深化理解（5分钟） 例  借助信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）.见课本第146页 例题分析：原方程即，令，用信息技术画出函数的图象（图1），并列出它的对应值表（表1）. 图1 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) -6 -2 3 10 21 40 75 142 273 表1 师生活动：老师提问同学作答，观察图2或表3可知，说明该函数在区间内存在零点. 取区间的中点，用信息技术算得，因为，所以. 再取区间的中点，用信息技术算得，因为，所以. 同理可得，，.由于，所以，原方程的近似解可取为1.375（1.4375也可以）. 设计意图：通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤，学会用二分法求方程的近似解. 7.回顾反思，提高升华（2分钟） 本节课的核心在于让学生经历从具体到抽象的探究过程。回顾课堂，学生通过不断对分区间寻找零点，切实体会了逐步逼近的数学思想。教学时需着重强调两个易错点：一是初始区间的端点必须满足函数值异号，二是要明确精确度要求与区间长度之间的关系。部分学生在实际计算时容易混淆区间端点的更新规则，后续教学可在此处增加一步口述检验环节，即每次取中点后，先让学生大声说出新端点的选取依据，再进行操作。 引导学生反思二分法的局限性同样重要。该方法虽然操作机械且易于编程，但只能求出方程的近似解，且收敛速度相对较慢。通过对比不同求根方法的优劣，能帮助学生树立辩证看待算法的意识。课后请学生思考：若想提高近似解的精确度，计算步骤会如何变化？以此加深对算法特征的理解。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $