专题05 双曲线及其方程（考点清单，知识导图+5个考点清单+题型解读）高二数学上学期人教B版选择性必修第一册

专题05 双曲线及其方程（考点清单，知识导图+5个考点清单+题型解读） 知识点01：双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 知识点02：双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 知识点03：双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 知识点04：等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 知识点05：双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 注：以下选择题都是单选题 【题型一：双曲线的定义及其应用】 【例1】（23-24高二上·广东深圳·期末）双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（    ） A．1 B．13 C．1或13 D．3 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】是双曲线左支上的一点， 所以，解得：， 由双曲线定义可知，，所以13. 故选：B. 【变式2-1】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】充分、必要条件的判断，一方面需要判断充分性，另一方面要判断必要性，结合双曲线的定义，只有“为定值”且“”时才成立，即可做出判断． 【详解】充分性：当“为定值”，但“”时，“动点的轨迹不是双曲线”，不满足充分性； 必要性：以，为焦点的双曲线上的动点满足“为定值”，满足必要性； 因此“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的必要不充分条件． 故选：B. 【变式2-2】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】结合图象，及双曲线的对称性及定义可得答案. 【详解】由题可得.如图，设双曲线右焦点为，因与都关于原点中心对称，则， 后由双曲线的定义知. 故选：D    【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（    ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 【答案】B 【分析】应用双曲线的定义，结合已知，计算得出且符合到焦点距离范围. 【详解】由题知点在双曲线右支上，根据双曲线的定义得， 因为，所以，即， 又因为，所以满足题意. 故选：B. 【变式2-4】（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆和双曲线的公共焦点为，在第一象限内的交点为，则（    ） A．-4 B．-6 C．-8 D．-9 【答案】B 【分析】由椭圆和双曲线的定义，求出，由椭圆方程，得，利用向量数量积的定义结合余弦定理求. 【详解】已知椭圆和双曲线的公共焦点为，在第一象限内的交点为， 由椭圆和双曲线的定义，有，解得， 由椭圆方程，得， . 故选：B. 【题型二：双曲线的简单几何性质】 【例1】（23-24高二上·天津河东·期末）双曲线的实半轴长为（    ） A．16 B．8 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，化简双曲线的方程为标准方程，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由双曲线，可化为，可得，即， 所以双曲线的实半轴长为. 故选：C. 【变式2-1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）双曲线的一个焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据标准方程即可求解. 【详解】双曲线转化为标准方程为， 故， 故焦点为和， 故选：A 【变式2-2】（23-24高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由双曲线实轴长为，有，又， . 故选：A. 【变式2-3】（23-24高三上·广东汕头·期末）关于椭圆与双曲线的关系，下列结论正确的是（    ） A．焦点相同 B．顶点相同 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】利用椭圆与双曲线的标准方程分别考虑其性质即可得解. 【详解】对于椭圆，显然恒成立， 设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 所以，则，则， 所以椭圆的焦点为，焦距为，顶点和离心率是变化的； 对于双曲线，显然其焦点在轴上，只需考虑焦距即可，不妨设其焦距为， 则，故，所以双曲线的焦距为； 所以椭圆与双曲线的焦距相等，故C正确，其余选项都不正确. 故选：C. 【变式2-4】（23-24高二上·河南开封·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线方程可设双曲线，代入运算，即可得双曲线方程，进而可得实轴长. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 可设双曲线， 代入可得：， 则双曲线，即，可知，所以C的实轴长为.故选：B. 【题型三：双曲线的离心率】 【例1】（23-24高二上·江西·期末）双曲线的离心率为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的基本量关系求解即可. 【详解】由题意，，即，解得. 故选：B 【变式2-1】（23-24高二下·四川达州·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的方程可求得，计算可判断每个选项的正确性. 【详解】由双曲线，可得，所以， 所以双曲线的左顶点，右焦点，故AB错误； 虚轴长，故C错误； 离心率，故D正确. 故选：D. 【变式2-2】（2024·广东广州·三模）已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线定义可得，，即可在焦点三角形中，利用余弦定理求解,由离心率公式即可求解. 【详解】根据题意可知点在右支上，则，又， ，， ，则在中，， ，故. 故选：C． 【变式2-3】（23-24高二上·浙江·期末）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质：双曲线左支上的点到右焦点的距离：可确定双曲线离心率的取值范围. 【详解】由题意：. 故选：A 【变式2-4】（23-24高二下·天津·期中）已知双曲线为坐标原点为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】首先求，，，再根据，结合余弦定理，即可求解. 【详解】由题意，不妨设点在上，焦点到直线的距离， ，，，则，， ，所以, 即，得， 所以双曲线的离心率. 故选：A 【变式2-5】（23-24高二下·河南·期中）在平面直角坐标系xOy中，为双曲线的左、右焦点，为右支上异于顶点的一点，直线PM平分，且，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】由题意得，设与交于点，可得，且，继而可得，，利用双曲线定义可得，由离心率公式计算即可. 【详解】由，得， 设与交于点，如图，    由直线PM平分，且， 可得为等腰三角形，则为的中点， 则，且， 所以，， 所以，即， 所以.故选：B. 【题型四：双曲线的渐近线】 【例1】（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由实轴长可列方程求得参数的值，进一步即可求得渐近线方程. 【详解】由题可知双曲线的实轴长为，则，解得，所以该双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 【变式2-1】（23-24高二下·广东·期中）已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的关系求，即可得其渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，可得， 故双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 【变式2-2】（23-24高二下·云南临沧·期末）已知以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为，则此双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】分焦点在x轴上和y轴上讨论求解即可. 【详解】当焦点在x轴上时，可得，则； 当焦点在y轴上时，可得，则. 综上，双曲线的离心率为2或. 故选：D. 【变式2-3】（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的渐近线和直线斜率可得，求得，进而可得实轴长. 【详解】由双曲线可知：，且焦点在x轴上， 则双曲线的渐近线为， 且直线的斜率， 若直线与双曲线的一条渐近线平行， 则，解得，即，所以的实轴长为.故选：D. 【变式2-4】（23-24高二下·安徽六安·期末）已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据左焦点到渐近线的距离，结合双曲线的关系即可求出双曲线的离心率. 【详解】根据双曲线的几何性质可知，左焦点， 其到渐近线的距离为， 因为，所以. 故选：C． 【变式2-5】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的两焦点为为其渐近线上一点，满足：，则此双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题上的条件把用表示出来，在借助余弦定理求出，最后求出，即为其中一条渐近线的斜率，有对称性得到另外一条渐近线的斜率，从而得到正确答案. 【详解】由为双曲线渐近线上一点，， 又，设，则，由， 即，解得 又在中，为斜边中线，因此， 在中，由余弦定理可求得，则为锐角， 则，即其中一条渐近线的斜率， 因此双曲线的渐近线的方程为.故选:C． 【题型五：双曲线的标准方程】 【例1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，根据双曲线的定义及焦点的位置即可求解. 【详解】由题意可得, 由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即， 所以. 又因为焦点在轴上，所以曲线方程为. 故选:A. 【变式2-1】（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可. 【详解】由题意双曲线的焦点在轴上，则，， 又，则，故C的标准方程为. 故选：C 【变式2-2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设出双曲线方程，求出的值即焦点坐标，然后根据双曲线的定义、平方关系求出的值即可求解. 【详解】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为， 则，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为， 由双曲线的定义可知， 所以， 所以所求双曲线的标准方程为. 故选：C. 【变式2-3】（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解. 【详解】设动圆的半径为r， 则，， 则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C． 【变式2-4】（2024·山东泰安·三模）已知为双曲线（，）的右焦点，直线与的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，是面积为4的直角三角形，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性求出渐近线方程，再结合给定面积计算得解. 【详解】由为直角三角形，及双曲线的对称性知，且， 则的渐近线方程为，即，由的面积为4，得，解得， 又，因此， 所以的方程为. 故选：B 【变式2-5】（22-23高三下·全国·阶段练习）过双曲线的右顶点A作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P，的面积为（O为坐标原点），离心率为2，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意得到A点坐标与渐近线方程，写出直线方程，与双曲线另一渐近线方程联立，求得坐标，代入三角形面积公式求解，则答案可求． 【详解】由题意可知双曲线的右顶点为，双曲线的渐近线方程为， 则过A与平行的直线方程为， 联立，解得，即， 则， 又，，解得． 双曲线. 故选：A． 【题型六：双曲线中的焦点三角形】 【例1】（22-23高二上·贵州贵阳·期末）设，分别是双曲线C：的左､右焦点，P为C上一点且在第一象限若，则点P的纵坐标为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义可得，进而根据长度关系判断，代入即可求解. 【详解】根据题意可知： ，由以及可得，又， 由于,故，即三角形为直角三角形， 将代入得，由于P为C在第一象限，故点P的纵坐标为2， 故选：C 【变式2-1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义、余弦定理及三角形面积公式计算即可. 【详解】由题意可知， 在中，由余弦定理可知， 所以的面积等于. 故选：D 【变式2-2】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【答案】C 【分析】先根据双曲线定义列出，，然后结合求出的周长. 【详解】由题意知，， 所以， 又， 所以， 所以的周长为． 故选：C． 【变式2-3】（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得. 【详解】对于双曲线，则， 根据双曲线定义有， 又，，故． 故选：B    【变式2-4】（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义、已知条件求出、，设，由余弦定理、求出可得答案. 【详解】如图，由于， 有4，可得， 又由，可得，设， 在中，由余弦定理有. 在中，由余弦定理有. 又由，有， 可得，解得，所以双曲线的焦距为. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 双曲线及其方程（考点清单，知识导图+5个考点清单+题型解读） 知识点01：双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 知识点02：双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 知识点03：双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 知识点04：等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 知识点05：双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 注：以下选择题都是单选题 【题型一：双曲线的定义及其应用】 【例1】（23-24高二上·广东深圳·期末）双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（    ） A．1 B．13 C．1或13 D．3 【变式2-1】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（    ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 【变式2-4】（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆和双曲线的公共焦点为，在第一象限内的交点为，则（    ） A．-4 B．-6 C．-8 D．-9 【题型二：双曲线的简单几何性质】 【例1】（23-24高二上·天津河东·期末）双曲线的实半轴长为（    ） A．16 B．8 C．4 D．3 【变式2-1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）双曲线的一个焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高三上·广东汕头·期末）关于椭圆与双曲线的关系，下列结论正确的是（    ） A．焦点相同 B．顶点相同 C．焦距相等 D．离心率相等 【变式2-4】（23-24高二上·河南开封·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（   ） A． B． C． D． 【题型三：双曲线的离心率】 【例1】（23-24高二上·江西·期末）双曲线的离心率为，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·四川达州·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·广东广州·三模）已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【变式2-3】（23-24高二上·浙江·期末）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（23-24高二下·天津·期中）已知双曲线为坐标原点为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【变式2-5】（23-24高二下·河南·期中）在平面直角坐标系xOy中，为双曲线的左、右焦点，为右支上异于顶点的一点，直线PM平分，且，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【题型四：双曲线的渐近线】 【例1】（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·广东·期中）已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·云南临沧·期末）已知以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为，则此双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 【变式2-3】（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（23-24高二下·安徽六安·期末）已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2-5】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的两焦点为为其渐近线上一点，满足：，则此双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型五：双曲线的标准方程】 【例1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2024·山东泰安·三模）已知为双曲线（，）的右焦点，直线与的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，是面积为4的直角三角形，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】（22-23高三下·全国·阶段练习）过双曲线的右顶点A作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P，的面积为（O为坐标原点），离心率为2，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型六：双曲线中的焦点三角形】 【例1】（22-23高二上·贵州贵阳·期末）设，分别是双曲线C：的左､右焦点，P为C上一点且在第一象限若，则点P的纵坐标为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2-1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【变式2-3】（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式2-4】（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$