4.5.2 用二分法求方程的近似解 说课稿-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦用二分法求方程的近似解，通过回顾一元二次方程求根方法，提出lnx + 2x - 6 = 0等无求根公式的方程，利用函数零点存在定理确定根所在区间，搭建函数零点与方程解的知识支架。 特色在于情境创设与问题驱动结合，通过“取中点、判符号、缩区间”实例操作，渗透数学抽象（概括步骤）、数学运算（计算器辅助）、直观想象（图象理解）素养，培养学生探究能力和严谨态度，为教师提供清晰教学流程和应用案例，提升教学效果。

《4.5.2 用二分法求方程的近似解》说课稿 尊敬的各位评委老师： 大家好！我是06号考生。 今天我说课的题目是人教A版高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》第五节《4.5.2 用二分法求方程的近似解》。下面我将从说教材、说学情、说教法学法、说教学过程、说板书设计五个方面展开我的说课。 一、说教材 1. 教材的地位与作用 用二分法求方程的近似解是人教A版高中数学必修第一册第四章“指数函数与对数函数”的重要内容。本节主要学习用二分法求方程的近似解，充分体现了本套教材的数学应用意识，因此数学应用意识的培养与数学思想的渗透是本节教学的重要任务。 通过建立函数模型以及运用模型解决问题，学生能够体会二分法在生活中运用的巧妙性与实用性。根据具体的函数，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，沟通了函数、方程、不等式等高中知识，体现了二分法的工具性和实用性，同时也渗透了函数与方程思想、数形结合思想、算法思想和逼近思想。本节所涉及的核心素养主要有数学抽象、直观想象和数学运算等。 2. 教学目标 根据新课标要求和教材特点，我制定了以下教学目标： 1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，达到数学运算核心素养学业质量水平一的层次。 2.能借助计算工具、信息技术用二分法求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，达到直观想象核心素养学业质量水平一的层次。 3.通过让学生概括二分法的思想和步骤，培养学生的归纳概括能力、探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次。 4.在二分法的学习过程中，体会函数与方程的联系、数形结合思想、算法思想和逼近思想，感受“一分为二”的数学方法在学习和生活中的广泛应用。 以上四个维度相互融合、相互渗透，共同指向“数学抽象”“直观想象”“数学运算”等核心素养的培育。 3. 教学重难点 重点：用二分法求方程的近似解。 难点：二分法原理的理解，以及精确度概念的准确把握。 二、说学情 明确了“教什么”之后，我们还要了解“教给谁”。 1. 知识基础 对学生而言，前面已经学习了函数的概念、基本性质以及函数的零点与方程的解等内容，知道一元二次方程可以用判别式判定根的存在性，也可以用求根公式求方程的根。学生具备了一定的抽象理解能力，能够从函数的角度认识方程的根，这为学习用二分法求方程的近似解奠定了知识基础。 2. 认知特点 高一学生对函数知识的主要印象是抽象的，他们最想问的问题可能就是“函数知识有什么用？”。所以尽管他们经历了初中和高一前期对函数的学习，但在数学应用意识和应用能力方面仍然有待提高。同时，计算能力和准确表述解答过程的能力也需要进一步加强。此外，学生对“近似”“逐步逼近”等思想的理解还不够深刻，对二分法 algorithmic 的操作步骤容易出现混淆。这些都是进行本节教学必须考虑到的学生因素。 三、说教法学法 基于学情分析，我采用以下教法与学法： 教法方面： 第一，情境创设法。以“如何求方程 ln x + 2x − 6 = 0 的根？”这一实际问题引入，让学生感受到已有求根方法的局限性，从而产生学习新方法的强烈需求。 第二，问题驱动法。通过“方程有没有根？”“根在哪个区间？”“如何逐步缩小根的范围？”“什么时候停止计算？”等问题串，引导学生主动思考、合作探究二分法的原理和步骤。 第三，讲授法与合作交流相结合。二分法的概念和一般步骤以教师引导、师生共同归纳为主；具体的计算操作以学生的自主探究和合作交流为主，教师适时点拨。 第四，信息技术辅助法。充分利用计算器和计算机等信息技术工具，让学生体会计算机辅助计算的便利性，同时借助函数图象直观理解二分法的几何意义。 学法方面： 引导学生采用自主探究与合作交流相结合的方式。在情境引入环节，学生独立思考已有方法的局限性；在合作探究环节，学生动手计算、填表、逐步缩小区间；在概念形成环节，学生尝试用自己的语言归纳二分法的定义和步骤；在应用举例环节，学生独立完成练习后小组交流、互相补充。每个环节结束后，学生参与归纳方法与步骤，主动建构用二分法求方程近似解的知识体系。 四、说教学过程 这是本节课的核心。下面我将重点阐述教学过程，本节课我设计了 5 个教学环节： 环节一：情境引入，提出问题 上课伊始，我带领学生回顾已经学过的求方程根的方法：一元二次方程可以用判别式判定根的存在性，也可以用求根公式求出方程的根。随后提出问题：对于一般的方程，例如 ln x + 2x − 6 = 0，虽然可以用零点存在定理判定根的存在性，但没有求根公式，我们应该如何求得它的根呢？ 学生思考后，教师引导学生从函数的角度分析问题：设 f(x) = ln x + 2x − 6，则方程 ln x + 2x − 6 = 0 的根就是函数 f(x) 的零点。通过计算可以发现 f(2) ≈ −1.31，f(3) ≈ 1.10，因此 f(2)·f(3) < 0，说明函数 f(x) 在区间 (2,3) 内有零点，即方程在 (2,3) 内有根。那么如何求得这个根的近似值呢？由此自然引入本节课的课题——用二分法求方程的近似解，随即板书课题。 【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并回顾旧知；教师引导学生利用零点存在定理确定根所在的区间，制造认知冲突。 【设计意图】通过学生熟悉的方程求根问题引入，让学生感受到已有知识的局限性，激发学习新方法的兴趣和求知欲。 环节二：合作探究，形成方法 这是本节课的基础环节。我引导学生思考：既然已经知道方程的根在区间 (2,3) 内，如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到零点的近似值。如何缩小这个范围呢？学生讨论后，教师引出“取中点”的方法。 师生共同完成如下操作：取区间 (2,3) 的中点 2.5，用计算器算得 f(2.5) ≈ −0.084。因为 f(2.5)·f(3) < 0，所以零点在区间 (2.5,3) 内。再取区间 (2.5,3) 的中点 2.75，用计算器算得 f(2.75) ≈ 0.512。因为 f(2.5)·f(2.75) < 0，所以零点在区间 (2.5,2.75) 内。 重复上述步骤，零点所在的范围会越来越小。师生共同填写如下表格： 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 (2,3) 2.5 −0.084 (2.5,3) 2.75 0.512 (2.5,2.75) 2.625 0.215 (2.5,2.625) 2.5625 0.066 (2.5,2.5625) 2.53125 −0.009 (2.53125,2.5625) 2.546875 0.029 (2.53125,2.546875) 2.5390625 0.010 (2.53125,2.5390625) 2.53515625 0.001 例如，当精确度为 0.01 时，由于 |2.5390625 − 2.53125| = 0.0078125 < 0.01，所以我们可以将 x = 2.53125 作为函数 f(x) = ln x + 2x − 6 零点的近似值，也即方程 ln x + 2x − 6 = 0 的近似解。 【师生活动】教师引导学生利用计算器逐步计算中点函数值，学生分组填表、讨论，共同缩小区间范围。 【设计意图】通过具体实例的操作，让学生经历“取中点、判符号、缩区间”的完整过程，为抽象概括二分法的定义和步骤提供感性经验。 环节三：抽象概括，明确步骤 这是本节课的核心环节，重点突破二分法的概念和一般步骤。教师引导学生从上述具体操作中进行抽象概括： 一般地，对于在区间 [a,b] 上图象连续不断且 f(a)·f(b) < 0 的函数 y = f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 给定精确度 ε，用二分法求函数 y = f(x) 零点 x₀ 的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点 x₀ 的初始区间 [a,b]，验证 f(a)·f(b) < 0； （2）求区间 (a,b) 的中点 c； （3）计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间： 　　① 若 f(c) = 0（此时 x₀ = c），则 c 就是函数的零点； 　　② 若 f(a)·f(c) < 0（此时 x₀ ∈ (a,c)），则令 b = c； 　　③ 若 f(c)·f(b) < 0（此时 x₀ ∈ (c,b)），则令 a = c； （4）判断是否达到精确度 ε：若 |a − b| < ε，则得到零点近似值 a（或 b）；否则重复步骤（2）～（4）。 教师特别强调：使用二分法的前提是函数在区间 [a,b] 上的图象连续不断，且 f(a)·f(b) < 0；精确度 ε 决定了近似值的精确程度，也是算法终止的条件。 【师生活动】教师引导学生从特殊到一般归纳二分法的定义和步骤；学生尝试用自己的语言表述，教师补充完善并板书。 【设计意图】通过抽象概括，帮助学生从具体计算上升到算法步骤的理解，培养数学抽象和逻辑推理素养。 环节四：应用举例，巩固迁移 这是知识内化的环节，通过典型例题和练习帮助学生掌握二分法的应用。 例：借助计算器或计算机用二分法求方程 2ˣ + 3x = 7 的近似解（精确度为 0.1）。 教师引导学生分析：原方程即 2ˣ + 3x − 7 = 0，令 f(x) = 2ˣ + 3x − 7。通过列表或画图可知 f(1) = −2，f(2) = 3，因此 f(1)·f(2) < 0，说明函数在区间 (1,2) 内存在零点。接下来按照二分法的步骤逐步计算： 取 (1,2) 的中点 x₁ = 1.5，f(1.5) ≈ 0.33，因为 f(1)·f(1.5) < 0，所以 x₀ ∈ (1,1.5)； 再取 (1,1.5) 的中点 x₂ = 1.25，f(1.25) ≈ −0.87，因为 f(1.25)·f(1.5) < 0，所以 x₀ ∈ (1.25,1.5)； 同理可得 x₀ ∈ (1.375,1.5)，x₀ ∈ (1.375,1.4375)。 由于 |1.375 − 1.4375| = 0.0625 < 0.1，所以原方程的近似解可取为 1.375。 巩固练习： 1. 借助计算器或计算机，用二分法求函数 f(x) = x³ + 1.1x² + 0.9x − 1.4 在区间 (0,1) 内的零点（精确度为 0.1）。 2. 借助计算器或计算机，用二分法求方程 x = 3 − lg x 在区间 (2,3) 内的近似解（精确度为 0.1）。 学生独立完成练习后小组交流，教师巡视指导，提醒学生注意精确度的要求和区间的正确选择。 【师生活动】教师示范例题的规范解法，学生独立完成巩固练习；教师巡视指导，针对区间选择和精确度判断等易错点进行重点强调。 【设计意图】通过例题和分层练习，巩固二分法的操作步骤，提升学生的数学运算能力和严谨性。 环节五：归纳小结，布置作业 我请学生自主分享本节课的收获，围绕两个方面进行归纳：第一，知识层面——①二分法的概念及其适用条件；②用二分法求函数零点近似值的一般步骤；③精确度 ε 的意义及判断方法。第二，方法层面——函数与方程思想、数形结合思想、算法思想、逼近思想。通过学生相互交流收获与体会，并进行反思，关注学生的自主体验。 作业布置：基础巩固——教材第155页习题4.5第4题；能力提升——教材第155页习题4.5第5题；拓展思考——查阅资料，了解二分法在查找电线故障点、商品估价、猜数字游戏等生活中的应用。通过分层作业使学生对所学内容得到巩固，并为有余力的学生提供进一步学习的机会。 【师生活动】学生自主梳理知识，教师点评完善；作业分层设计，兼顾基础与拓展。 【设计意图】课堂小结回扣教学目标，帮助学生形成清晰的知识结构；分层作业既巩固新知，又引导学生感受数学的应用价值。 五、说板书设计 我的板书力求简洁清晰、重点突出，便于学生笔记和课后复习。左侧呈现课题及问题引入（方程 ln x + 2x − 6 = 0 如何求根）；中间核心区域呈现新课内容（二分法的定义、用二分法求函数零点近似值的一般步骤）；右侧对应展示例题（方程 2ˣ + 3x = 7 的近似解求解过程）和小结（二分法的定义与步骤）。整体结构一目了然，概念原理与例题分析、巩固训练三栏对应清晰，知识点之间的逻辑关系清晰可辨。 总之，我希望通过本节课的教学，学生收获的不仅是用二分法求方程近似解的方法与步骤，更是对“函数与方程”“数形结合”“算法思想”“逐步逼近”等数学思想方法的深刻体验，以及运用数学知识解决实际问题的能力。我的说课到此结束，感谢各位评委老师的聆听！ 学科网（北京）股份有限公司 $