专题06 抛物线及其方程（考点清单，知识导图+3个考点清单+题型解读）高二数学上学期人教B版选择性必修第一册

专题06 抛物线及其方程（考点清单，知识导图+3个考点清单+题型解读） 知识点01：抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识点02：抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 说明： 1、要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为;若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). 2、焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的 . 3、准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. 4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦. （2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径. 知识点03：抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 说明：抛物线的焦半径公式如下： （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 注：以下选择题都是单选题 【题型一：抛物线的定义及其应用】 【例1】（23-24高二下·浙江·期中）抛物线的焦点到其准线的距离为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用焦点到准线的距离为，即可求解 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为， 所以由抛物线可得，则焦点到其准线的距离为2. 故选：C 【变式2-1】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，将点到抛物线焦点的距离转化为点到抛物线准线的距离即得. 【详解】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离， 即. 故选：B. 【变式2-2】（2024·陕西·模拟预测）已知为抛物线的焦点，第一象限的点在抛物线上，且，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义求出，再代入点坐标求出t值即可. 【详解】由，得点到抛物线准线的距离为10，则，解得， 即抛物线方程为，于是，而点在第一象限，所以. 故选：C 【变式2-3】（23-24高二下·河南新乡·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点到直线的距离为， 所以点到抛物线准线的距离为， 由抛物线的定义得，. 故选：D. 【变式2-4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为，再结合和及抛物线定义知识可求得，即可求解. 【详解】记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为， 因为，所以，即， 由于，所以， 由可知，所以，而， 由可知，即的方程为．故C正确. 故选：C. 【题型二：抛物线的简单几何性质】 【例1】（23-24高二上·陕西汉中·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 【答案】D 【分析】根据抛物线的方程结合抛物线的性质逐项分析判断. 【详解】因为抛物线方程为，则，即， 所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴， 即D正确，ABC错误. 故选：D. 【变式2-1】（22-23高二下·四川广安·阶段练习）抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求得抛物线C的方程，即可得出抛物线C的准线方程. 【详解】∵抛物线C与抛物线关于轴对称， ∴抛物线C的方程为， ∴抛物线C的准线方程是. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由抛物线定义可列式求解点的横坐标，将所求横坐标代入抛物线方程可得点的纵坐标. 【详解】设点的坐标为， ∵，∴，∴. 把代入方程，得， ∴.∴点P的坐标为. 故选：B. 【变式2-3】（23-24高二下·广西柳州·期中）已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的性质得出，求出值，即可得到抛物线的准线方程. 【详解】由题可得，解得：，所以抛物线的准线方程为 故选：A 【变式2-4】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（    ） A． B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到所以，结合抛物线的几何性质，得到轴，利用勾股定理，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以焦点， 因为，根据抛物线的定义，可得， 又因为，所以， 因为，即抛物线的通径长为，所以轴， 所以. 故选：C. 【题型三：抛物线的标准方程】 【例1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等， 故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上， 故轨迹为， 故选：A 【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线的标准方程中参数的几何意义即可列式求解. 【详解】设抛物线方程为或， 依题意知，∴. ∴抛物线方程为. 故选：C. 【变式2-2】（22-23高二下·河南洛阳·阶段练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数的值. 【详解】当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为． 所以抛物线的方程为或． 故选：C 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点建立坐标系，设抛物线方程为，表达出点坐标，设，其中为点到桥面的距离，将坐标代入抛物线方程，求出，得到答案. 【详解】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知， 设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离， 则,解得．      故选：A 【变式2-4】（23-24高二上·四川成都·期中）已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】设，根据已知条件列方程，化简后求得正确答案. 【详解】设，其中， 则，即， 所以， 所以点的轨迹为不包含，两点的抛物线. 故选：D 【题型四：抛物线中的最值（范围）问题】 【例1】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（    ）. A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】运用抛物线的定义将距离之和的最小值问题转化为三点共线问题，后求最值即可. 【详解】解：如图 过点作抛物线的准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知，， 要使点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和最小，则当Q，P，F三点共线时最小，最小值为. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】根据题意可得准线方程为，过作的准线的垂线，垂足为，从而可得，即可求解. 【详解】易知抛物线的准线方程为，过作的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，所以， 当且仅当三点共线且准线时，等号成立．故的最小值为12．故A正确. 故选：A. 【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：上的点，，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值 【详解】设， 则， 当且仅当时，等号成立． 故选：D． 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】结合坐标运算和焦半径公式，转化，再利用数形结合求最值. 【详解】已知抛物线上有一点，则，即． 又，故在抛物线的外部， 则， 因为抛物线的焦点为，准线方程为，则，故．    由于，当三点共线（在之间）时，取到最小值， 则的最小值为． 故选：B 【变式2-4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用梯形中位线将中点的横坐标转化为，再应用抛物线定义转化为，再由可得最小值. 【详解】设的中点，抛物线的准线为， 如图，作，垂足分别为. 由直角梯形的性质可得， 取抛物线焦点为，由抛物线定义可得， 当且仅当直线经过点时取等号， 所以线段中点的横坐标的最小值为． 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 抛物线及其方程（考点清单，知识导图+3个考点清单+题型解读） 知识点01：抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识点02：抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 说明： 1、要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为;若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). 2、焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的 . 3、准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. 4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦. （2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径. 知识点03：抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 说明：抛物线的焦半径公式如下： （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 注：以下选择题都是单选题 【题型一：抛物线的定义及其应用】 【例1】（23-24高二下·浙江·期中）抛物线的焦点到其准线的距离为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【变式2-1】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【变式2-2】（2024·陕西·模拟预测）已知为抛物线的焦点，第一象限的点在抛物线上，且，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【变式2-3】（23-24高二下·河南新乡·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型二：抛物线的简单几何性质】 【例1】（23-24高二上·陕西汉中·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 【变式2-1】（22-23高二下·四川广安·阶段练习）抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2-3】（23-24高二下·广西柳州·期中）已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（    ） A． B．12 C． D． 【题型三：抛物线的标准方程】 【例1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高二下·河南洛阳·阶段练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 【变式2-4】（23-24高二上·四川成都·期中）已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【题型四：抛物线中的最值（范围）问题】 【例1】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（    ）. A． B．2 C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：上的点，，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【变式2-4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$