专题01 空间向量与立体几何（期中知识清单）高二数学上学期期人教B版

专题01 空间向量与立体几何（知识清单） 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 空间向量的相关概念 1.空间向量：在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量，用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，如向量 的大小记作 ． 2.相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量；同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量，向量可以自由平移． 3.共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，规定零向量与任意向量共线；共线向量不一定在同一条直线上，平移后共线即可． 4.共面向量：平行于同一个平面的向量叫做共面向量；空间中任意两个向量总是共面的，三个向量不一定共面． 5.零向量：模为 的向量，记作 ，其方向是任意的；零向量不能作基底，也不能作除数． 6.特别提醒：向量比的是方向和大小，与起点位置无关；比较两个向量是否相等，要同时看方向与模，缺一不可． 知识点02 空间向量的线性运算 1.加法与减法：与平面向量一样，服从三角形法则与平行四边形法则，如 ，． 2.数乘运算：实数 与向量 的乘积 仍是向量； 时与 同向， 时反向，． 3.运算律：加法交换律、结合律以及数乘对加法的分配律都成立，如 ． 4.首尾相接法则：若干向量首尾相接，和向量等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点． 5.线性表示：空间中任一向量都可以用不共面的三个向量线性表示，表示方式不唯一． 6.特别提醒：数乘的结果是向量不是数；化简向量等式时，把所有向量都化到同一条"链"上再运算，不容易出错． 知识点03 共线向量定理与共面向量定理 1.共线向量定理：对向量 、（）， 的充要条件是存在唯一的实数 ，使 ． 2.共面向量定理：若两个向量 、 不共线，则向量 与 、 共面的充要条件是存在唯一的实数对 ，使 ． 3.空间一点 位于平面 内的充要条件：存在有序实数对 ，使 ． 4.四点共面的向量证法：对空间四点 、、、，若存在实数 、、 使 且 ，则 、、、 四点共面． 5.特别提醒：使用共线向量定理时必须注意 这一前提； 唯一，可以作为证明题的依据． 知识点04 空间向量的数量积 1.夹角：已知两个非零向量 、，在空间中任取一点 ，作 ，，则 叫做向量 与 的夹角，记作 ，范围是 ． 2.数量积的定义：，结果是一个数量，也叫点积． 3.运算性质：；；． 4.垂直的充要条件：对非零向量， 的充要条件是 ． 5.求模：；，这是求模与夹角的重要工具． 6.特别提醒：数量积不满足结合律， 是向量， 是另一个向量，二者一般不相等，更不能写成 ． 知识点05 空间向量基本定理 1.定理内容：如果三个向量 、、 不共面，那么对空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使 ． 2.基底：不共面的三个向量 、、 叫做空间的一个基底，其中每一个向量都叫基向量；基底不唯一，但同一向量在同一基底下的分解是唯一的． 3.基底选取：常选几何体中从同一顶点出发的三条棱所在向量作基底，如正方体、长方体、四面体中的 、、． 4.推论：若 、、 是空间的一个基底，则 、、 也是空间的一个基底． 5.特别提醒：基底中的向量必须两两不共面（等价于不共线且不共面），零向量不能作基向量；判断三个向量能否作基底，就是判断它们是否共面． 知识点06 空间向量的坐标运算 1.坐标表示：在空间中建立空间直角坐标系 （右手系），沿 轴、 轴、 轴方向的单位向量 、、 构成一个单位正交基底，任一向量 可唯一表示为 ，记作 ． 2.坐标运算：，，． 3.模与夹角：，． 4.方向向量与法向量：与直线 平行的非零向量叫 的方向向量；与平面 垂直的非零向量叫 的法向量，一个平面的法向量有无数个，它们互相平行． 5.坐标法三步曲：建立坐标系 写出点的坐标与向量的坐标 用坐标公式运算，这是用向量解立体几何问题的基本流程． 6.特别提醒：建系必须选两两垂直的三条直线为坐标轴，并遵循右手系；点在坐标面上时相应坐标为 ，不能漏写． 考点01 空间向量的线性运算 考点内容：空间向量的加减与数乘运算（三角形法则、平行四边形法则、数乘）；用不共面的三个基向量线性表示空间任一向量；向量表达式的化简与求值；由向量等式求参数． 常见考法： ① 用一组基向量表示空间中的向量：把目标向量沿"首尾相接"拆成已知向量的线性组合，系数即分解 ② 化简向量表达式：先统一到同一条"链"上，再用交换律、结合律、数乘分配律合并 ③ 判断向量共线/共面：共线看能否写成 ；共面看能否写成 ④ 由向量等式求参数：利用"同一基底下分解唯一"，比较系数列方程 ⑤ 求中点/重心对应的向量：中点用 ，重心用 易错提醒：加减运算抓"首尾相接、共起点"，化简时把所有向量统一到同一条链上． 考点02 共线与共面向量问题 考点内容：共线向量定理（）与共面向量定理（）；四点共面的向量证法（系数和 ）；基底与分解唯一性．；用共线/共面定理判定点、线、面的位置关系 常见考法： ① 证明两向量共线并求参数：用共线向量定理，存在唯一实数 λ 使 （注意 ） ② 证明三点共线：取两点构向量，证第三点构成的向量与之共线 ③ 证明四点共面：写成 ，或抓“系数和 ”快速判定 ④ 用共面向量定理分解向量：把目标向量表成两个不共线向量的线性组合 ⑤ 判断共线/共面：反用定理，找不到这样的 λ 或系数则不成立 易错提醒：用共线向量定理别忘了 ；四点共面可用"系数和为 "快速判定． 考点03 数量积与夹角、模 考点内容：数量积定义（，结果是数量）；运算律（交换、对加分配、结合于数乘）；求模 、求夹角、证垂直（）．；数量积与投影的关系（一个向量在另一向量方向上的投影） 常见考法： ① 求数量积：先定模与夹角，套 ② 求向量的模：用 或 展开 ③ 求两向量夹角：由 反求，注意 ④ 证明两向量垂直：证数量积为 0 ⑤ 用 展开求模/夹角：先平方再开方，避免直接算模 易错提醒：夹角范围是 ；求模先把模平方转化为数量积，再展开计算． 考点04 空间坐标系与坐标运算 考点内容：建立右手系空间直角坐标系（选共顶点三垂直棱为轴）；点/向量坐标的求法（向量坐标=终点−起点）；坐标法求模、夹角、数量积；方向向量与法向量． 常见考法： ① 建系：优先选几何体中共顶点的三条两两垂直棱为轴，遵循右手系 ② 由点/向量求坐标：向量坐标=终点坐标−起点坐标 ③ 坐标法求数量积、模、夹角：直接套坐标公式 ④ 由垂直/共线条件求参数：方向向量共线或法向量垂直列方程 ⑤ 中点坐标公式：中点坐标为两端点坐标的平均值 易错提醒：建系要选两两垂直的三线且遵循右手系；写坐标时零不能漏． 考点05 用向量证明平行与垂直 考点内容：直线方向向量（与直线平行的非零向量）；平面法向量（与平面垂直的非零向量，有无数个且互相平行）；线线/线面/面面平行与垂直的向量判定转化．；用法向量求二面角大小与点到平面的距离 常见考法： ① 求直线方向向量：取直线上两点的坐标差 ② 求平面法向量：设 ，与平面内两不共线向量垂直列方程组解 ③ 证线面平行/垂直：平行看方向向量⊥法向量且直线不在面内；垂直看方向向量∥法向量 ④ 证面面平行/垂直：平行看法向量共线；垂直看法向量垂直 ⑤ 由位置关系反求参数：把平行/垂直翻译成方向向量与法向量的关系列方程 易错提醒：线线垂直看 ；线面垂直看方向向量与法向量共线；证线面平行还要说明直线在平面外． 考点06 用向量求空间角 考点内容：异面直线所成角（方向向量夹角取锐角/直角）；线面角（方向向量与法向量互余）；二面角（法向量夹角，需结合图形定锐钝）；由角求参数． 常见考法： ① 求异面直线所成角：，结果取 ② 求线面角：， ③ 求二面角：用法向量夹角余弦的绝对值，再回图形判锐钝 ④ 由空间角求参数：把角条件翻译成向量关系列方程 ⑤ 判断空间角范围：异面直线角、线面角取 [0,π/2]，二面角取 (0,π) 易错提醒：异面直线角取 、线面角取 ，用公式时取绝对值；二面角大小要结合图形定锐钝． 1 向量定理与数量积 序号 名称 公式（符号语言） 说明 1 共线向量定理 （） 唯一；零向量与任意向量共线 2 共面向量定理 、 不共线， 与它们共面 3 空间向量基本定理 、、 不共面，、、 唯一 4 数量积的定义 结果是数量；夹角范围 2 坐标运算与空间角 序号 名称 公式（符号语言） 说明 5 数量积的坐标运算 ， 6 向量的模 坐标法求模的基本公式 7 夹角公式 （非零） 8 空间角公式 线面角 ；二面角 为方向向量， 为法向量；锐钝角要结合图形判断 辨析01 零向量与任意向量共线 规定零向量与任意向量共线，所以判断共线时要留意零向量；反过来，零向量不能作基向量，共线向量定理中作为"基准"的 必须非零． 辨析02 共线向量不一定在同一条直线上 共线向量又叫平行向量，只要求方向相同或相反，向量可以自由平移，所以共线向量不一定在同一条直线上；同理，共面向量也不一定在同一个平面内，只要平移后能落进同一个平面即可． 辨析03 任意两个向量必共面，三个向量不一定共面 空间中任意两个向量总可以通过平移落到同一个平面内，所以必共面；但三个向量不一定共面，是否共面要用共面向量定理（能否写成 ）来判断． 辨析04 基底不唯一，但必须不共面 不共面的三个向量才能构成空间的一个基底；基底选取不唯一，同一向量在不同基底下的分解系数不同，但在同一基底下的分解是唯一的．零向量与共面向量组都不能作基底． 辨析05 数量积不满足结合律 数量积的结果是数量， 表示数乘向量，与 共线； 与 共线，两者一般不等，故 没有意义． 辨析06 向量夹角与异面直线所成角不是一回事 两个向量的夹角范围是 ，而异面直线所成角的范围是 ；当方向向量的夹角是钝角时，异面直线所成角取其补角，计算时对余弦取绝对值即可． 辨析07 线面角用正弦公式而不是余弦 设直线方向向量为 、平面法向量为 ，线面角 满足 ；因为方向向量与法向量的夹角和线面角互余，误用余弦会把角算成它的余角． 辨析08 二面角的大小要结合图形判断锐钝 两个半平面法向量夹角的余弦绝对值只能给出二面角的"大小数值"，究竟是锐二面角还是钝二面角，要回到图形中观察或用两个法向量的方向（同向指向还是异向指向）来判断． 辨析09 垂直的判定要区分三种情形 线线垂直：非零向量 ；线面垂直：直线方向向量与平面法向量平行；面面垂直：两平面法向量垂直．三者使用的向量关系不同，不能混用． 辨析10 建系要符合右手系且垂直关系要真实 空间直角坐标系的 、、 轴要两两垂直且遵循右手系；建系前必须确认所用棱确实互相垂直，若图形中没有三条两两垂直的线，就考虑用基底法而不是硬建系． 【题型一】空间向量的线性运算与共线 【例1】(25-26高二上·辽宁朝阳市朝阳联盟·期中)如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ） A．　　B． C．　　D． 【答案】C 【详解】.故选：C. 【变式1-1】(24-25高二上·河南许昌·阶段检测)下列命题是真命题的是（    ） A．在四面体中，　　 B．非零空间向量与可能不共面　　 C．与向量共线的单位向量是　　 D．若，，是三个空间向量，则 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误；对于B，空间中任何两个非零空间向量与均共面，故B错误；对于C，设与共线的单位向量为，则，所以，解得，所以与向量共线的单位向量是或，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D. 【变式1-2】(26-27高二上·山东聊城·阶段检测)若、、是不共面的向量，，，，则一定共线的三个点是（   ） A．、、　　B．、、　　C．、、　　D．、、 【答案】C 【详解】对于A选项，不妨设，则，因为、、是不共面的向量，则，矛盾，A不符合要求；对于B选项，，设，即，因为、、是不共面的向量，则，矛盾，B不符合要求；对于C选项，，故、、三点共线，C符合要求；对于D选项，设，即，因为、、是不共面的向量，则，矛盾，D不符合要求.故选 C． 【变式1-3】(25-26高二上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)（多选）已知空间向量，则（    ） A．是的必要不充分条件 B．若不共面，则也不共面 C．若，且，则　　 D．若，则 【答案】AB 【详解】对A：的充要条件是的大小相等，方向相同，故由可得，但当时，方向不一定相同，故A正确；对B：假设共面，则存在实数，使得，所以，所以共面，与条件矛盾，故B正确；对C：在空间直角坐标系中，三个坐标轴上的单位向量显然满足C中的条件，但任何两个都不相等，故C错误；对D：若，则不一定共线，故D错误.故选：AB. 【题型二】数量积与夹角、模 【例2-1】(26-27高二上·福建厦门·阶段检测)已知空间向量，的夹角为，且，，则为（   ） A．4　　B．　　C．8　　D． 【答案】B 【详解】因为，的夹角为，所以，所以 ，所以.故选 B． 【例2-2】(26-27高二上·河南平顶山·阶段检测)已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】因为向量在向量上的投影向量为:.故选 A． 【变式2-1】(26-27高二上·河北邯郸·阶段检测)已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】，故在上的投影向量.故选 C． 【变式2-2】(26-27高二上·福建厦门·阶段检测)已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由已知可得，，，所以，向量在向量上的投影向量是.故选 C． 【题型三】空间向量基本定理与基底 【例3】(25-26高二上·陕西西安·期末)在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】在平行六面体中，M为AB的中点，，有，又，则，所以．故选：C 【变式3-1】(26-27高二上·云南昭通·阶段检测)若是空间的一个单位正交基底，则能与向量构成空间的另一个基底的是（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】若向量与共面，则存在实数，，使得，，对各选项逐一验证：对于A：，假设，比较系数使，方程组有解，，三向量共面，不能构成基底，故A错误；对于B：假设，比较系数使由得，方程组无解，不存在实数得等式成立，三个向量不共面，可以构成基底，故B正确；对于C：假设，比较系数使，方程组有解，，向量共面，不能构成基底，故C错误；对于D：假设，比较系数使，方程组有解，，三向量共面，不能构成基底，故D错误.故选 B． 【变式3-2】(24-25高二上·浙江衢州·期中)已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A．　　B．　　C．0　　D．2 【答案】C 【详解】动点在平面上运动，且不共线，则存在实数，使.即，所以.又， 不共面，由空间向量基本定理可知，故，解得.即.因为四面体正四面体，且棱长为.所以，.所以.故选：C. 【题型四】空间向量的坐标运算 【例4】(26-27高二上·云南玉溪·开学考试)在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】若空间中两点关于平面对称，则它们的坐标相同，坐标互为相反数，综上点的对称点坐标为.故选 A． 【变式4-1】(25-26高二上·河南·阶段检测)在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为，点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为，所以点在坐标平面内的投影为点.故选：D. 【变式4-2】(26-27高二上·福建厦门·阶段检测)在空间直角坐标系中，点，，则（     ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】由，，则.故选 A． 【题型一】数量积运算中"约分"与结合律的错误 【例1】(26-27高二上·宁夏·阶段检测)已知空间中三点，，，则下列说法不正确的是（     ） A．与方向相同的单位向量的坐标是　　B．与夹角的余弦值是　　C．在上的投影向量的坐标是　 　D．两点间距离为 【答案】C 【详解】，对于选项A，由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确；对于选项B，，故B正确；对于选项C，在上的投影向量的坐标是，故C错误；对于选项D，两点间的距离即，故D正确.故选 C． 易错警示　数量积没有除法，不能约去公共向量； 与 是两个不同方向的向量，数量积不满足结合律． 【变式1-1】(23-24高二上·辽宁·阶段检测)在长方体中，，，，则（ ） A．　　B．　　C．3　　D．9 【答案】C 【详解】，，，.故选：C. 【变式1-2】(25-26高二上·河北·阶段检测)在棱长为的正四面体中，若，则（    ） A．2　　B．　　C．1　　D． 【答案】B 【详解】设正四面体的棱长为.由正四面体结构性质可知，而故， 故选：B. 【题型二】混淆向量夹角与异面直线所成角 【例2】(25-26高二下·湖北·期中)在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，因为正方体棱长为，则各点坐标为：，又因为为中点，所以，因为为中点，所以，即，，设异面直线与所成角为，则． 故选 B． 易错警示　方向向量的夹角范围是 ，异面直线所成角范围是 ；夹角为钝角时必须取补角，等价于对余弦值取绝对值． 【变式2-1】(24-25高二上·上海·期中)空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（    ） A．充分非必要条件　B．必要非充分条件　C．充要条件 　D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】由，可以推出与所成角为，但与所成角为时，或，所以是与所成角为的充分不必要条件.故选：A. 【变式2-2】(24-25高二上·辽宁锦州·期中)若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线，所成角的大小为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】向量与，得，而，则，所以直线，所成角的大小.故选：B 【题型三】线面角误用余弦公式 【例3】(24-25高二上·江西·阶段检测)在正方体中，，其中，则直线与平面所成角的大小为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】因为在正方体中，，所以，所以点在四边形内及边界（不含，）运动．在正方形中，设对角线与的交点为，由平面，平面，得，又，，平面，所以平面所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，则，所以在中，有，故选：D． 易错警示　线面角公式是 ，不是 ；因为方向向量与法向量的夹角 和线面角 互余，． 【变式3-1】(24-25高二上·福建莆田·阶段检测)在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线方程为．已知：在空间直角坐标系中，平面的方程为：，经过的直线方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】由题意可知，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，因为，因此，直线与平面所成角的正弦值为.故选：D. 【变式3-2】(23-24高二上·辽宁大连·期末)在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：”．用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则这两平面所成角的余弦值为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】由题意，平面和平面的法向量分别是，，设平面和平面的夹角为，故选：B. 【题型一】异面直线所成角的坐标求法 【例1】(25-26高二上·重庆北碚·期末)已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】由两条异面直线的方向向量分别是，，得，.故选：A 【变式1-1】(25-26高二上·江西南昌·期末)在平行六面体中，，．求直线与所成角的余弦值（   ） A．0　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】设，则，，因为，，则，则，故直线与所成角的余弦值为.故选：A 【变式1-2】(25-26高二上·安徽·阶段检测)已知空间向量，若，则（　　） A．-2　　B．-3　　C．2　　D．3 【答案】D 【详解】由，有，则，解得．故选：D． 【题型二】二面角的向量求法 【例2】(24-25高二下·安徽宿州·期中)已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】因为为平面的法向量，所以且.因为：；；.所以ACD都不是.因为，，所以B正确.故选：B 【变式2-1】(25-26高二上·辽宁大连市第八中学·期中)如图，直二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于.若，则线段的长度为（   ） A．　　B．　　C．2　　D． 【答案】B 【详解】因为，，，所以.又，所以.因为，，，，，由，所以 .所以.故选：B 【变式2-2】(25-26高二上·北京房山·阶段检测)已知平面的法向量，平面的法向量，则平面与的夹角为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】因为，所以，故，所以平面与的夹角为.故选：D 【题型三】向量的线性表示与存在性问题 【例3】(24-25高二上·河南新乡·阶段检测)下列说法中，正确的是（   ） A．点关于平面对称的点的坐标是　　B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则　　C．已知O为空间中任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则　　D．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°，则直线l与平面所成的角为30° 【答案】B 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误；对于B，直线l的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，则，故B正确；对于C.已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则，解得，故C错误；对于D，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°，则直线l与平面所成的角为，故D错误.故选：B. 【变式3-1】(26-27高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测)已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数等于（    ） A．6　　B．5　　C．　　D． 【答案】D 【详解】根据题意，得到存在实数使得，列出方程组，即可求解.所以，所以，解得.故选 D． 【变式3-2】(23-24高二下·甘肃酒泉·期中)以下四个命题中，正确的是（    ） A．向量与向量垂直　　B．为直角三角形的充要条件是　　C．若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底　　D． 【答案】C 【详解】A：因为，，所以，与不垂直，故A错误；B：由，知，即.而为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是，所以无法推出，故B错误；C：因为为空间的一个基底，设，即，无解，所以不共面，则构成空间的另一基底，故C正确；D：，当时，，故D错误.故选：C. 【题型一】基向量表示向量模型 【模型解读】选三条从同一顶点出发、不共面的棱所在向量为基，把目标向量沿"棱"逐步分解． 结论：中点向量 ；三角形重心 ． 【例1】(26-27高二上·全国·期中)在平行六面体 中，，，，则 （    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】，因为 ，，所以 ，选项正确.故选 C． 【变式1-1】(26-27高二上·山东聊城·阶段检测)在三棱柱中，D是的中点，则（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】，故选 D． 【变式1-2】(25-26高二上·辽宁大连市第二十四中学·期中)向量，，，，1，，，0，，若，，共面，则等于（    ） A．　　B．1　　C．2　　D．0 【答案】B 【详解】向量，，，，1，，，0，，，，共面， ，，，，，，，， ，解得，．故选：B． 【题型二】坐标法三步曲模型 【模型解读】 建系（选两两垂直的三线、右手系）—写坐标（点与向量）—算（用坐标公式求数量积、模、角）． 结论：正方体、长方体中常以一个顶点为原点、三条棱为坐标轴；模 ． 【例2】(25-26高二上·山东菏泽·期末)在空间直角坐标系中，若平面经过点且以为法向量，则平面的方程为；若直线经过点且以为方向向量，则直线的方程为.已知平面的方程为，直线的方程为，且，那么平面与平面夹角的正弦值为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】由平面的方程为，得平面的法向量，由直线的方程为，得直线的方向向量，而，则平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的正弦值.故选：D 【变式2-1】(24-25高二上·陕西渭南·期末)已知向量分别是平面与平面的一个法向量，若，则实数（   ） A．4　　B．2　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由于，则，解得，故选：C 【变式2-2】(26-27高二上·福建厦门·阶段检测)在空间直角坐标系Oxyz中，点关于平面对称的点的坐标是（     ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】点关于平面对称的点的坐标是.故选 C． 【题型三】法向量求法与证垂直模型 【模型解读】求法向量：设 ，由 且 （、 是面内两个不共线向量）解出并赋值；证垂直：数量积为零或向量共线． 结论：法向量不唯一，互相平行都可用；线面垂直 方向向量与法向量共线；线线垂直 数量积为 ． 【例3】(25-26高二上·辽宁抚顺市六校协作体·期中)在空间直角坐标系中，已知点，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】因为，平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为.故选：A . 【变式3-1】(25-26高二上·广东江门·阶段检测)设，向量且，则（    ） A．　　B．3　　C．　　D．4 【答案】A 【详解】向量，且，∴，解得，∴，∴.故选：A． 【变式3-2】(24-25高二上·山东临沂·期中)已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则的关系式为（      ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】由，得，则，所以.故选：D 【题型四】线面角模型 【模型解读】求线面角：先求直线的方向向量 与平面的法向量 ，再用 ． 结论：线面角范围 ；方向向量与法向量夹角和线面角互余，务必用正弦． 【例4】(2023·四川甘孜·一模)在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ） A．　　B．6　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由题设，构建如下空间直角坐标系，令，则，所以，又面的法向量为，由与平面所成的角为，则，所以，可得，则，所以该长方体的体积为.故选：C 【变式4-1】(24-25高二上·河南郑州·期中)在中，，则点到直线的距离为(    ). A．　　B．　　C．1　　D． 【答案】B 【详解】由题意可知因为，，所以，，所以在方向上的投影为，所以点到直线的距离为.故选：B. 【变式4-2】(23-24高二下·江苏淮安·期中)若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】，则有直线的方向向量为与平面的法向量垂直，即，解得．故选：B． 【题型五】二面角模型 【模型解读】 求二面角：分别求两个半平面的法向量 、，则 给出二面角余弦的绝对值，再结合图形定锐钝． 结论：法向量夹角与二面角相等或互补；二面角为锐角时 ，为钝角时取相反数． 【例5】(25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测)已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与夹角的余弦值为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】平面与夹角的余弦值．故选：B 【变式5-1】(25-26高二上·湖北随州·阶段检测)已知在一个二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，CD=，则这个二面角的度数为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】设二面角的大小为，则，根据题意可得，所以，因为，，，CD=，所以，解得，又因为，所以，所以这个二面角的度数为.故选：C. 【变式5-2】(25-26高二上·云南·期中)已知为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，若，则的值为（    ） A．　　B．1　　C．　　D．2 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，即，所以，解得．故选：B． 【题型六】数量积求模与夹角模型 【模型解读】求模先平方：；求夹角用夹角公式；共线向量用数乘表示． 结论：；向量共线 对应坐标成比例． 【例6】(25-26高二上·辽宁辽西重点高中·期中)在棱长为的正四面体中，若，则（    ） A．2　　B．　　C．1　　D． 【答案】B 【详解】设正四面体的棱长为.由正四面体结构性质可知，而故，故选：B. 【变式6-1】(25-26高二上·安徽合肥·阶段检测)已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量　　B．的单位向量是　　C．与夹角的余弦值是　　D．平面的一个法向量是 【答案】D 【详解】因为，，，则，对于A，假设与是共线向量，则有，所以，无解，即与不是共线向量，所以A错误，对于B，的单位向量为，即或，所以B错误，对于C，与夹角的余弦值为，所以C错误，对于D，设平面的一个法向量为，由，取，则，所以平面的一个法向量是，故D正确.故选：D. 【变式6-2】(25-26高二上·辽宁辽西重点高中·期中)已知空间向量，，共面，则（   ） A．　　B．1　　C．2　　D．3 【答案】A 【详解】由共面可知，存在实数使得，即，所以，解得.故选：A 【题型七】点面距离模型 【模型解读】点 到平面 的距离：在 内任取一点 ，则 ，其中 是 的法向量． 结论：该公式对任意 都成立（投影法），选坐标简单的点计算量最小． 【例7】(25-26高二上·辽宁锦州市渤海大学附属高级中学·期中)已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（    ） A．1　　B．　　C．　　D．2 【答案】B 【详解】由题意得，所以点到平面的距离.故选：B 【变式7-1】(23-24高二上·广东深圳·期末)已知，则点到直线的距离为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以在上投影的长度为，所以点到直线的距离为.故选：C 【变式7-2】(25-26高二上·辽宁沈阳市东北育才学校·期中)已知空间向量，，则B点到直线的距离为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】，，故在上的投影向量的模为，故B点到直线的距离为.故选：A 答题技巧清单 技巧 一句话要点 向量加减——"首尾相接" 首尾相接的向量相加等于从起点指向终点；减法用共起点，结果指向被减向量． 数乘与共线——"找 " 证共线就是找实数 使 ；零向量与任意向量共线． 共面证明——"用定理" 证 与 、 共面，就是把 写成 ． 基底选取——"不共面" 基底中的三个向量必须不共面；选熟悉的（如从同一顶点出发的三条棱）计算更方便． 数量积——"先定夹角再计算" 求数量积先明确模与夹角，夹角范围是 ． 数量积——"不能约分" 不能约去 得 ，数量积没有除法． 坐标法——"先建系再写坐标" 建系选两两垂直的三条线且成右手系，坐标中零不能漏写． 求法向量——"设坐标解方程" 设 ，由 、 解出，赋一个方便值即可． 证平行——"看共线与垂直" 线线平行看方向向量共线；线面平行看方向向量与法向量垂直（且线在面外）． 证垂直——"数量积为零" 线线垂直用 ；线面垂直看方向向量与法向量共线． 线面角——"用正弦" ，别错用余弦；． 异面直线角——"取绝对值" 方向向量夹角可能是钝角，异面直线所成角取其补角，对余弦取绝对值即可． 二面角——"锐钝结合图形" 只给出大小，锐二面角还是钝二面角要回到图形判断． 点面距离——"投影公式" ， 在平面内任取， 是法向量． 模的平方——"展开再算" ，求模先把模平方． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何（期中知识清单） 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 空间向量的相关概念 1.空间向量：在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量，用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，如向量 的大小记作 ． 2.相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量；同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量，向量可以自由平移． 3.共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，规定零向量与任意向量共线；共线向量不一定在同一条直线上，平移后共线即可． 4.共面向量：平行于同一个平面的向量叫做共面向量；空间中任意两个向量总是共面的，三个向量不一定共面． 5.零向量：模为 的向量，记作 ，其方向是任意的；零向量不能作基底，也不能作除数． 6.特别提醒：向量比的是方向和大小，与起点位置无关；比较两个向量是否相等，要同时看方向与模，缺一不可． 知识点02 空间向量的线性运算 1.加法与减法：与平面向量一样，服从三角形法则与平行四边形法则，如 ，． 2.数乘运算：实数 与向量 的乘积 仍是向量； 时与 同向， 时反向，． 3.运算律：加法交换律、结合律以及数乘对加法的分配律都成立，如 ． 4.首尾相接法则：若干向量首尾相接，和向量等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点． 5.线性表示：空间中任一向量都可以用不共面的三个向量线性表示，表示方式不唯一． 6.特别提醒：数乘的结果是向量不是数；化简向量等式时，把所有向量都化到同一条"链"上再运算，不容易出错． 知识点03 共线向量定理与共面向量定理 1.共线向量定理：对向量 、（）， 的充要条件是存在唯一的实数 ，使 ． 2.共面向量定理：若两个向量 、 不共线，则向量 与 、 共面的充要条件是存在唯一的实数对 ，使 ． 3.空间一点 位于平面 内的充要条件：存在有序实数对 ，使 ． 4.四点共面的向量证法：对空间四点 、、、，若存在实数 、、 使 且 ，则 、、、 四点共面． 5.特别提醒：使用共线向量定理时必须注意 这一前提； 唯一，可以作为证明题的依据． 知识点04 空间向量的数量积 1.夹角：已知两个非零向量 、，在空间中任取一点 ，作 ，，则 叫做向量 与 的夹角，记作 ，范围是 ． 2.数量积的定义：，结果是一个数量，也叫点积． 3.运算性质：；；． 4.垂直的充要条件：对非零向量， 的充要条件是 ． 5.求模：；，这是求模与夹角的重要工具． 6.特别提醒：数量积不满足结合律， 是向量， 是另一个向量，二者一般不相等，更不能写成 ． 知识点05 空间向量基本定理 1.定理内容：如果三个向量 、、 不共面，那么对空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使 ． 2.基底：不共面的三个向量 、、 叫做空间的一个基底，其中每一个向量都叫基向量；基底不唯一，但同一向量在同一基底下的分解是唯一的． 3.基底选取：常选几何体中从同一顶点出发的三条棱所在向量作基底，如正方体、长方体、四面体中的 、、． 4.推论：若 、、 是空间的一个基底，则 、、 也是空间的一个基底． 5.特别提醒：基底中的向量必须两两不共面（等价于不共线且不共面），零向量不能作基向量；判断三个向量能否作基底，就是判断它们是否共面． 知识点06 空间向量的坐标运算 1.坐标表示：在空间中建立空间直角坐标系 （右手系），沿 轴、 轴、 轴方向的单位向量 、、 构成一个单位正交基底，任一向量 可唯一表示为 ，记作 ． 2.坐标运算：，，． 3.模与夹角：，． 4.方向向量与法向量：与直线 平行的非零向量叫 的方向向量；与平面 垂直的非零向量叫 的法向量，一个平面的法向量有无数个，它们互相平行． 5.坐标法三步曲：建立坐标系 写出点的坐标与向量的坐标 用坐标公式运算，这是用向量解立体几何问题的基本流程． 6.特别提醒：建系必须选两两垂直的三条直线为坐标轴，并遵循右手系；点在坐标面上时相应坐标为 ，不能漏写． 考点01 空间向量的线性运算 考点内容：空间向量的加减与数乘运算（三角形法则、平行四边形法则、数乘）；用不共面的三个基向量线性表示空间任一向量；向量表达式的化简与求值；由向量等式求参数． 常见考法： ① 用一组基向量表示空间中的向量：把目标向量沿"首尾相接"拆成已知向量的线性组合，系数即分解 ② 化简向量表达式：先统一到同一条"链"上，再用交换律、结合律、数乘分配律合并 ③ 判断向量共线/共面：共线看能否写成 ；共面看能否写成 ④ 由向量等式求参数：利用"同一基底下分解唯一"，比较系数列方程 ⑤ 求中点/重心对应的向量：中点用 ，重心用 易错提醒：加减运算抓"首尾相接、共起点"，化简时把所有向量统一到同一条链上． 考点02 共线与共面向量问题 考点内容：共线向量定理（）与共面向量定理（）；四点共面的向量证法（系数和 ）；基底与分解唯一性．；用共线/共面定理判定点、线、面的位置关系 常见考法： ① 证明两向量共线并求参数：用共线向量定理，存在唯一实数 λ 使 （注意 ） ② 证明三点共线：取两点构向量，证第三点构成的向量与之共线 ③ 证明四点共面：写成 ，或抓“系数和 ”快速判定 ④ 用共面向量定理分解向量：把目标向量表成两个不共线向量的线性组合 ⑤ 判断共线/共面：反用定理，找不到这样的 λ 或系数则不成立 易错提醒：用共线向量定理别忘了 ；四点共面可用"系数和为 "快速判定． 考点03 数量积与夹角、模 考点内容：数量积定义（，结果是数量）；运算律（交换、对加分配、结合于数乘）；求模 、求夹角、证垂直（）．；数量积与投影的关系（一个向量在另一向量方向上的投影） 常见考法： ① 求数量积：先定模与夹角，套 ② 求向量的模：用 或 展开 ③ 求两向量夹角：由 反求，注意 ④ 证明两向量垂直：证数量积为 0 ⑤ 用 展开求模/夹角：先平方再开方，避免直接算模 易错提醒：夹角范围是 ；求模先把模平方转化为数量积，再展开计算． 考点04 空间坐标系与坐标运算 考点内容：建立右手系空间直角坐标系（选共顶点三垂直棱为轴）；点/向量坐标的求法（向量坐标=终点−起点）；坐标法求模、夹角、数量积；方向向量与法向量． 常见考法： ① 建系：优先选几何体中共顶点的三条两两垂直棱为轴，遵循右手系 ② 由点/向量求坐标：向量坐标=终点坐标−起点坐标 ③ 坐标法求数量积、模、夹角：直接套坐标公式 ④ 由垂直/共线条件求参数：方向向量共线或法向量垂直列方程 ⑤ 中点坐标公式：中点坐标为两端点坐标的平均值 易错提醒：建系要选两两垂直的三线且遵循右手系；写坐标时零不能漏． 考点05 用向量证明平行与垂直 考点内容：直线方向向量（与直线平行的非零向量）；平面法向量（与平面垂直的非零向量，有无数个且互相平行）；线线/线面/面面平行与垂直的向量判定转化．；用法向量求二面角大小与点到平面的距离 常见考法： ① 求直线方向向量：取直线上两点的坐标差 ② 求平面法向量：设 ，与平面内两不共线向量垂直列方程组解 ③ 证线面平行/垂直：平行看方向向量⊥法向量且直线不在面内；垂直看方向向量∥法向量 ④ 证面面平行/垂直：平行看法向量共线；垂直看法向量垂直 ⑤ 由位置关系反求参数：把平行/垂直翻译成方向向量与法向量的关系列方程 易错提醒：线线垂直看 ；线面垂直看方向向量与法向量共线；证线面平行还要说明直线在平面外． 考点06 用向量求空间角 考点内容：异面直线所成角（方向向量夹角取锐角/直角）；线面角（方向向量与法向量互余）；二面角（法向量夹角，需结合图形定锐钝）；由角求参数． 常见考法： ① 求异面直线所成角：，结果取 ② 求线面角：， ③ 求二面角：用法向量夹角余弦的绝对值，再回图形判锐钝 ④ 由空间角求参数：把角条件翻译成向量关系列方程 ⑤ 判断空间角范围：异面直线角、线面角取 [0,π/2]，二面角取 (0,π) 易错提醒：异面直线角取 、线面角取 ，用公式时取绝对值；二面角大小要结合图形定锐钝． 1 向量定理与数量积 序号 名称 公式（符号语言） 说明 1 共线向量定理 （） 唯一；零向量与任意向量共线 2 共面向量定理 、 不共线， 与它们共面 3 空间向量基本定理 、、 不共面，、、 唯一 4 数量积的定义 结果是数量；夹角范围 2 坐标运算与空间角 序号 名称 公式（符号语言） 说明 5 数量积的坐标运算 ， 6 向量的模 坐标法求模的基本公式 7 夹角公式 （非零） 8 空间角公式 线面角 ；二面角 为方向向量， 为法向量；锐钝角要结合图形判断 辨析01 零向量与任意向量共线 规定零向量与任意向量共线，所以判断共线时要留意零向量；反过来，零向量不能作基向量，共线向量定理中作为"基准"的 必须非零． 辨析02 共线向量不一定在同一条直线上 共线向量又叫平行向量，只要求方向相同或相反，向量可以自由平移，所以共线向量不一定在同一条直线上；同理，共面向量也不一定在同一个平面内，只要平移后能落进同一个平面即可． 辨析03 任意两个向量必共面，三个向量不一定共面 空间中任意两个向量总可以通过平移落到同一个平面内，所以必共面；但三个向量不一定共面，是否共面要用共面向量定理（能否写成 ）来判断． 辨析04 基底不唯一，但必须不共面 不共面的三个向量才能构成空间的一个基底；基底选取不唯一，同一向量在不同基底下的分解系数不同，但在同一基底下的分解是唯一的．零向量与共面向量组都不能作基底． 辨析05 数量积不满足结合律 数量积的结果是数量， 表示数乘向量，与 共线； 与 共线，两者一般不等，故 没有意义． 辨析06 向量夹角与异面直线所成角不是一回事 两个向量的夹角范围是 ，而异面直线所成角的范围是 ；当方向向量的夹角是钝角时，异面直线所成角取其补角，计算时对余弦取绝对值即可． 辨析07 线面角用正弦公式而不是余弦 设直线方向向量为 、平面法向量为 ，线面角 满足 ；因为方向向量与法向量的夹角和线面角互余，误用余弦会把角算成它的余角． 辨析08 二面角的大小要结合图形判断锐钝 两个半平面法向量夹角的余弦绝对值只能给出二面角的"大小数值"，究竟是锐二面角还是钝二面角，要回到图形中观察或用两个法向量的方向（同向指向还是异向指向）来判断． 辨析09 垂直的判定要区分三种情形 线线垂直：非零向量 ；线面垂直：直线方向向量与平面法向量平行；面面垂直：两平面法向量垂直．三者使用的向量关系不同，不能混用． 辨析10 建系要符合右手系且垂直关系要真实 空间直角坐标系的 、、 轴要两两垂直且遵循右手系；建系前必须确认所用棱确实互相垂直，若图形中没有三条两两垂直的线，就考虑用基底法而不是硬建系． 【题型一】空间向量的线性运算与共线 【例1】(25-26高二上·辽宁朝阳市朝阳联盟·期中)如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ） A．　　B． C．　　D． 【变式1-1】(24-25高二上·河南许昌·阶段检测)下列命题是真命题的是（    ） A．在四面体中，　　B．非零空间向量与可能不共面　　C．与向量共线的单位向量是　　D．若，，是三个空间向量，则 【变式1-2】(26-27高二上·山东聊城·阶段检测)若、、是不共面的向量，，，，则一定共线的三个点是（   ） A．、、　　B．、、　　C．、、　　D．、、 【变式1-3】(25-26高二上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)（多选）已知空间向量，则（    ） A．是的必要不充分条件 B．若不共面，则也不共面 C．若，且，则　　D．若，则 【题型二】数量积与夹角、模 【例2-1】(26-27高二上·福建厦门·阶段检测)已知空间向量，的夹角为，且，，则为（   ） A．4　　B．　　C．8　　D． 【例2-2】(26-27高二上·河南平顶山·阶段检测)已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式2-1】(26-27高二上·河北邯郸·阶段检测)已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式2-2】(26-27高二上·福建厦门·阶段检测)已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型三】空间向量基本定理与基底 【例3】(25-26高二上·陕西西安·期末)在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式3-1】(26-27高二上·云南昭通·阶段检测)若是空间的一个单位正交基底，则能与向量构成空间的另一个基底的是（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式3-2】(24-25高二上·浙江衢州·期中)已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A．　　B．　　C．0　　D．2 【题型四】空间向量的坐标运算 【例4】(26-27高二上·云南玉溪·开学考试)在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【变式4-1】(25-26高二上·河南·阶段检测)在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为，点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式4-2】(26-27高二上·福建厦门·阶段检测)在空间直角坐标系中，点，，则（     ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型一】数量积运算中"约分"与结合律的错误 【例1】(26-27高二上·宁夏·阶段检测)已知空间中三点，，，则下列说法不正确的是（     ） A．与方向相同的单位向量的坐标是　　B．与夹角的余弦值是　　C．在上的投影向量的坐标是　　D．两点间距离为 易错警示　数量积没有除法，不能约去公共向量； 与 是两个不同方向的向量，数量积不满足结合律． 【变式1-1】(23-24高二上·辽宁·阶段检测)在长方体中，，，，则（ ） A．　　B．　　C．3　　D．9 【变式1-2】(25-26高二上·河北·阶段检测)在棱长为的正四面体中，若，则（    ） A．2　　B．　　C．1　　D． 【题型二】混淆向量夹角与异面直线所成角 【例2】(25-26高二下·湖北·期中)在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 易错警示　方向向量的夹角范围是 ，异面直线所成角范围是 ；夹角为钝角时必须取补角，等价于对余弦值取绝对值． 【变式2-1】(24-25高二上·上海·期中)空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（    ） A．充分非必要条件　　B．必要非充分条件　　C．充要条件　　D．既非充分又非必要条件 【变式2-2】(24-25高二上·辽宁锦州·期中)若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线，所成角的大小为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型三】线面角误用余弦公式 【例3】(24-25高二上·江西·阶段检测)在正方体中，，其中，则直线与平面所成角的大小为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 易错警示　线面角公式是 ，不是 ；因为方向向量与法向量的夹角 和线面角 互余，． 【变式3-1】(24-25高二上·福建莆田·阶段检测)在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线方程为．已知：在空间直角坐标系中，平面的方程为：，经过的直线方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式3-2】(23-24高二上·辽宁大连·期末)在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：”．用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则这两平面所成角的余弦值为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型一】异面直线所成角的坐标求法 【例1】(25-26高二上·重庆北碚·期末)已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-1】(25-26高二上·江西南昌·期末)在平行六面体中，，．求直线与所成角的余弦值（   ） A．0　　B．　　C．　　D． 【变式1-2】(25-26高二上·安徽·阶段检测)已知空间向量，若，则（　　） A．-2　　B．-3　　C．2　　D．3 【题型二】二面角的向量求法 【例2】(24-25高二下·安徽宿州·期中)已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式2-1】(25-26高二上·辽宁大连市第八中学·期中)如图，直二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于.若，则线段的长度为（   ） A．　　B．　　C．2　　D． 【变式2-2】(25-26高二上·北京房山·阶段检测)已知平面的法向量，平面的法向量，则平面与的夹角为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型三】向量的线性表示与存在性问题 【例3】(24-25高二上·河南新乡·阶段检测)下列说法中，正确的是（   ） A．点关于平面对称的点的坐标是　　 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则　　 C．已知O为空间中任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则　　 D．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°，则直线l与平面所成的角为30° 【变式3-1】(26-27高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测)已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数等于（    ） A．6　　B．5　　C．　　D． 【变式3-2】(23-24高二下·甘肃酒泉·期中)以下四个命题中，正确的是（    ） A．向量与向量垂直　　 B．为直角三角形的充要条件是　　 C．若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底　　 D． 【题型一】基向量表示向量模型 【模型解读】选三条从同一顶点出发、不共面的棱所在向量为基，把目标向量沿"棱"逐步分解． 结论：中点向量 ；三角形重心 ． 【例1】(26-27高二上·全国·期中)在平行六面体 中，，，，则 （    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-1】(26-27高二上·山东聊城·阶段检测)在三棱柱中，D是的中点，则（   ） A．　　B．　　 C．　　D． 【变式1-2】(25-26高二上·辽宁大连市第二十四中学·期中)向量，，，，1，，，0，，若，，共面，则等于（    ） A．　　B．1　　C．2　　D．0 【题型二】坐标法三步曲模型 【模型解读】建系（选两两垂直的三线、右手系）—写坐标（点与向量）—算（用坐标公式求数量积、模、角）． 结论：正方体、长方体中常以一个顶点为原点、三条棱为坐标轴；模 ． 【例2】(25-26高二上·山东菏泽·期末)在空间直角坐标系中，若平面经过点且以为法向量，则平面的方程为；若直线经过点且以为方向向量，则直线的方程为.已知平面的方程为，直线的方程为，且，那么平面与平面夹角的正弦值为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式2-1】(24-25高二上·陕西渭南·期末)已知向量分别是平面与平面的一个法向量，若，则实数（   ） A．4　　B．2　　C．　　D． 【变式2-2】(26-27高二上·福建厦门·阶段检测)在空间直角坐标系Oxyz中，点关于平面对称的点的坐标是（     ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型三】法向量求法与证垂直模型 【模型解读】 求法向量：设 ，由 且 （、 是面内两个不共线向量）解出并赋值；证垂直：数量积为零或向量共线． 结论：法向量不唯一，互相平行都可用；线面垂直 方向向量与法向量共线；线线垂直 数量积为 ． 【例3】(25-26高二上·辽宁抚顺市六校协作体·期中)在空间直角坐标系中，已知点，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式3-1】(25-26高二上·广东江门·阶段检测)设，向量且，则（    ） A．　　B．3　　C．　　D．4 【变式3-2】(24-25高二上·山东临沂·期中)已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则的关系式为（      ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型四】线面角模型 【模型解读】求线面角：先求直线的方向向量 与平面的法向量 ，再用 ． 结论：线面角范围 ；方向向量与法向量夹角和线面角互余，务必用正弦． 【例4】(2023·四川甘孜·一模)在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ） A．　　B．6　　C．　　D． 【变式4-1】(24-25高二上·河南郑州·期中)在中，，则点到直线的距离为(    ). A．　　B．　　C．1　　D． 【变式4-2】(23-24高二下·江苏淮安·期中)若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型五】二面角模型 【模型解读】求二面角：分别求两个半平面的法向量 、，则 给出二面角余弦的绝对值，再结合图形定锐钝． 结论：法向量夹角与二面角相等或互补；二面角为锐角时 ，为钝角时取相反数． 【例5】(25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测)已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与夹角的余弦值为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式5-1】(25-26高二上·湖北随州·阶段检测)已知在一个二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，CD=，则这个二面角的度数为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式5-2】(25-26高二上·云南·期中)已知为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，若，则的值为（    ） A．　　B．1　　C．　　D．2 【题型六】数量积求模与夹角模型 【模型解读】求模先平方：；求夹角用夹角公式；共线向量用数乘表示． 结论：；向量共线 对应坐标成比例． 【例6】(25-26高二上·辽宁辽西重点高中·期中)在棱长为的正四面体中，若，则（    ） A．2　　B．　　C．1　　D． 【变式6-1】(25-26高二上·安徽合肥·阶段检测)已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量　　B．的单位向量是　　C．与夹角的余弦值是　　D．平面的一个法向量是 【变式6-2】(25-26高二上·辽宁辽西重点高中·期中)已知空间向量，，共面，则（   ） A．　　B．1　　C．2　　D．3 【题型七】点面距离模型 【模型解读】点 到平面 的距离：在 内任取一点 ，则 ，其中 是 的法向量． 结论：该公式对任意 都成立（投影法），选坐标简单的点计算量最小． 【例7】(25-26高二上·辽宁锦州市渤海大学附属高级中学·期中)已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（    ） A．1　　B．　　C．　　D．2 【变式7-1】(23-24高二上·广东深圳·期末)已知，则点到直线的距离为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式7-2】(25-26高二上·辽宁沈阳市东北育才学校·期中)已知空间向量，，则B点到直线的距离为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 答题技巧清单 技巧 一句话要点 向量加减——"首尾相接" 首尾相接的向量相加等于从起点指向终点；减法用共起点，结果指向被减向量． 数乘与共线——"找 " 证共线就是找实数 使 ；零向量与任意向量共线． 共面证明——"用定理" 证 与 、 共面，就是把 写成 ． 基底选取——"不共面" 基底中的三个向量必须不共面；选熟悉的（如从同一顶点出发的三条棱）计算更方便． 数量积——"先定夹角再计算" 求数量积先明确模与夹角，夹角范围是 ． 数量积——"不能约分" 不能约去 得 ，数量积没有除法． 坐标法——"先建系再写坐标" 建系选两两垂直的三条线且成右手系，坐标中零不能漏写． 求法向量——"设坐标解方程" 设 ，由 、 解出，赋一个方便值即可． 证平行——"看共线与垂直" 线线平行看方向向量共线；线面平行看方向向量与法向量垂直（且线在面外）． 证垂直——"数量积为零" 线线垂直用 ；线面垂直看方向向量与法向量共线． 线面角——"用正弦" ，别错用余弦；． 异面直线角——"取绝对值" 方向向量夹角可能是钝角，异面直线所成角取其补角，对余弦取绝对值即可． 二面角——"锐钝结合图形" 只给出大小，锐二面角还是钝二面角要回到图形判断． 点面距离——"投影公式" ， 在平面内任取， 是法向量． 模的平方——"展开再算" ，求模先把模平方． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $