精品解析：江苏省连云港市东海县2025-2026学年上学期期中学业质量检测九年级数学试卷

2025−2026学年度第一学期阶段性检测 九年级数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程一定属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】∵ 一元二次方程需满足：①一个未知数；②最高次数为2；③整式方程． 选项A：含有两个未知数x和y，不符合①，故不是一元二次方程． 选项B：只含未知数x，最高次数为2，且是整式方程，符合定义． 选项C：分母含有未知数，不是整式方程，不符合③，故不是一元二次方程． 选项D：化简得 ，即 ，最高次数为1，不符合②，故不是一元二次方程． ∴ 只有选项B一定是一元二次方程． 故选：B． 2. 已知方程■，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方变形为，则印刷不清楚的数字是（ ） A. 6 B. 9 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法．设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出，再根据题意得出，最后求出答案即可． 【详解】解：设印刷不清的数字是a， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即印刷不清的数字是2， 故选：C． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，需判别式且二次项系数．分别计算各个选项判别式，再判断即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， ，即， ，，，， 符合题意， 故选：． 4. 一组数据：2，3，3，5，若添加一个数据5，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、众数、中位数、方差等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．分别计算原数据的平均数、众数、中位数、方差和添加一个数据5后的平均数、众数、中位数、方差，即可获得答案． 【详解】解：一组数据：2，3，3，5， 其平均数为，众数为3， 方差为， 中位数为， 这组数据添加一个数据5后， 平均数为，众数为3和5， 方差为， 中位数为， 所以，不发生变化的统计量是中位数， 所以选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 5. 已知平面内有和点A，B，若的半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：的半径为，，， 即点到圆心的距离大于圆的半径，点到圆心的距离等于圆的半径， 点在外．点在上， 直线与的位置关系为相交或相切， 故选：D． 6. 如图，在中，，是的内心，连接、，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理， 求出，得，根据三角形内角和定理求出即可．熟练掌握三角形内角和定理的运用是关键． 【详解】解：为的内心， ，， ， ， ， 即， ． 故选：． 7. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程、勾股定理等知识点，弄清量之间的关系是解题的关键． 设门的对角线长为尺，则竹竿长度也为尺．根据题意，门宽为尺，门高为尺，再根据勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设门的对角线长为尺，则竹竿长度也为尺．根据题意，门宽为尺，门高为尺． ∵门的高、宽和对角线构成直角三角形， ∴由勾股定理得：，即． 故选C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴，y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D，若的半径为3，点B的坐标是，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，垂径定理等，连接，设与y轴的切点为F，与x轴的切点为E，连接并延长与交于点G，连接，可得四边形、四边形和四边形都是矩形，即得，进而得到，即得，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与y轴的切点为F，与x轴的切点为E，连接并延长，与交于点G，连接， 则， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形和四边形是矩形， ， ， ， ， 半径为3， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 若是一元二次方程的一个根，则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查已知一元二次方程的根求参数的值，将代入方程即可求出m的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：2． 10. 博物馆拟招聘一名优秀讲解员，张三的笔试、试讲、面试成绩分别为94分、90分、95分．综合成绩中笔试占50%、试讲占30%、面试占20%，那么张三最后的成绩为 _____分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：张三最后的成绩为：（分）， 故答案为：93． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 11. 已知2，3，5，，五个数据的方差是2，那么4，5，7， ，五个数据的方差是_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】先确定新的数据是原数据的每个数都加上2得到的，即可确定新数据的平均数，由此计算方差即可. 【详解】设原数据2，3，5，，的平均数是a， ∵原数据的每个数都加上2后得到新数据4，5，7， ，， ∴新数据的平均数是a+2， ∵原数据方差==2， ∴新数据的方差 =， =， =2， 故答案为：2. 【点睛】此题考查方差的公式，数据公式并运用求一组数据的方差是解题的关键. 12. 如图，是内接三角形，D是中点，若，则的度数为____． 【答案】50 【解析】 【分析】此题重点考查圆周角定理、圆内接四边形的对角互补等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．连接，由，得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 是中点， ， ， ， ， ， 故答案为：50． 13. 小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆锥的母线长、底面半径与高构成直角三角形，通过勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式计算． 由底面直径求半径；用勾股定理求母线长；代入侧面积公式得结果． 【详解】圆锥的侧面积公式为（其中r为底面半径，l为圆锥的母线长）． 由底面直径为，得底面半径； 圆锥的高，母线长l、底面半径r与高h构成直角三角形（母线为斜边），由勾股定理：； 因此，侧面积为． 故答案为：． 14. 如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为____． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．由正六边形内接于，由的直径得出的半径，再根据正六边形的半径等于边长即可得出结果． 【详解】解：连接，， 正六边形内接于，的周长为， 的半径为3， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长为18， 故答案为：18． 15. 有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据方程的特点选择合适的求解方法．根据题意列出方程，解方程后根据正数条件确定解． 【详解】解：由题意，得． 整理得． 解得． 因为是正数， 所以． 故答案为：． 16. 我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是___． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程及一元二次方程的解，熟知换元法解一元二次方程的步骤是解题的关键．根据已知方程的解，通过整体代换求解新方程． 【详解】∵方程的解是，， ∴方程中，或， 解得或． 故答案为，． 17. 如图，在中，，点O在上，以O为圆心，为半径的圆与相切于点D，与相交于点E，若D是的中点，则点E到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、两条平行线之间的距离处处相等、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作于点，连接、，由切线的性质得，则，由，，得，，，所以，则，由，，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，连接、， 与相切于点， ， ， ，， ，，， ， ， 是的中点， ， ， ， 解得， ， 点到的距离为． 故答案为：． 18. 点P是半圆上的一个动点，圆心为O，将沿着翻折，与直径交于点C，的中点为D．若已知，则当点P从点A运动到点B的过程中，点D的运动路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆的性质、弧长公式以及动点问题，作点关于的对称点，以为边向下作正方形，连接，先证明，可得当点在点时，点在点处，当点在点时，点在点处，当点从点运动到点时，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的，再根据弧长公式计算路径长． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，以为边向下作正方形，连接， ∵是的直径， ∴， 由对称性可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当点在点时，点在点处，当点在点时，点在点处， 当点从点运动到点时，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的， 已知，则半圆的半径， 点运动路径是以为圆心，为半径的， 所以点的运动路径长为． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围； 可能是方程的一个根吗?若是，求出它的另一个根；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得，然后解不等式即可； （2）将代入方程得，解得或，利用得到，然后得出方程，解之可得到方程的另一个根． 【详解】解：（1）方程有两个不相等的实数根， △， 解得． （2）当时，有， 解得． ， ． 可能是方程的一个根． 当时，方程可能化为． 解得或． 方程另一个根是． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．以及根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，． 21. 如图，已知是的直径，点C、D都在上，． （1）求证：； （2）若的度数为，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系．要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系． （1）欲证弧弧，只需证明它们所对的圆心角相等，即． （2）利用圆周角、弧，弦的关系得，则． 【小问1详解】 证明：连接， ， ． ， ，． ． ； 【小问2详解】 解：的度数是， ． ． ， ， ． 22. 在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26 乙基地水体的值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21 【整理数据】 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 乙基地水体值数据的频数分布直方图 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 7.67 b 0.10 乙 7.78 c 7.79 0.13 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空： ， ； （3）请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由； （4）已知两基地对水体值的日变化量（值最大值与最小值的差）要求为，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求． 【答案】（1）见解析 （2）7.81；7.77 （3）甲基地水体的值更稳定，理由见解析 （4）该日两基地的值甲符合要求，乙不符合要求 【解析】 【分析】本题考查频数（率分布直方图，频数（率分布表，中位数、众数和极差，从统计图中有效的获取信息是解题的关键． （1）用24分别减去其它四部分的频数，即可得出“”的频数，进而补全频数分布直方图； （2）根据中位数和众数的定义解答即可； （3）根据方差的意义解答即可； （4）根据极差的定义解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 补全频数分布直方图如下： 乙基地水体值数据的频数分布直方图 【小问2详解】 解：把甲基地水体的值数据从小到大排列，排在中间的两个数分别是7.81，7.81，故中位数 在乙基地水体的值数据中7.77出现的次数最多，故众数； 故答案为：7.81；7.77； 【小问3详解】 解：甲的方差为0.10，乙的方差为0.13，， 甲基地水体的值更稳定； 【小问4详解】 解：甲基地对水体值的日变化量：， 乙基地对水体值的日变化量：， 该日两基地的值甲符合要求，乙不符合要求． 23. 老舍先生作品《骆驼祥子》的主人公是个以拉车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计．如图是人力车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心O的车架一端点C着地时，地面与车轮相切于点D，连接，． （1）小明猜想，小明的猜想正确吗？请说明理由． （2）若车架端点C到车轮与地面的接触点D之间的距离米，的长为米，求车轮的半径． 【答案】（1）小明的猜想正确，证明见解析 （2）车轮的半径为米 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，以及勾股定理等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键． （1）连接，由切线的性质可证，由直径所对的圆周角是直角可证，再证明，进而可证； （2）设车轮的半径为，则，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：小明的猜想正确． 连接，如图 与相切， ， ， 为直径， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 设车轮的半径为r，则 ， 米， ． 解得． 答：车轮的半径为米． 24. 如图，以为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）连接，由证明，得，即可证明直线是的切线； （2）先证明，得到，推导出，得到等边三角形，推断出，，在中，，，即可解答． 【小问1详解】 证明：连接，则， ． 平分， ． ． ． ， ． 是的半径，且， 直线是的切线． 【小问2详解】 线段是的直径， ． ． ，． ， ． ． ，， ． 是等边三角形． ，． ． ， ∴， ∵， ． 25. 2025年暑期，我县遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵450元，香樟每棵800元，经测算，购买两种树共需27750元． （1）原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ （2）实际购买时，物业管理公司与商家进行如下协商：每棵小叶榕和香樟均降价销售，两个树种下降的价格相同，但下降均不超过100元．两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多5250元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 【答案】（1）原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵 （2）物业管理公司实际购买两种树共65棵 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设原计划购买小叶榕棵，香樟棵，根据计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵450元，香樟每棵800元，购买两种树共需27750元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设降价元，根据物业管理公司实际购买的费用比原计划多5250元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设原计划购买小叶榕棵，香樟棵， 根据题意得：， 解得：， 答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵； 【小问2详解】 解：设降价元， 根据题意得：， 整理得：． 解得：，（不合题意，舍去）， ，， （棵， 答：物业管理公司实际购买两种树共65棵． 26. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“大半根方程”．比如：一元二次方程的两根为，，因，且，，所以一元二次方程是“大半根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：下列方程中，是“大半根方程”的是 （只填写序号）； ①；②；③； （2）若关于x的一元二次方程是“大半根方程”，求m的取值范围． （3）已知关于x的方程，其中．求证：该方程不可能是“大半根方程”． 【答案】（1）③ （2）m的取值范围为或 （3）该方程不可能是“大半根方程”，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是反证法、“大半根方程”的定义、一元二次方程的解法，掌握反证法的一般步骤是解题的关键． （1）分别解出一元二次方程，根据“大半根方程”的定义判断； （2）解出方程，根据“大半根方程”的定义计算，得到答案； （3）利用反证法证明． 小问1详解】 解：①解方程得：，， ， 方程不是“大半根方程”； ②解方程得：，， ， 方程不是“大半根方程”； ③解方程得：，， 则，， 方程是“大半根方程”； 故答案为：③； 【小问2详解】 解：解得：，， 是“大半根方程”， ， ， 若，解得：． 若，解得， ． 综上所述，的取值范围为或； 【小问3详解】 证明：解方程得：，， ， ，． 则， 假设该方程为“大半根方程”，则必有， 解得：． 这与相矛盾． 所以该方程不可能是“大半根方程”． 27. 【问题提出】（）小明在学习隐圆模型时，遇到这样的一个基础问题：如图，，，请用尺规作图，作出点的运动路径（不写作法，保留作图痕迹，标出必要的长度和角度）； 【变式应用】（）如图，矩形中，，．点为矩形内一点，且，，请在图中用阴影部分表示所有符合条件的点形成的区域（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标出必要的长度和角度）； （）如图，正方形的边长为，点在上，点在上，，连接，过点作，垂足为，求的最小值； 【拓展探究】（）如图，和都是等边三角形，，，将绕着点逆时针旋转一周的过程中，直线、相交于点．的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）最小值为；（4） 【解析】 【分析】（）以为直径画出，则即为点的运动路径； （）作的垂直平分线，以垂直平分线上方的点为圆心，为半径画；再以垂直平分线上方的点为圆心，为半径画，两圆弧线与矩形的边所围成的阴影部分即为点形成的区域，由圆周角定理可得有，； （）连接，可得，即得，又由可得四点共圆，即得，即得到，可得点在以为圆心，为半径的劣弧上运动， 可知当三点共线时，为最小值，据此即可求解； （）先证明，得到，即得四点共圆，即得到， ，进而得到，可得点四点共圆，可知当为四点外接圆直径时，的面积最大，由勾股定理可得，再利用勾股定理和直角三角形的性质可求得，即得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：（）如图所示，即为所求； （）如图所示，图中阴影部分即为所求； （）如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 在四边形中，∵， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的劣弧上运动， ∴当三点共线时，为最小值， ∴最小值为； （）存在，最大值为，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴点四点共圆， 当为圆内接四边形的直径时，的面积最大，如图， 此时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的面积存在最大值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，点和圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度第一学期阶段性检测 九年级数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程一定属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知方程■，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方变形为，则印刷不清楚的数字是（ ） A. 6 B. 9 C. 2 D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 一组数据：2，3，3，5，若添加一个数据5，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 5. 已知平面内有和点A，B，若的半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ） A 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 6. 如图，在中，，是的内心，连接、，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴，y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D，若的半径为3，点B的坐标是，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 若是一元二次方程一个根，则_____________． 10. 博物馆拟招聘一名优秀讲解员，张三的笔试、试讲、面试成绩分别为94分、90分、95分．综合成绩中笔试占50%、试讲占30%、面试占20%，那么张三最后的成绩为 _____分． 11. 已知2，3，5，，五个数据的方差是2，那么4，5，7， ，五个数据的方差是_____________． 12. 如图，是内接三角形，D是中点，若，则度数为____． 13. 小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为______．（结果保留） 14. 如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为____． 15. 有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 16. 我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是___． 17. 如图，在中，，点O在上，以O为圆心，为半径的圆与相切于点D，与相交于点E，若D是的中点，则点E到的距离为______． 18. 点P是半圆上的一个动点，圆心为O，将沿着翻折，与直径交于点C，的中点为D．若已知，则当点P从点A运动到点B的过程中，点D的运动路径长为______． 三、解答题（本题共9小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围； 可能是方程的一个根吗?若是，求出它的另一个根；若不是，请说明理由． 21. 如图，已知是直径，点C、D都在上，． （1）求证：； （2）若的度数为，求的度数． 22. 在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26 乙基地水体的值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21 【整理数据】 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 乙基地水体值数据的频数分布直方图 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 7.67 b 0.10 乙 7.78 c 7.79 0.13 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空： ， ； （3）请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由； （4）已知两基地对水体值的日变化量（值最大值与最小值的差）要求为，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求． 23. 老舍先生作品《骆驼祥子》的主人公是个以拉车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计．如图是人力车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心O的车架一端点C着地时，地面与车轮相切于点D，连接，． （1）小明猜想，小明猜想正确吗？请说明理由． （2）若车架端点C到车轮与地面的接触点D之间的距离米，的长为米，求车轮的半径． 24. 如图，以为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 25. 2025年暑期，我县遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵450元，香樟每棵800元，经测算，购买两种树共需27750元． （1）原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ （2）实际购买时，物业管理公司与商家进行如下协商：每棵小叶榕和香樟均降价销售，两个树种下降的价格相同，但下降均不超过100元．两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多5250元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 26. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“大半根方程”．比如：一元二次方程的两根为，，因，且，，所以一元二次方程是“大半根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：下列方程中，是“大半根方程”的是 （只填写序号）； ①；②；③； （2）若关于x的一元二次方程是“大半根方程”，求m的取值范围． （3）已知关于x的方程，其中．求证：该方程不可能是“大半根方程”． 27. 【问题提出】（）小明在学习隐圆模型时，遇到这样的一个基础问题：如图，，，请用尺规作图，作出点的运动路径（不写作法，保留作图痕迹，标出必要的长度和角度）； 【变式应用】（）如图，矩形中，，．点为矩形内一点，且，，请在图中用阴影部分表示所有符合条件的点形成的区域（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标出必要的长度和角度）； （）如图，正方形的边长为，点在上，点在上，，连接，过点作，垂足为，求的最小值； 【拓展探究】（）如图，和都是等边三角形，，，将绕着点逆时针旋转一周的过程中，直线、相交于点．的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $