专题06 二次函数常考几何问题14大题型56题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材苏科版

专题06 二次函数常考几何问题 基础·固本强基 题型1 二次函数的图象与性质含参问题 题型2 二次函数的面积问题 题型3 二次函数的平移问题 题型4 二次函数的倍角问题 题型5 二次函数的45°角问题 题型6 二次函数的旋转问题 题型7 二次函数的翻折问题 题型8 二次函数与线段交点问题 题型9 二次函数与图形交点问题 题型10 二次函数的最值问题 题型11 二次函数的存在性问题 题型12 二次函数的新定义问题 提升·进阶突破 题型13 二次函数常考几何问题进阶练 拔高·压轴破难 题型14 二次函数常考几何问题压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数的图象与性质含参问题（共3小题） 【易错】易忽略二次项系数不为 0；区间约束下最值不一定在顶点，临界端点取值需单独检验，漏情况 1．（2026·江苏连云港·一模）已知二次函数的图像过点和．若此抛物线的顶点在第二象限，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入和，得出，根据此抛物线的顶点在第二象限，得出，，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线过点和， ∴，， 即， ∵此抛物线的顶点在第二象限，经过点和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，即． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数（为不等于0的常数）在时有最大值16，则的值为___________． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是关键．先把解析式化为顶点式得到对称轴，再分和两种情况，根据二次函数在时有最大值16讨论求解即可 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，函数在处有最大值， ∵二次函数在时有最大值16， ∴， ∴； 当时，则离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数在时有最大值16， ∴当时，， ∴， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或2． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数（m是常数）． (1)若． ①该函数的顶点坐标为　　　　　　；②当时，该函数的最大值　　　　　　； (2)求证：不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上； (3)已知该函数上有两点、，当时，总有，则m的取值范围是　　　　　　． 【答案】(1)①；②2 (2) 证明：二次函数， 则顶点坐标为， 将代入得， 因此，不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上； (3) 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握其图像性质是解题的关键． （1）将代入得到二次函数，据此解答即可； （2）将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标，验证顶点坐标是否在二次函数上即可； （3）由（2）可知该二次函数开口向下，对称轴为，根据当时，总有，说明当时，随的增大而减小，据此解答即可． 【详解】（1）解：当时，二次函数， ①该函数的顶点坐标为， 故答案为：； ②由①知该函数的顶点坐标为， 由于， 则当时，该函数的最大值为2， 故答案为：2； （2）略 （3）解：由（2）可知该二次函数的顶点坐标为， 当时，总有， 则当时，随的增大而减小， 由于该二次函数开口向下，对称轴为， 则， 故答案为：． 题型2 二次函数的面积问题（共3小题） 【易错】坐标转线段忘记绝对值；割补容易重复、漏算面积，动点位置多样，分类讨论不完整易丢解 4．（2026·江苏徐州·三模）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）将点代入抛物线解析式计算即可； （2）设点，直线与轴交于点，根据解题． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 顶点横坐标为，此时， ∴顶点坐标为； （2）解：当时，，即， 设点，直线与轴交于点，如图， 设直线的解析式为，则， 代入，，有 ， 解得， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 解得或， ∴或． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴另一交点为，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线第一象限内，连接，， 求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线解析式求得点与点坐标，利用待定系数法求解抛物线解析式即可； （2）过作轴交于，设，则， 进而可表示出的长度，根据表示出的面积，然后根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：对于直线， 令，得， 令，即，解得， 点的坐标，点的坐标， 将点，代入抛物线中得， ，解得， 抛物线解析式为； （2）解：如图，过作轴交于， 设，则， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为． 6．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）已知如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于C点． (1)分别求的坐标； (2)抛物线位于x轴上方的部分上是否存在点M，使，若有，请求出在此时M的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）令，再解方程得到的坐标； （2）设，再根据构建方程求解即可． 【详解】（1）解：令，即， 解得， ； （2）解：存在， ， ， 设， ， 即， 又在轴上方， ，即， 解得， 故存在，或． 题型3 二次函数的平移问题（共6小题） 【易错】左加右减仅针对 x；平移前后 a 不变，混淆图像平移和点平移，直接对整体式子加减出错 7．（2026·江苏宿迁·二模）在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于直线对称，可看作是由L向右平移4个单位长度所得，那么m的值为______． 【答案】 【分析】先求出原抛物线的对称轴，再根据平移的性质得到的对称轴，根据两个抛物线关于直线对称可知，是两条对称轴的中点，由此计算可得的值． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵可看作是由向右平移个单位长度所得， ∴的对称轴为直线， 与关于直线对称， ， 解得． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）将二次函数的图像先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的图像对应的二次函数的表达式为，则的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图像的平移，准确应用平移规则是解题关键． 根据函数图像平移规则“上加下减，左加右减”，先向上平移，再向左平移，得到新函数表达式，从而求出a和b的值． 【详解】∵ 向上平移3个单位， ∴ ， ∵ 再向左平移1个单位， ∴ ， ∴ , ， ∴ ． 故选：D． 9．（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点（在的左侧）． (1)二次函数的顶点坐标为__________； (2)若二次函数由平移所得， ①求线段的长； ②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求的值． 【答案】(1) (2)①②或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移以及二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）直接根据顶点式的顶点公式进行作答即可； （2）①由平移得到，联立抛物线与直线的解析式，求出点的坐标，两点间距离公式求出的长即可； ②根据的范围，分3种情况，确定二次函数的最大值与最小值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）①∵二次函数由平移所得， ∴， 联立，解得：或， ∵，在的左侧， ∴， ∴； ②由（1）知：， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，关于的对称点为， ∵，即：， （i）当，即：时， 则当时，函数取得最小值为：， 当时，函数取得最大值为：， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； （ii）当，即：时， 当时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为， 则：，解得：，符合题意； （iii）当，即：时， 则：当时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为：， 则：，解得：或（舍去）； 综上：或． 题型4 二次函数的倍角问题（共3小题） 【易错】倍角存在多种位置，极易漏解；构造辅助线缺少画图，求出的解不检验，得到不符合题意的根。 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若，则m的值为_____________． 【答案】/ 【分析】先用的代数式表示出，，的坐标，再作的平分线交于点，过点作于点，根据全等和角平分线性质得到用的代数式表示的和的长，根据和的关系即可求出的值． 【详解】解：在中，当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 在中，当时，， ， ， ， ， ∵轴， ， ， ， 作的平分线交于点，过点作于点，则，如图，   ，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ∴是等腰直角三角形， ， 即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 11．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图． ①求的面积； ②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，求抛物线与坐标轴的交点，角度问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①分别令求得的坐标，根据三角形的面积公式，即可求解； ②先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和． ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：①在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：， ∴，则 ∴ ②∵点在抛物线上 ∴ ∴点坐标 设所在直线解析式为，其过点、 有， 解得 ∴所在直线的解析式为： 当点在线段上时，设 而 ∴ ∴ ，， ∴ 解得：， 所以点的坐标为: 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），为抛物线上第一象限内一点，若，求点的坐标； (3)如图（2），为轴上方一动点，直线与抛物线均只有唯一公共点，于点，且的面积是10，求线段长度的最大值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)长度的最大值为． 【分析】本题考查了二次函数综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，学会利用函数思想转化角度和线段的关系是解题的关键． （1）代入，到抛物线，求解a、b的值即可； （2）过点作轴交轴于点，设，结合得出，得出，代入直线的解析式，解出t的值即可； （3）设，，依据题意表示出直线和的解析式，再求出交点P的坐标，结合的面积是10，得出m、n的关系式，代入直线解析式可得定点坐标，再利用定点坐标确定长度的最大值即可． 【详解】（1）解：代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）如图，过点作轴交轴于点，则， 设，则， 轴， 轴， ， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ， ， ， 解得：（舍），， 点的坐标为． （3）设，， 设的解析式为， 代入得，， ， ， 联立， 消去整理得：， 与抛物线只有唯一公共点， ， 整理得：， 解得：， ， 同理可得，， 联立与可得交点； ， ， ， ， ， ， 当时，， 即经过定点， ， ， 当时，长度有最大值， 线段长度的最大值为． 题型5 二次函数的45°角问题（共3小题） 【易错】45° 角分直线两侧，存在双解；坐标计算符号易出错，求得点坐标后代入验证步骤常省略 13．（26-27九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是抛物线上一动点（不与点，，重合），作轴，垂足为，连接． ①若点在第三象限，且，求点的坐标； ②当点在轴左侧抛物线上时，直线交直线于点，若，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点的坐标为或 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进而求得结果； （2）①过点作于点，可得为等腰直角三角形，设，根据等腰直角三角形的性质列方程即可解答；②分点在点的左边或右边，根据面积公式列方程即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ，解得， ； （2）解：①如图，过点作于点， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， 点的纵坐标为， 可得， 解得，（舍去）， ； ②令， 解得，， ， ， 设直线的解析式为， 把代入可得，，解得， 直线的解析式为， 当点在轴左侧且在点右侧时，如图， 设，则，， ， 整理得， 解得，（舍去）， ； 当点在轴左侧且在点左侧时，如图， 设，则，， ， 整理得， 解得，（舍去）； ， 综上，点的坐标为或． 14．（26-27九年级上·吉林松原·期中）如图，抛物线的顶点为A，过点A左侧抛物线上一点B，作轴于点C，且． (1)求点B的坐标； (2)若D是抛物线上一点，且，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据抛物线顶点式求出点A的坐标，设点C的横坐标为参数，结合轴与抛物线解析式表示出点B的纵坐标，进而表示出的长度．利用的条件建立方程，结合点B在A左侧的范围求解，得到点B的坐标． （2）以为边构造含角的辅助线，过点A作的垂线，截取等长线段构造等腰直角三角形，利用全等三角形求出该线段端点的坐标；结合点B的坐标求出直线的解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点A的坐标为， 设点C的坐标为， ∵点B在A的左侧， ∴，； ∵轴，点B在抛物线上， ∴B的坐标为， ∴． ∵， ∴ ， 整理方程： ， ， 解得（对应点A，舍去），． 将代入抛物线解析式， 得， ∴点B的坐标为． （2）解：由（1）知，， 过点A作，交于点E，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 过E作轴于F， ∵轴于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴： 由（1）知，，， ∴，， ∵A点坐标， ∴， ∴， ∴E的坐标为． 设直线的解析式为， 将和代入， 得， 解得， 因此直线的解析式为． 15．（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2) (3)存在，点或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； （2）解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； （3）解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 题型6 二次函数的旋转问题（共3小题） 【易错】旋转分顺时针、逆时针，容易漏掉其中一种；旋转求点坐标时符号运算失误，忘记检验。 16．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是 ____________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，以及几何变换，掌握二次函数图象旋转和平移的法则是解题关键．．先将抛物线配方得到顶点式，从而得到顶点坐标，根据旋转的性质可知，抛物线开口向下，的顶点坐标为，进而得到旋转后的抛物线解析式，再根据“上加下减”的法则，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线开口向上，的顶点坐标为， 将抛物线先绕原点旋转，则抛物线开口向下，的顶点坐标为， 即抛物线为， 再向下平移5个单位，则， 即得到的抛物线的解析式是， 故答案为：． 17．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知抛物线经过点． (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围 ． (3)若将此抛物线绕其顶点旋转180°，直接写出旋转后抛物线的表达式为 ． 【答案】(1)，顶点坐标 (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题． （1）把点代入得到关于的方程，再解方程可确定抛物线解析式，在化为顶点式求顶点坐标； （2）分别确定自变量为0和对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解； （3）根据顶点旋转可直接得出答案． 【详解】（1）把代入得： ， 解得， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）， 抛物线开口向下，有最大值4， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是． （3）抛物线，线绕其顶点旋转，得出． 18．（（挑战压轴）专项2.3二次函数的图像与性质-2026-2026学年九年级数学下册《同步考点解读�专题训练》（北师大版））已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出抛物线的解析式为，再分抛物线的对称轴在直线左侧，在直线右侧，在直线和直线之间，三种情况利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设抛物线上任意一点， 则点原点旋转后对应的点为，且点在抛物线P上， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线中，当时，y有最大值， ①当时，即时，当时y有最大值， ∴， ∴， 此时； ②当时，即时，当时y有最大值， ∴， ∴， 此时a不存在； ③当时，即时，当时y有最大值， ∴， ∴， 此时a不存在； 综上所述：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，关于原点对称的点的坐标特点，正确求出抛物线的解析式是解题的关键． 题型7 二次函数的翻折问题（共3小题） 【易错】翻折后是分段函数，容易忽略分段范围；对称点性质运用错误，忽视翻折后图像的限制条件 19．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，找到有四个交点时直线的运动范围是解答本题的关键．先求出点坐标，作图分析出现四个交点的情况，过点的直线与新抛物线相切的直线之间存在四个交点的情况，分两种情况计算出值即可得到答案． 【详解】解：∵， 令，则或， ∴，， 将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方， 其解析式为，, ∵ 直线与新抛物线有4个交点， ∴ ①当直线过点时，则交点有3个，此时； ②当直线与新抛物线相切时，则， 整理得：， ， 解得， 如图所示，当直线在两条直线之间时，有4个交点， 此时的范围为：． 故选：D． 20．（2025·江苏淮安·一模）已知抛物线（a为常数，且）． (1)求证：该抛物线的图像与x轴有公共点； (2)若时，此抛物线与x轴交于A，B两点，且． ①求该抛物线的函数表达式； ②将该抛物线在间的部分记为图象M，并将图象M在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象N，记N这个函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的取值范围． 【答案】(1) 证明：∵ ∴ ∴该抛物线的图像与x轴有公共点； (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，轴对称性质，二次函数的最值问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得证该抛物线的图像与x轴有公共点，即可作答． （2）①根据抛物线与x轴交于A，B两点，且，得，解得，，得，即可作答． ②先得该函数的顶点坐标D为，则D关于对称的点，算出，再进行分类讨论，作图，运用数形结合思想且根据二次函数的图象性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）①∵抛物线与x轴交于A，B两点，且， ∴， 则， ∴， 解得，， ∴，得（舍）；或，得 ∴； ②抛物线 则该函数的顶点坐标D为 则D关于对称的点， 当时，； 当时，， 即， Ⅰ、当在E上方时，， 解得 此时最大值，最小值为， 则， 解得， ∴ ； Ⅱ、当在E下方时，， 解得， 此时最大值，最小值为， 则， 解得， ∴； 综上：满足题意的t的取值范围为． 21．（2025·江苏淮安·一模）“求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关问题． (1)思源同学提出从最简单的一次函数图象开始：如图1，的图象与x轴、y轴交于点、，把直线AB沿y轴翻折交x轴于点C，可得，所以点C坐标为______，由此可求得直线BC的表达式． 承宇同学提出新的思路：从点的变换考虑，任取直线上一点，沿y轴翻折得点，则，，即，代入得翻折后所得直线的表达式为______． (2)请你选用（1）中两位同学其中一种方法求二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式． (3)下列说法中正确的有______填序号 ①将一次函数的图象沿直线翻折得到直线的表达式为；②将反比例函数的图象沿直线翻折所得图象的表达式为；③将二次函数的图象沿y轴翻折得到图象的表达式为；④将函数的图象沿直线翻折得到图象的表达式为 (4)将抛物线沿直线翻折得到图象G，直线与图象G有两个公共点，，且，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式为 (3)①③④ (4)b的取值范围为 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及一次函数，反比例函数，对称变换等知识，解题的关键是掌握关于某直线对称的两点的坐标关系． （1）由，即得，由，可得； （2）任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点，故，即可得； （3）设一次函数的图象上一点为，点沿直线翻折得到点，可得，从而，知，判断①正确；同理判断②错误，③正确，④正确； （4）任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点，即可得图象G的表达式为，联立，可得，由直线与图象G有两个公共点，有，故，解得，又，可得，即，得，解得；即知b的取值范围为 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点， ， ， ； 二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式为； （3）解：①设一次函数的图象上一点为， 点沿直线翻折得到点， ， ， ，故①正确； ②设反比例函数的图象上一点为， 点沿直线翻折得到点， ， ， ，故②错误； ③设二次函数的图象上一点为， 点沿y轴翻折得到点， ， ， ∴，故③正确； ④设函数的图象上一点为， 点沿直线翻折得到点， ∴，， ，故④正确； 正确的有①③④， 故答案为：①③④； （4）解：任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点， ， 将代入得， 图象G的表达式为， 联立， ∴， 整理得 直线与图象G有两个公共点， ， ∴\， 解得， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 的取值范围为 题型8 二次函数与线段交点问题（共3小题） 【易错】混淆直线与线段；交点必须落在线段两个端点之间，经常忽略端点范围，造成参数范围偏大。 22．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______．    【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度，平移后抛物线的解析式为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 【详解】解：， 将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度， 平移后抛物线的解析式为，     当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 23．（2024·江苏南京·三模）两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数的图像与函数的图像交点的横坐标可视为方程的根． (1)函数的图像与函数的图像有两个不同交点，求取值范围． (2)已知二次函数（为常数）． ①设直线与抛物线有两个不同交点，求取值范围． ②已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)任意值 (2)①或；②或或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题、一次函数与二次函数交点问题、二次函数的图像与性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）联立函数解析式与函数解析式，可得关于的一元二次方程，结合一元二次方程的根的判别式，即可获得答案； （2）①联立直线解析式与抛物线解析式，可得关于的一元二次方程，结合一元二次方程的根的判别式可得，然后根据函数的图像与性质，即可获得答案； ②联立抛物线解析式与，可得关于的一元二次方程，解该方程可得，，结合抛物线与线段只有一个公共点，易得或或，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：联立函数解析式与函数解析式， 可得，整理可得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 即无论取何值，均有函数的图像与函数的图像有两个不同交点， ∴取值范围为任意值； （2）①联立直线解析式与抛物线解析式， 可得，整理可得， ∵， 令，解得，， 对于函数， ∵， ∴该函数图像开口向上， ∴当或时，可有， ∴若直线与抛物线有两个不同交点， 则取值范围为或； ②联立抛物线解析式与， 可得，整理可得， 解得，， ∵抛物线与线段只有一个公共点， ∴可有或或， 解得或或． 24．（2025·江苏盐城·三模）已知二次函数的图像为C． (1)用m表示图像C的顶点坐标； (2)证明：当时，图像C与x轴有两个交点； (3)记一次函数（m是常数，，）的图像为线段，若图像C与线段（包含端点A、B）恰有一个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 证明：当时， 可得：， ， 整理得：， 当时，， 方程有两个不相等的实数根， 图像与轴有两个交点； (3)或或 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质，解决本题的关键是根据根据一次函数与二次函数的性质确定函数图像的交点． （1）把二次函数的解析式化成顶点坐标式，即可得到图像的顶点坐标为； （2）当时，可得：，利用一元二次方程根与系数的关系可证当时，图像与轴有两个交点； （3）根据一次函数的解析式可知点的坐标为，点的坐标为，根据图像与线段恰有一个公共点，分或以及直线与二次函数联立有且只有一个交点三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：整理， 可得：， 图像的顶点坐标为； （2）略 （3）解：一次函数（是常数，，）的图像为线段， 当时，，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为． ①当时， 依题意，图像与线段恰有一个公共点， 如图， 当时，， 解得：或， 当时，， 解得：， ∴； ②当时， ， 解得：； ③当一次函数与二次函数联立方程，得， 一元二次方程有且只有两个相等实数根时： 整理得， ， 解得，此时，交点横坐标分别为或（不在x取值范围舍去）； 综上所述，或或时，图像与线段恰有一个公共点． 题型9 二次函数与图形交点问题（共3小题） 【易错】图形有边界，不是无限延伸；只算联立方程，遗漏顶点相切、边界相交，分类不全漏解 25．（24-25九年级下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，拋物线与x轴交于E，F两点，长方形的顶点C，D在x轴上，，． (1)如图1，若拋物线过点A，求拋物线的函数表达式和点E的坐标． (2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点B的对应点P落在直线上，点E的对应点Q落在拋物线上，求Q点的横坐标． (3)若拋物线与图2中的三条边恰有两个交点，则的取值范围是________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、平移性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，借助图象找到临界点是解答的关键． （1）先根据坐标与图形性质得到，，再利用待定系数法求得抛物线的函数表达式为；令，求解x值即可； （2）先利用待定系数法求得直线的解析式为，设，利用平移性质得到，代入中求解即可； （3）根据该抛物线的对称轴为直线，开口向上，只需上下平移抛物线，分别求得临界点的c值，结合图形可得答案． 【详解】（1）解：∵长方形的顶点C、D在轴上，，． ∴，， ∵抛物线过点A， ∴将代入中，得， ∴抛物线的函数表达式为； 令，由得，， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 将、代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵，，由平移所得， ∴点Q向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P坐标，即， ∵点P在直线上， ∴将P坐标代入中，得， 整理得：，即， 解得，（与点E重合，舍去）， ∴Q点的横坐标为； （3）解：由得该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当抛物线经过点B时，将代入中，得，此时抛物线与恰有一个交点B； 当抛物线经过点A时，由（1）知，此时抛物线与恰有三个交点， ∴当时，该抛物线与恰有两个交点； 当抛物线的顶点在线段上时，则，解得，此时抛物线与恰有三个交点， 当抛物线与线段只有一个交点时， 由得， 由得， 此时抛物线与线段有一个交点，与无交点， 当抛物线经过点D时，将代入中，得， ∴当时，该抛物线与恰有两个交点， 综上，当或时，该抛物线与图2中恰有两个交点， 故答案为：或． 26．（2024·河北·中考真题）如图，正方形的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求出抛物线解析式为，再求出抛物线与正方形边长另一个交点为，再根据直线过定点，结合函数图象解题即可． 【详解】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为， ∵正方形的顶点坐标分别为， ∴， ∵抛物线经过点，顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得到，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ， ∵直线， ∴直线过定点， 当时， ∴直线与必有两个交点， ∵将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象，直线与图象有唯一交点， ∴当时，抛物线过，即，解得， 当时，抛物线过，即， 解得：， 综上所述，或， 故选：A． 27．（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求点与点的坐标； (2)求抛物线的表达式； (3)如图2，若点为第四象限抛物线上一动点，过点作轴，轴分别交直线于点，求的最大值； (4)如图3，将二次函数的图象沿轴向上翻折形成图象，将直线向上平移个单位长度得到直线，若与图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或 【分析】（1）利用直线与坐标轴的交点特征，求点、坐标．令直线中，可求得点的横坐标；令，可求得点的纵坐标． （2）将点、的坐标代入抛物线解析式，得到关于、的方程组，解方程组即可求出抛物线的表达式． （3）先证明，将求的最大值转化为求的最大值．设点的坐标，根据轴得到点的坐标，进而用含的代数式表示出的长度，构造二次函数并求其最大值，从而得到的最大值． （4）先求出原抛物线沿轴翻折后的型函数解析式，再写出直线向上平移个单位后的直线解析式．通过分析直线过点、点的临界情况，以及直线与翻折后抛物线相切的临界情况，来确定的取值范围． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， 令，得， ， ， 直线与轴交于点， 令，得， ； （2）解：抛物线过、， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （3）解：在中，，， 是等腰直角三角形， ， 轴，轴， ，， 是等腰直角三角形 ， ， 设，其中 轴，点在直线上， ， ， 二次函数的开口向下，对称轴为， 当时，， ； （4）解：令中，，得， 解得或， ∴点， 抛物线， 沿轴翻折后的解析式为（）， 设直线向上平移个单位得到直线：， 如图，当直线过点时， ， ， 如图，当直线过点时， ， ， 如图，当直线与翻折后的抛物线相切时， 联立方程得， ， ， ， 解得， 的取值范围为或． 题型10 二次函数的最值问题（共3小题） 【易错】顶点不一定在自变量取值区间；最大、最小值分开判断，容易搞错对称轴两侧增减性 28．（2024·江苏扬州·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点的坐标； (3)若为抛物线在第一象限的一动点，则最大值 ． 【答案】(1)； (2)的周长的最小值为，点P的坐标为 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）如图1中，连接与对称轴交于点，此时的周长最小．求出直线的解析式即可解决问题； （3）为抛物线在第一象限的一动点，则，，依据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， 连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长， 令，则， ， ，， ，， 的周长的最小值为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：为抛物线在第一象限的一动点， ， ， 当时取最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的综合题、待定系数法、一次函数、最小值问题等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称的思想解决最小值问题． 29．（2026·江苏盐城·二模）已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 【答案】 【分析】先判断二次函数的开口方向和对称轴，根据开口向上时，越靠近对称轴函数值越小，离对称轴越远函数值越大，结合的取值范围，即可求解． 【详解】解：二次函数， ，抛物线开口向上，对称轴为， 在范围内， 计算各端点到对称轴的距离：，，， 可得， 当时，取得最小值， 代入得， 不能取，且时， ， 当时，的取值范围为． 30．（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的对称性与二次函数的最值，解题的关键是利用抛物线的对称性确定对称轴，再结合函数取值范围分析自变量的范围． 先根据点、纵坐标相同，确定抛物线对称轴；代入顶点式得到最小值，再结合的取值范围，求出对应的值，进而确定的范围． 【详解】解：∵点、在抛物线上且纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为，即，得． ∴抛物线为，其最小值为（当时取得）． 当时，，解得或． ∵当时，的取值范围是， ∴需满足． 故答案为：． 题型11 二次函数的存在性问题（共3小题） 【易错】存在性问题多解常见，容易漏情况；求出坐标后不检验，得到不符合图形条件的增根 31．（2025·安徽·一模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． (1)求b，c； (2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据点，得到，由几何面积得到，即点，将点的坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到点，，如图所示，过点作轴于点，设点M的坐标为，则，，，，根据，代入，结合二次函数求最值的计算方法即可求解； （3）设点P的坐标为，则，，，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，即；当时，则；当时，则；由此解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点， ∴， ∵的面积， ∴，即点， 将点的坐标代入二次函数表达式得：， 解得． （2）解：由（1）得抛物线的表达式为， 令，即， 解的，或， ∴点，， 如图所示，过点作轴于点， 设点M的坐标为， ∴，，，， ∵ ∴ ， ∵， ∴当时，S最大值， 答：四边形的面积S的最大值为． （3）解：设点P的坐标为，则，，， 当时，即， 解得（舍去）或3，即点P的坐标为； 当时，则， 解得或，即点P的坐标为或； 当时，则， 解得，即点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数几何图形的综合，掌握二次函数图象与坐标轴的交点的计算，二次函数图象与几何图形面积的计算，等腰三角形的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键． 32．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由题意，可得．把点A， C的坐标代入，得到关于b ， c的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式； （2）利用配方法求出抛物线的对称轴是直线．由抛物线与轴交于点A， B，得出点A， B关于直线对称．连接，交对称轴于点，根据两点之间线段最短可知此时的值最小．利用待定系数法求出直线的解析式为，把代入，求出，进而得出点的坐标； （3）在（2）条件下，点的坐标为．设，根据正方形的性质可得，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可得． ∵抛物线过点A，点C， ∴， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴是直线． ∵抛物线与x轴交于点A，B， ∴点A，B关于直线对称． 连接，交对称轴于点P，此时的值最小． 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：在（2）条件下，点P的坐标为． 设， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，或， 整理得，或， 解得， ∴或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 33．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标； (3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)点或或或 (3)点F坐标为或或 【分析】（1）根据待定系数法直接将，两点待入求解即可； （2）根据题意先求出点C坐标，是设点，根据可得，求解即可； （3）根据平行四边形的性质分别讨论若为边，且四边形是平行四边形时，若为边，且四边形是平行四边形时，若为对角线，则四边形是平行四边形时三种情况即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴点， ， 设点， ， ， 或， ∴点或或或； （3）解：若为边，且四边形是平行四边形， ， ∴点F与点C纵坐标相等， ， ，， ∴点， 若为边，且四边形是平行四边形， 与互相平分， 中点纵坐标为0，且点C纵坐标为3， ∴点F的纵坐标为， ， ， ∴点或； 若为对角线，则四边形是平行四边形， 与互相平分， 中点纵坐标为，且点E的纵坐标为0， ∴点F的纵坐标为3， ∴点， 综上所述，点F坐标或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数综合，坐标与图形，二次函数图象与性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 题型12 二次函数的新定义问题（共3小题） 【易错】凭旧经验做题，不严格遵守题干新定义；忽略定义附带限制条件，未验证结果是否满足规则。 34．（2026·河南信阳·模拟预测）新定义：若函数的图象恒过定点那么就称此函数为恒点函数． (1)若函数为恒点函数则________，该函数图象与坐标轴围成图形的面积为________； (2)已知二次函数 ①试判断该函数是否为恒点函数，并说明理由； ②若，当该函数图象的顶点在最高位置时，图象上有两点，且，请直接写出的取值范围________． 【答案】(1)；1； (2)①该函数是恒点函数，理由如下： 将代入， 得， 不论a，b取何值，函数图象恒过， 该函数是恒点函数； ②或 【分析】（1）利用恒点函数过定点代入求，再求出函数与两坐标轴的交点计算三角形面积； （2）①将代入二次函数，验证是否恒为即可判断；②先求出顶点纵坐标，结合得到顶点最高时的参数关系，得到对称轴，再根据开口向上的二次函数的函数值与点到对称轴距离的关系求解的范围． 【详解】（1）解：∵是恒点函数， ∴其图象过点， 将代入， 得 解得， ∴函数解析式为， 令，得， ∴函数与轴交于， 又∵其与轴交于， ∴围成三角形的面积为； （2）解：①略 ②由题意得，的顶点纵坐标为， ，， ∴， 当顶点在最高位置时，即此时的顶点纵坐标最大， 此时 解得， ∴二次函数的对称轴为，且抛物线开口向上， ∴点到对称轴的距离越大，对应函数值越大， ∵点到对称轴的距离为， 又， 点到对称轴的距离大于，即 解得或． 35．（25-26九年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，∴函数的“最优纵横值”为10．根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求、的值； (3)若二次函数的顶点在，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 【答案】(1)8 (2)， (3) 【分析】本题考查配方法和二次函数的性质的应用： （1）根据“纵横值”的定义求解即可； （2）根据二次函数的顶点的位置可求出b的值，表示出，利用配方法求出其最大值即可求出c； （3）根据二次函数顶点在直线上可求出h，表示出，利用配方法求出其最大值，并结合二次函数图象性质求出其最小值，从而得到答案． 【详解】（1）解： 故答案为：8； （2）解：∵二次函数的顶点在直线上， ∴，即， ∴， 则， 即二次函数的最优纵横值为， ∴， ∴， ∴，； （3）解：二次函数的顶点坐标为， ∵顶点在直线上， ∴，解得， 故二次函数为， 则， 当时，当时，的最大值为， 当时，有最小值， ∴当时，求该二次函数的纵横值的范围是． 36．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）定义：若一个函数上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”，例如，点是函数的图象的“2倍点” (1)一次函数的图象的“2倍点”的坐标是_____，二次函数的图象的“2倍点”是_____； (2)若关于的二次函数（为常数）的图象上存在两个“2倍点”，求的取值范围； (3)设关于的函数（为常数）的图象上有且只有一个“2倍点”为，关于的函数（为常数）的图象上有两个“2倍点”为，，求，两点的坐标． 【答案】(1)；和 (2) (3)， 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）设一次函数的图象的“2倍点”的坐标是，二次函数的图象的“2倍点”的坐标是，分别代入求出的值，由此即可得； （2）设关于的二次函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是，则可得，再根据这个方程有两个不相等的实数根求解即可得； （3）设关于的函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是，则可得，根据这个方程有两个相等的实数根即可得的值，则可得点的坐标，再代入函数可得的值，然后设点的坐标为，代入函数求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设一次函数的图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，解得， ∴一次函数的图象的“2倍点”的坐标是； 二次函数的图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，解得或， 当时，；当时，， ∴二次函数的图象的“2倍点”的坐标是和， 故答案为：；和． （2）解：设关于的二次函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，即， ∵关于的二次函数（为常数）的图象上存在两个“2倍点”， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． （3）解：设关于的函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，即， ∵关于的函数（为常数）的图象上有且只有一个“2倍点”， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 将点代入函数得：，解得， ∴这个函数的解析式为， 设点的坐标为， 将点代入函数得：， 解得或（即为点的横坐标）， ∴点的坐标为． 提升·进阶突破 题型13 二次函数常考几何问题进阶练（共10小题） 37．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，．双曲线与交于点，连接．当的面积最大时，的值为（   ） A．15 B．12 C．9 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的最值，反比例函数的图象和性质，矩形的性质等知识．根据题意得到，，设的面积为y，根据题意，得，结合，函数y有最大值，且当时，函数有最大值，解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵双曲线与交于点， ∴， 设的面积为y， ∴ ， ∵，函数y有最大值，且当时，函数有最大值， 故选：B． 38．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用，坐标，即可得出点坐标，代入，即可得出的值 【详解】作轴于，于， 四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ，， 设， 点、的坐标分别是、， ，解得， ， 在抛物线的图像上， ， ， 故答案为：． 39．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，则P点到直线的距离的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数综合—面积问题，一次函数的应用，勾股定理，先求出，得到，直线的解析式为，作轴，交于点，连接、，设，则，求出，从而可得，由二次函数的性质可得当时，的值最大，为，再结合，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即， 当时，，解得，，即，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴，交于点，连接、， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为， ∵， ∴此时的值也最大，为， 故答案为：． 40．（2026·江苏南京·二模）已知二次函数（为常数，），顶点坐标为． (1)当时， ； (2)当时， ①求证：二次函数的图像与轴总有两个公共点； ②若二次函数图像与轴的交点都在轴的右侧，则的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)①证明：由（1）可得， 令，即，， ∵， ∴，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴二次函数的图像与轴总有两个公共点． ②． 【分析】（1）先将函数解析式化成顶点式可知，然后解关于a的方程即可； （2）①先把函数解析式化成一般式，令，得到关于x的方程，再证明方程根的判别式大于零即可证明结论；②当，即，由题意可知该方程的都是大于零的实数，解（1）的解答过程可得，再根据等式的性质、直接开平方法解关于x的方程，然后让解的最小值大于零，据此列不等式求得a的取值范围；由（1）可知，再根据二次函数的性质确定n的取值范围即可． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵抛物线顶点坐标为，， ∴，解得：或， ∵， ∴． （2）①证明：略； ②解：当，即，由题意可知该方程的根都是大于零的实数， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴方程的最小解为， ∴，解得：， ∴； 由（1）可得：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为， ∴当时，n随a的增大而减小， ∴当，n随a的增大而减小， ∵当时，n有最大值；当时，n有最小值； ∴的取值范围为． 41．（2026·江苏盐城·二模）已知二次函数（，为常数，），且满足． (1)若函数图象经过点，求函数的表达式及其顶点坐标； (2)①对称轴为直线________．（用含的式子表示） ②若当时，随的增大而增大，请求出的取值范围． (3)对于任意的，该二次函数的图象都必过的定点坐标为________．（直接给出答案即可） 【答案】(1)， (2)①；② (3)， 【分析】（1）将点代入解析式，结合条件，求出a、c，进而确定函数解析式； （2）①根据二次函数对称轴公式确定答案；②根据二次函数开口方向和对称轴两侧的增减性确定的取值范围； （3）将代入解析式，因式分解，从而得到答案． 【详解】（1）将代入得，， 整理得， 联立和得，， 解得， ∴， 顶点横坐标为：， 当时：， ∴顶点坐标为； （2）①二次函数的对称轴为直线：； ②∵当时，随的增大而增大， ∴且， 解得； （3）∵， ∴， 将上面式子代入解析式得，， 整理得，， 当时，，对于任意的，二次函数图象都必过点； 当时，，对于任意的，二次函数图象都必过点； 综上所述，对于任意的，二次函数图象都必过点和． 【点睛】本题考查二次函数的性质、待定系数法求解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的相关性质． 42．（2026·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，判断和的大小关系：________； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)的取值范围是或 【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式进行求解即可； ②分别把点和代入解析式进行求解即可； （2）由题意易得，然后分当时，当时，进而分类进行求解． 【详解】（1）解：当时，则二次函数解析式为， ①该抛物线的对称轴为； ②把点和分别代入得： ， ∴； （2）解：∵点和是抛物线上的两点，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的取值范围为或． 43．（2026·江苏常州·一模）如图，二次函数的图像与轴交于点，（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，． (1)填空：_________； (2)若点是第一象限抛物线上一点． ①连接，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值； ②过点作轴，垂足为，作直线交轴负半轴于点．若，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；②4 【分析】（1）将B点坐标代入函数表达式，即可求出b； （2）①与y轴的交点为G，求出过的直线表达式，联立求出交点D的坐标；以y轴的线段为底边，表示三角形的面积，面积比就是横坐标之比，与长度无关； 面积比值取最大值，即为所求； ②先求出过的直线方程，，所以两条直线的相等，点是与抛物线交点，与抛物线解析式联立，即可求得点横坐标． 【详解】（1）解：将，代入函数表达式，得： 解得： （2）解：①已知二次函数为， 令，得，y轴交点C坐标为， 令，解方程，得到x轴两个交点， 设过的直线解析式为：， 解得： ， 设点，过直线解析式为： 解得： ， 两直线表达式联立求交点D坐标， 解得： 点D坐标： 设与y轴交点为点G，如下图： 设点A横坐标为，点P横坐标为，点D横坐标为， 时，即点P横坐标：时，取得最大值，最大值为：． ② 由①可知：, 直线的表达式为：， 设直线的表达式为：，点， 则点，，如图所示： ， ， 点是与抛物线的交点，联立得方程组 解得：，（点P在第一象限，负值不符合题意，舍去）， 点的横坐标为：4． 44．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； (1)用配方法将二次函数化为的形式 ； (2)点为二次函数的图象第四象限的点，设点的横坐标为，当的面积最大时，求的最大面积，并写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）加减一次项系数一半的平方，配方解答即可； （2）过点P作轴于点F，交直线于点Q，求出直线的解析式， 设，则， 则，表示三角形的面积，进行求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵ ∴当时，；当时，解得， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵点是抛物线上的一动点，且在第四象限，点P的横坐标为m， 故， 过点P作轴于点F，交直线于点Q，则， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为，此时． 45．（25-26九年级下·江苏镇江·期中）我们定义：点在一次函数图象上，点在反比例函数图象上，若存在点与点关于轴对称，则称二次函数为一次函数与反比例函数的“衍生函数”，点称为“基点”，点称为“靶点”． (1)若二次函数是一次函数与反比例函数的“衍生函数”，则“基点”的坐标为 ，“靶点”的坐标为 ． (2)若二次函数是一次函数和反比例函数的“衍生函数”，且“基点”的P横坐标为，求的值； (3)若二次函数是一次函数和反比例函数的“衍生函数”，其中，试证明一定有两个不同的“基点”，且有一个“基点”的纵坐标为． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（）根据轴对称的坐标关系设出基点与靶点，将两点分别代入一次函数和反比例函数解析式，联立方程组推导出核心关系式，代入求解，再求出，最终确定的坐标； （） 已知基点横坐标和，将其代入（）中推导的核心关系式，通过解一元一次方程求出的值； （）将代入核心关系式，得到关于的一元二次方程，计算判别式证明其恒大于，从而证得存在两个不同基点；再对方程因式分解求根，代入一次函数求出对应纵坐标，证明其中一个基点的纵坐标恒为，完成命题证明． 【详解】（1）解：首先根据定义推导核心关系： 设“基点”，由关于轴对称得“靶点”； 又在一次函数上，在反比例函数上， 因此， 整理得， 此处，代入核心式得， 解得； 代入一次函数得， 因此，对称得； （2）解：已知基点横坐标为，即，， 代入核心式， 即：， 解得； （3）证明：此处， 代入核心式，得关于的一元二次方程： 判别式： ∵， ∴，方程有两个不相等实根，即一定有两个不同的“基点”， 对方程因式分解得：， ∴得根， 把代入一次函数， 得纵坐标：， 因此有一个“基点”的纵坐标为，原命题得证． 46．（2026·山东枣庄·一模）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)当时，n有最小值 【分析】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式，即可得到顶点坐标； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点两点， ∴设， 又∵抛物线，即， 解得， 故抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）知抛物线解析式为， 则， 设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得， 解得 ∴， 当时，， ∴； 由同理可得，得到 综上，P点的坐标为或； （3）解：由题意得：， 仅存在一个点，使得， 抛物线与直线仅有一个交点， ， 整理得， ， ， ， 又，当时，随着的增大而减小， ∴时，n最小为． ∴当时，即当时，n有最小值． 拔高·压轴破难 题型14 二次函数常考几何问题压轴练（共10小题） 47．（2026·江苏无锡·三模）定义：若函数的图像上存在一点，且该点处的“瞬时变化率”k满足，则称该函数为“Ω函数”．规定：对于一次函数，其图像上任意一点的“瞬时变化率”均为k；对于二次函数，其顶点处的“瞬时变化率”为0．下列结论正确的是（     ） ①一次函数是Ω函数；②若一次函数是Ω函数，则函数值一定随自变量的增大而增大；③二次函数是Ω函数；④二次函数是Ω函数，则一定有． A．①③ B．②③ C．①④ D．① 【答案】D 【分析】根据题目给出的“Ω函数”定义，以及一次函数、二次函数瞬时变化率的规定，逐一判断每个结论，即可得到正确选项． 【详解】解：①一次函数，由规定得任意点瞬时变化率， 若为Ω函数，需满足，其中，代入得：， 整理得， ∵，方程有实根， 该函数是Ω函数，①正确； ②一次函数是Ω函数，则满足， 整理得， ， ， ，方程总有实根，可以为负数，例如，时方程有实根， 该函数是Ω函数，但函数值随自变量增大而减小，故②错误； ③二次函数，由规定得顶点处瞬时变化率， 配方得，顶点坐标为， ，不满足Ω函数定义，故③错误； ④二次函数，顶点横坐标，顶点纵坐标， 顶点处“瞬时变化率”，即， 若，则，此时， 而， 因此只要就满足条件，不一定，故④错误． 综上只有①正确． 48．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知一次函数与二次函数在内有相同的最大值，则k的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先确定二次函数的最大值在或时取得，当时，，当时，；再讨论，，结合一次函数的性质分析即可． 【详解】解：∵抛物线中 ∴抛物线开口向上， ∴当或时，二次函数取得最大值， 当时，； 当时，， 当时，对于一次函数在上，随着的增大而增大， ∴当时， ∵一次函数与二次函数在内有相同的最大值， ∴①，即时，则，解得，此时与矛盾，故不符合题意； ②，即时，则，符合题意； 当时，对于一次函数在上，随着的增大而减小， ∴当时，， 此时， ∵一次函数与二次函数在内有相同的最大值， ∴，解得，与矛盾，故不符合题意； 综上：． 49．（25-26九年级下·江苏常州·期中）对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用根的判别式得到的范围，再结合二次函数图像性质得到时对应的函数值，即可求出的完整取值范围． 【详解】解：∵二次函数（为常数）有不动点， 令，则，即， ∵二次函数有两个不相等的不动点， 即有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 令，该抛物线开口向上，对称轴为， ∵方程的两个根都小于， ∴当时，， 解得：， 综上所述，的取值范围是． 50．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在的边上移动，轴，轴，M点坐标为，，．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则的最大值是_____________． 【答案】23 【分析】先求出N，R的坐标，观察图形可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3，由此求出a值，当时，当顶点在M处时取最大值，据此可解． 【详解】解：，，， ，， 由题意可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3， 则抛物线的解析式为， 将点B坐标代入上式得，， 解得，， 当时，， 观察图形可知，顶点在M处时，取最大值， 此时抛物线的解析式为：， 将代入得，． 51．（2026·江苏镇江·二模）已知二次函数，当（n为常数）时，二次函数的最大值与最小值的差为，则n的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质与区间最值问题，先对二次函数配方得到对称轴和最小值，再根据的不同取值范围分情况讨论，结合二次函数的增减性求出对应区间的最大值和最小值，根据最大值与最小值的差为，筛选出符合条件的的取值范围． 【详解】解： 二次函数开口向上，对称轴为直线，二次函数的最小值为， 对称轴左侧随增大而减小，对称轴右侧随增大而增大 ①当时在范围内，随增大而减小 时取得最大值， 时取得最小值， 由题意得 整理得， 解得与矛盾，此种情况舍去 ②在的情况下，已求得最小值为，根据题意可得最大值必须为 函数在区间上的最大值为两端点函数值的较大者， 因此，需要满足， 解此不等式得 结合本情况的前提， ∴ 综上，的取值范围为 52．（2026·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有两个交点时，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于的方程求解，最后总结得出的范围即可． 【详解】解：将配成顶点式为，此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线上运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时（一个交点），此时二次函数经过点，此时取最小值， 将代入得，， 解得，（舍去）， 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时（一个交点），此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得，， 解得，（不合，舍去）， 则二次函数与矩形有两个交点时，二次函数图象在与矩形第一次相交和与矩形最后一次相交之间，且不包含第一次相交和最后一次相交， ∴． 53．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 【答案】(1)a，c的值分别为 (2)或2 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，， ∴， 解得， 即a，c的值分别为； （2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； 当时，， 则当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴， 解得（舍去）或； 当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ∴， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2； （3）解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下， 当时，则，， 作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧， 令，解得或， ∴，， 令，解得或， ∴，， ∵， ∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上， ①当点N在曲线段上时， 把，分别代入， 得， 两式相减，整理得， ∴， 当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值， 当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时， 当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时， ∴； ②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时， 取得最大值，且为， 当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为， ∴； 综上，或． 54．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数图像的对称轴为直线，其图象过点与x轴交于另一点B，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式，写出顶点坐标； (2)动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿的，边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接，将沿翻折，若点B恰好落在抛物线上的处，试求t的值及点的坐标； (3)在（2）的条件下，Q为的中点，试探究x轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，试说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，点坐标为，． 【分析】（1）由抛物线对称轴为，并过点，可求出、，从而求出抛物线解析式和顶点坐标． （2）由A，B，C坐标可得出，再由，推出是正三角形，翻折后，推出，从而得到，把代入即可求解． （3）分情况讨论点在轴的存在性． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． 二次函数的解析式为． 配方得， 顶点坐标为． （2）解：如图， 由题意知， 令，得 ， 解得， 点坐标为， 令，得， ∴点坐标为， 在中，，， 则, ， 又， 是正三角形． ∵动点，从出发，速度为每秒2个单位长度， ， 点在上，坐标为， 点在上，由几何关系可知的坐标为，即． 将沿翻折后，点是关于的对称点， ∴，， ∴， ∴, 的纵坐标与相同，为， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， ． 点在抛物线上， ， 化简，得， ， ． 时，，， ． （3）解：由（2）的结论可知，在中，， 当时，为的中点，为的中点， ∵，， ∴ 在中，， 是直角三角形，， ，． 当在轴上时，过作交轴于点． ， ． ． 解得， ∴，则； 过作轴于， ，， ． ，解得， ∴，则； 在轴的其它位置时，不可能为直角三角形，不可能与相似； 综上所述：轴上存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，点坐标为，． 55．（2026·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（）与y轴交于点，顶点为，将该抛物线沿射线方向平移得抛物线，抛物线的顶点为Q． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若抛物线与x轴交于B、C两点，且，则点Q的坐标为_________； (3)点E是抛物线对称轴右侧图像上一点，点F在抛物线上，若四边形是面积为6的平行四边形，求点Q的坐标； (4)如图2，抛物线与抛物线交于点M，连接、，若，则点Q的横坐标为_________． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由题意可得且，得到，再将点代入，求出即可； （2）设抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得抛物线，得到抛物线的解析式为，设，求出，根据，利用，即可解答； （3）求出直线的解析式为，根据四边形是面积为6的平行四边形，可得，如图，设直线交轴于点，过点作直线的垂线，交直线于点，设直线与轴交点为，求出，易证是等腰直角三角形，得到，求出，进而得到，直线的解析式为，联立，求出，根据点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，同理（2）得到抛物线的解析式为，即可求解； （4）由（3）知直线的解析式为，设，联立，求出，易得是直角三角形，由，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得且， 则， ∴， 将点代入，则， ∴， ∴抛物线对应的函数表达式为； （2）解：∵点，点，且，将抛物线沿射线方向平移得到抛物线， ∴设抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线， ∵抛物线：， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于B、C两点， 令，设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标； （3）解：设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， ∵四边形是面积为6的平行四边形， ∴， 如图，设直线交轴于点，过点作直线的垂线，交直线于点，设直线与轴交点为， ∴， ∴， 令，解得，则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∵点E是抛物线对称轴右侧图像上一点， ∴， ∵点，点，且， ∴点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∵， ∴点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴，即， 同理（2）设抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 将代入，则， ∴， 解得或， ∴抛物线的解析式为或， ∴点Q的坐标为或； （4）解：由（3）知直线的解析式为， 设， ∴抛物线的解析式为， 联立，则， 整理得，即， 解得或（与点重合，舍去）， 当时，， ∴， ∵，即， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得（点，点重合，舍去），或或（舍去）， ∴点Q的横坐标为． 56．（2026·江苏苏州·二模）如图1，二次函数（、是常数，）的图像与轴交于点，． (1)填空：_________，_________； (2)若直线与二次函数的图像交于点、． ①若直线上方的抛物线上存在一点，使得的面积最大，求出最大值和点的横坐标； ②如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你求出此定值并说明理由． 【答案】(1) (2)①面积最大值为，点横坐标为​；②长度不变，定值为 【分析】（1）根据待定系数法解答即可； （2）①由（1）得抛物线解析式，联立直线与得：，求出点，设点横坐标为，则，过作轴交于E，则，算出，则，即可求出面积的最大值． ②原抛物线配方得，根据题意可得沿方向平移时，平移满足：向右平移个单位，向上平移个单位，则平移后抛物线解析式为： ，联立与，整理得，设两根为，由根与系数的关系得：，则 ，，由勾股定理． 【详解】（1）解：将、代入， 得， 解得：． （2）解：①由（1）得抛物线解析式， 联立直线与得：，整理得， 解得：，， ∴点， 设点横坐标为，则， 过作轴交于E， 则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，当时，面积最大，最大面积， 故面积最大值为，点横坐标为​． ②原抛物线配方得， ∵， ∴沿方向平移时，平移满足：向右平移个单位，向上平移个单位， ∴新抛物线顶点为， ∴平移后抛物线解析式为： ， 联立与，整理得， 设两根为， 由根与系数关系得：， ∴ ， 又， ∴， 即长度不变，定值为． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数常考几何问题 基础·固本强基 题型1 二次函数的图象与性质含参问题 题型2 二次函数的面积问题 题型3 二次函数的平移问题 题型4 二次函数的倍角问题 题型5 二次函数的45°角问题 题型6 二次函数的旋转问题 题型7 二次函数的翻折问题 题型8 二次函数与线段交点问题 题型9 二次函数与图形交点问题 题型10 二次函数的最值问题 题型11 二次函数的存在性问题 题型12 二次函数的新定义问题 提升·进阶突破 题型13 二次函数常考几何问题进阶练 拔高·压轴破难 题型14 二次函数常考几何问题压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数的图象与性质含参问题（共3小题） 【易错】易忽略二次项系数不为 0；区间约束下最值不一定在顶点，临界端点取值需单独检验，漏情况 1．（2026·江苏连云港·一模）已知二次函数的图像过点和．若此抛物线的顶点在第二象限，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数（为不等于0的常数）在时有最大值16，则的值为___________． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数（m是常数）． (1)若． ①该函数的顶点坐标为　　　　　　；②当时，该函数的最大值　　　　　　； (2)求证：不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上； (3)已知该函数上有两点、，当时，总有，则m的取值范围是　　　　　　． 题型2 二次函数的面积问题（共3小题） 【易错】坐标转线段忘记绝对值；割补容易重复、漏算面积，动点位置多样，分类讨论不完整易丢解 4．（2026·江苏徐州·三模）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴另一交点为，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线第一象限内，连接，， 求的面积的最大值． 6．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）已知如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于C点． (1)分别求的坐标； (2)抛物线位于x轴上方的部分上是否存在点M，使，若有，请求出在此时M的坐标，若不存在，说明理由． 题型3 二次函数的平移问题（共6小题） 【易错】左加右减仅针对 x；平移前后 a 不变，混淆图像平移和点平移，直接对整体式子加减出错 7．（2026·江苏宿迁·二模）在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于直线对称，可看作是由L向右平移4个单位长度所得，那么m的值为______． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）将二次函数的图像先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的图像对应的二次函数的表达式为，则的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 9．（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点（在的左侧）． (1)二次函数的顶点坐标为__________； (2)若二次函数由平移所得， ①求线段的长； ②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求的值． 题型4 二次函数的倍角问题（共3小题） 【易错】倍角存在多种位置，极易漏解；构造辅助线缺少画图，求出的解不检验，得到不符合题意的根。 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若，则m的值为_____________． 11．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图． ①求的面积； ②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），为抛物线上第一象限内一点，若，求点的坐标； (3)如图（2），为轴上方一动点，直线与抛物线均只有唯一公共点，于点，且的面积是10，求线段长度的最大值． 题型5 二次函数的45°角问题（共3小题） 【易错】45° 角分直线两侧，存在双解；坐标计算符号易出错，求得点坐标后代入验证步骤常省略 13．（26-27九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是抛物线上一动点（不与点，，重合），作轴，垂足为，连接． ①若点在第三象限，且，求点的坐标； ②当点在轴左侧抛物线上时，直线交直线于点，若，直接写出点的坐标． 14．（26-27九年级上·吉林松原·期中）如图，抛物线的顶点为A，过点A左侧抛物线上一点B，作轴于点C，且． (1)求点B的坐标； (2)若D是抛物线上一点，且，求直线的解析式． 15．（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型6 二次函数的旋转问题（共3小题） 【易错】旋转分顺时针、逆时针，容易漏掉其中一种；旋转求点坐标时符号运算失误，忘记检验。 16．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是 ____________________． 17．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知抛物线经过点． (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围 ． (3)若将此抛物线绕其顶点旋转180°，直接写出旋转后抛物线的表达式为 ． 18．（（挑战压轴）专项2.3二次函数的图像与性质-2026-2026学年九年级数学下册《同步考点解读�专题训练》（北师大版））已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型7 二次函数的翻折问题（共3小题） 【易错】翻折后是分段函数，容易忽略分段范围；对称点性质运用错误，忽视翻折后图像的限制条件 19．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 20．（2025·江苏淮安·一模）已知抛物线（a为常数，且）． (1)求证：该抛物线的图像与x轴有公共点； (2)若时，此抛物线与x轴交于A，B两点，且． ①求该抛物线的函数表达式； ②将该抛物线在间的部分记为图象M，并将图象M在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象N，记N这个函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的取值范围． 21．（2025·江苏淮安·一模）“求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关问题． (1)思源同学提出从最简单的一次函数图象开始：如图1，的图象与x轴、y轴交于点、，把直线AB沿y轴翻折交x轴于点C，可得，所以点C坐标为______，由此可求得直线BC的表达式． 承宇同学提出新的思路：从点的变换考虑，任取直线上一点，沿y轴翻折得点，则，，即，代入得翻折后所得直线的表达式为______． (2)请你选用（1）中两位同学其中一种方法求二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式． (3)下列说法中正确的有______填序号 ①将一次函数的图象沿直线翻折得到直线的表达式为；②将反比例函数的图象沿直线翻折所得图象的表达式为；③将二次函数的图象沿y轴翻折得到图象的表达式为；④将函数的图象沿直线翻折得到图象的表达式为 (4)将抛物线沿直线翻折得到图象G，直线与图象G有两个公共点，，且，求b的取值范围． 题型8 二次函数与线段交点问题（共3小题） 【易错】混淆直线与线段；交点必须落在线段两个端点之间，经常忽略端点范围，造成参数范围偏大。 22．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______．    23．（2024·江苏南京·三模）两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数的图像与函数的图像交点的横坐标可视为方程的根． (1)函数的图像与函数的图像有两个不同交点，求取值范围． (2)已知二次函数（为常数）． ①设直线与抛物线有两个不同交点，求取值范围． ②已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 24．（2025·江苏盐城·三模）已知二次函数的图像为C． (1)用m表示图像C的顶点坐标； (2)证明：当时，图像C与x轴有两个交点； (3)记一次函数（m是常数，，）的图像为线段，若图像C与线段（包含端点A、B）恰有一个公共点，直接写出m的取值范围． 题型9 二次函数与图形交点问题（共3小题） 【易错】图形有边界，不是无限延伸；只算联立方程，遗漏顶点相切、边界相交，分类不全漏解 25．（24-25九年级下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，拋物线与x轴交于E，F两点，长方形的顶点C，D在x轴上，，． (1)如图1，若拋物线过点A，求拋物线的函数表达式和点E的坐标． (2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点B的对应点P落在直线上，点E的对应点Q落在拋物线上，求Q点的横坐标． (3)若拋物线与图2中的三条边恰有两个交点，则的取值范围是________． 26．（2024·河北·中考真题）如图，正方形的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 27．（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求点与点的坐标； (2)求抛物线的表达式； (3)如图2，若点为第四象限抛物线上一动点，过点作轴，轴分别交直线于点，求的最大值； (4)如图3，将二次函数的图象沿轴向上翻折形成图象，将直线向上平移个单位长度得到直线，若与图象有两个交点，直接写出的取值范围． 题型10 二次函数的最值问题（共3小题） 【易错】顶点不一定在自变量取值区间；最大、最小值分开判断，容易搞错对称轴两侧增减性 28．（2024·江苏扬州·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点的坐标； (3)若为抛物线在第一象限的一动点，则最大值 ． 29．（2026·江苏盐城·二模）已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 30．（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是___________． 题型11 二次函数的存在性问题（共3小题） 【易错】存在性问题多解常见，容易漏情况；求出坐标后不检验，得到不符合图形条件的增根 31．（2025·安徽·一模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． (1)求b，c； (2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 32．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 33．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标； (3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 题型12 二次函数的新定义问题（共3小题） 【易错】凭旧经验做题，不严格遵守题干新定义；忽略定义附带限制条件，未验证结果是否满足规则。 34．（2026·河南信阳·模拟预测）新定义：若函数的图象恒过定点那么就称此函数为恒点函数． (1)若函数为恒点函数则________，该函数图象与坐标轴围成图形的面积为________； (2)已知二次函数 ①试判断该函数是否为恒点函数，并说明理由； ②若，当该函数图象的顶点在最高位置时，图象上有两点，且，请直接写出的取值范围________． 35．（25-26九年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，∴函数的“最优纵横值”为10．根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求、的值； (3)若二次函数的顶点在，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 36．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）定义：若一个函数上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”，例如，点是函数的图象的“2倍点” (1)一次函数的图象的“2倍点”的坐标是_____，二次函数的图象的“2倍点”是_____； (2)若关于的二次函数（为常数）的图象上存在两个“2倍点”，求的取值范围； (3)设关于的函数（为常数）的图象上有且只有一个“2倍点”为，关于的函数（为常数）的图象上有两个“2倍点”为，，求，两点的坐标． 提升·进阶突破 题型13 二次函数常考几何问题进阶练（共10小题） 37．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，．双曲线与交于点，连接．当的面积最大时，的值为（   ） A．15 B．12 C．9 D．3 38．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是________． 39．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，则P点到直线的距离的最大值是______． 40．（2026·江苏南京·二模）已知二次函数（为常数，），顶点坐标为． (1)当时， ； (2)当时， ①求证：二次函数的图像与轴总有两个公共点； ②若二次函数图像与轴的交点都在轴的右侧，则的取值范围为 ． 41．（2026·江苏盐城·二模）已知二次函数（，为常数，），且满足． (1)若函数图象经过点，求函数的表达式及其顶点坐标； (2)①对称轴为直线________．（用含的式子表示） ②若当时，随的增大而增大，请求出的取值范围． (3)对于任意的，该二次函数的图象都必过的定点坐标为________．（直接给出答案即可） 42．（2026·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，判断和的大小关系：________； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求的取值范围． 43．（2026·江苏常州·一模）如图，二次函数的图像与轴交于点，（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，． (1)填空：_________； (2)若点是第一象限抛物线上一点． ①连接，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值； ②过点作轴，垂足为，作直线交轴负半轴于点．若，求点的横坐标． 44．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； (1)用配方法将二次函数化为的形式 ； (2)点为二次函数的图象第四象限的点，设点的横坐标为，当的面积最大时，求的最大面积，并写出此时点的坐标． 45．（25-26九年级下·江苏镇江·期中）我们定义：点在一次函数图象上，点在反比例函数图象上，若存在点与点关于轴对称，则称二次函数为一次函数与反比例函数的“衍生函数”，点称为“基点”，点称为“靶点”． (1)若二次函数是一次函数与反比例函数的“衍生函数”，则“基点”的坐标为 ，“靶点”的坐标为 ． (2)若二次函数是一次函数和反比例函数的“衍生函数”，且“基点”的P横坐标为，求的值； (3)若二次函数是一次函数和反比例函数的“衍生函数”，其中，试证明一定有两个不同的“基点”，且有一个“基点”的纵坐标为． 46．（2026·山东枣庄·一模）已知如图，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最小值． 拔高·压轴破难 题型14 二次函数常考几何问题压轴练（共10小题） 47．（2026·江苏无锡·三模）定义：若函数的图像上存在一点，且该点处的“瞬时变化率”k满足，则称该函数为“Ω函数”．规定：对于一次函数，其图像上任意一点的“瞬时变化率”均为k；对于二次函数，其顶点处的“瞬时变化率”为0．下列结论正确的是（     ） ①一次函数是Ω函数；②若一次函数是Ω函数，则函数值一定随自变量的增大而增大；③二次函数是Ω函数；④二次函数是Ω函数，则一定有． A．①③ B．②③ C．①④ D．① 48．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知一次函数与二次函数在内有相同的最大值，则k的值为（  ） A． B． C． D．2 49．（25-26九年级下·江苏常州·期中）对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 50．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在的边上移动，轴，轴，M点坐标为，，．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则的最大值是_____________． 51．（2026·江苏镇江·二模）已知二次函数，当（n为常数）时，二次函数的最大值与最小值的差为，则n的取值范围为_________． 52．（2026·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有两个交点时，则的取值范围为___________． 将代入得，， 解得，（舍去）， 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时（一个交点），此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得，， 解得，（不合，舍去）， 53．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 54．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数图像的对称轴为直线，其图象过点与x轴交于另一点B，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式，写出顶点坐标； (2)动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿的，边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接，将沿翻折，若点B恰好落在抛物线上的处，试求t的值及点的坐标； (3)在（2）的条件下，Q为的中点，试探究x轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，试说明理由． 55．（2026·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（）与y轴交于点，顶点为，将该抛物线沿射线方向平移得抛物线，抛物线的顶点为Q． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若抛物线与x轴交于B、C两点，且，则点Q的坐标为_________； (3)点E是抛物线对称轴右侧图像上一点，点F在抛物线上，若四边形是面积为6的平行四边形，求点Q的坐标； (4)如图2，抛物线与抛物线交于点M，连接、，若，则点Q的横坐标为_________． 56．（2026·江苏苏州·二模）如图1，二次函数（、是常数，）的图像与轴交于点，． (1)填空：_________，_________； (2)若直线与二次函数的图像交于点、． ①若直线上方的抛物线上存在一点，使得的面积最大，求出最大值和点的横坐标； ②如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你求出此定值并说明理由． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $