第二十七章 反比例函数（单元自测卷·重庆专用）数学新教材人教版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(重庆专用) 第二十七章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果反比例函数的图象经过点，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 2．若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 3．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 5．若一次函数的图象经过点，则反比例函数的图象经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 6．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B．C．D． 7．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（   ） A．反比例函数的解析式是 B．两个函数图象的另一交点坐标为 C．当或时， D．反比例函数随的增大而减小 8．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 9．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为，当时，x的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 10．如图，直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上一动点，过点作轴，轴，垂足分别是点、，，若双曲线经过点，则的值为（    ）      A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．若是反比例函数，则的值为_________． 12．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 13．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为________． 14．老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 15．如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 16．如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）已知关于x的反比例函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)判断该反比例函数图象经过的象限； (3)当时，函数值y随x的增大怎样变化？ 18．（8分）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示． (1)求这一函数的表达式； (2)当气体压强为时，求V的值． 19．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数与矩形的两条边的交点分别是M，N，其中点M的坐标为．连接，，已知的面积是矩形面积的．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 20．（10分）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2． (1)当时，求反比例函数的函数值； (2)当时，求反比例函数的取值范围． 21．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 22．（10分）如图，点O为矩形的对角线的中点，，，点P是对角线上的一点（点P 不与点B、点D 重合），连接、，过点P作交于点H ．以x表示线段的长度，的面积为，的面积与线段的长之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23．（10分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图1，将直线向上平移个单位，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，，如果的面积为，求的值． (3)在（2）的条件下，过点作的平分线的垂线，垂足为，求点的坐标． 25．（10分）随着夏天的到来，天气变热，蚊子增多．某校对教室采用药薰法进行灭蚊，药物燃烧时，室内空气的含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，室内空气的含药量与成反比例（如图），已知药物点燃后燃尽，此时室内空气的含药量为． (1)求出药物燃尽后y与x之间函数的表达式， (2)从熏药开始经过时，求此时室内空气的含药量是多少？ (3)当室内空气的含药量不低于．且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？ 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(重庆专用) 第二十七章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果反比例函数的图象经过点，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象经过点， ∴ 将代入解析式得：， 解得：． 2．若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象的性质，当反比例函数的图象位于第一、第三象限时，比例系数，据此列不等式求解的取值范围即可. 【详解】反比例函数的图象在第一、第三象限， ， 解得． 3．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用点在反比例函数图象上则坐标满足函数解析式的性质，将三点坐标代入解析式求出，，的值，再比较大小即可． 【详解】∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴把代入得，解得， 把代入得， 把代入得， ∵， ∴． 4．已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，两函数图象交于点， ∴这个函数图象的另一个交点为， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，掌握反比例函数与正比例函数图象的性质是解题的关键． 5．若一次函数的图象经过点，则反比例函数的图象经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】先求出的值，再根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限； 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是求出反比例函数的比例系数，根据比例系数的符号，判断图象所经过的象限． 6．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可得答案． 【详解】解：对于，当时，，观察图象可排除B和D； ∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， 观察A、C选项，选项A符合题意． 7．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（   ） A．反比例函数的解析式是 B．两个函数图象的另一交点坐标为 C．当或时， D．反比例函数随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象与性质，掌握反比例函数图象的基本性质和中心对称性是解题关键． 根据点求出正比例函数和反比例函数的解析式，联立方程求另一交点，通过图象逐一判断选项即可． 【详解】解：设，， ∵点是和的交点， ∴， ∴，， ∴，，故选项A错误； 联立，得， 解得或， 代入，得， 故另一交点为，选项B错误； 根据解析式作出示意图如下， 由图可知，在与在第一象限的交点左侧到y轴部分，与在第三象限的交点左侧部分，的图象在的图象下方， 即当或时，，故选项C正确； 根据反比例函数的性质，函数分别在第一象限和第三象限，随x的增大而减小，而函数整体不具有该性质，故选项D错误， 故选：C． 8．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法可求出，再求出时，V的值即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴， 当时，， ∴当压缩后密度是时，其体积是． 9．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为，当时，x的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，利用函数图象解不等式，利用反比例函数和正比例函数图象的性质得到A、B关于原点对称，则点A的横坐标为1，然后写出反比例函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象关于原点对称， ∴两函数的交点A，B关于原点对称， ∵点A的横坐标为， ∴点B的横坐标为1， 当时，反比例函数的图象在正比例函数图象的上方，即第一象限内点B的左侧和第三象限内点A的左侧， ∴当时，x的取值范围为或， 故选：C． 10．如图，直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上一动点，过点作轴，轴，垂足分别是点、，，若双曲线经过点，则的值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线求出，的长，设出，，由得出，的长，进而得出结论． 【详解】解：对于，当时，；当时，， ， ， 设， 轴，轴， ∴四边形是矩形， ， ， 解得： 经检验，是原方程的根， ∵点在反比例函数的图象上， ，即， 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．若是反比例函数，则的值为_________． 【答案】-2 【分析】根据反比例函数的定义，得到的指数为，且系数不为，据此列条件求解即可. 【详解】解：∵是反比例函数，反比例函数的一般形式为， ∴满足两个条件：且， 解方程，得，即或， ∵，得， ∴. 12．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】先求出点的坐标，再找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：将代入反比例函数的解析式得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式得， ∴， ∴， ∵直线与双曲线交于点和点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是或． 13．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】先利用已知点的坐标求出正比例函数解析式，再联立两个函数解析式求解，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把点代入，得，解得， ∴正比例函数的解析式为， 联立两函数解析式，得， 解得或， ∴点的坐标为． 14．老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 15．如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 【答案】 【分析】设，，根据等腰直角三角形的性质表示出，的长，进而表示出点的坐标，利用点在反比例函数图象上得到与的关系式，再根据三角形面积差建立方程求解即可； 【详解】解：设，（，）， 为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ，即， 由图可知，点的坐标为，点的坐标为， 点在上，， 点的纵坐标为，横坐标为， ，，且点在第二象限， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ． 16．如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 【答案】 【分析】分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）已知关于x的反比例函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)判断该反比例函数图象经过的象限； (3)当时，函数值y随x的增大怎样变化？ 【答案】(1) (2)第一、三象限 (3)函数值y随x的增大而减小 【分析】（1）根据图象经过点的意义，代入计算即可； （2）根据反比例函数的符号进行判断即可； （3）根据反比例函数图象在各自象限内的增减性进行判断即可． 【详解】（1）解：图象经过点， ， 解得：． （2）解：当时， ， ， 双曲线的两支分别位于第一、三象限． （3）解：当时，函数值y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了反比例函数关系式及反比例函数的性质，掌握关系式求法及其性质是解题的关键． 18．（8分）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示． (1)求这一函数的表达式； (2)当气体压强为时，求V的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意可知P与V的函数的表达式为，利用待定系数法即可求得函数解析式； （2）直接把代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：设P与V的函数关系式为， 则， 解得， ∴函数关系式为． （2）解：将代入中， 得， 解得， ∴当气球内的气压为时，气球的体积为2立方米． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的图像及性质是解题的关键． 19．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数与矩形的两条边的交点分别是M，N，其中点M的坐标为．连接，，已知的面积是矩形面积的．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）将M代入反比例函数的表达式中求解即可； （2）利用k的几何意义求出、的面积，进而求出矩形的面积，借助割补法求解面积即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点， ∴． ∴． ∴反比例函数的解析式为． （2）解：由反比例函数k的几何意义可知的面积的面积． ∵的面积是矩形面积的， ∴矩形的面积． ∴． 20．（10分）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2． (1)当时，求反比例函数的函数值； (2)当时，求反比例函数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过交点纵坐标结合正比例函数解析式求出交点坐标，代入反比例函数得到的值，再计算指定自变量对应的函数值； （2）结合反比例函数的增减性求取值范围即可． 【详解】（1）解：与的一个交点纵坐标为2， 将代入，得， 交点坐标为， 将代入，得 解得， 反比例函数解析式为， 当时，； （2）解：， 反比例函数在每个象限内，随的增大而增大． ∴当时，；当时，． ． 21．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的解析式；一次函数的解析式 (2)2.5 (3)或 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，可得到，把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）求出直线与y轴交点C的坐标，利用，确定底和高后计算即可； （3）找出一次函数在反比例函数上方的部分，再确定这部分对应的的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入： ， ∴， ∴反比例函数为， 将代入： ， ∴， ∴， 将，代入： ， 解得：， ∴一次函数为； （2）解：已知，，， 一次函数与轴交于点， ∴； （3）解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方的部分为：当或时 ∴不等式的解集为或． 22．（10分）如图，点O为矩形的对角线的中点，，，点P是对角线上的一点（点P 不与点B、点D 重合），连接、，过点P作交于点H ．以x表示线段的长度，的面积为，的面积与线段的长之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2) 画出函数图象如图所示： 由图象可得：当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大； (3) 【详解】（1）解：∵点O为矩形的对角线的中点，，， ∴，， ∴， 如图，作于， ， ∵， ∴， ∵点P是对角线上的一点（点P 不与点B、点D 重合），以x表示线段的长度， ∴当点在线段上时，即时，，则，此时的面积为； 当点在线段上时，即时，，则， ， 此时的面积为； 综上所述，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴的面积与线段的长之比为； （2）略 （3）解：令， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故由函数图象可得：当时x的取值范围． 23．（10分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 【答案】(1)6 (2)线段的函数关系式为，双曲线的函数关系式为 (3)教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题 【详解】（1）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为， 把代入，得， 把代入，得， ， 第6分钟时学生的注意力更集中； （2）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为； （3）解：由题意得， 在线段段时，， 解得， 在双曲线段，， 解得， 注意力指数不低于40的总时长为（分钟）， ， 教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图1，将直线向上平移个单位，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，，如果的面积为，求的值． (3)在（2）的条件下，过点作的平分线的垂线，垂足为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意可知，点位于上， 将代入可得， 解得， 则点的坐标为， 将代入， 解得， 故反比例函数的表达式为． （2）解：如图，直线向上平移个单位后与轴交于点， 直线向上平移个单位后的直线解析式为， 令可得， 点的坐标为， ， 将与联立， 可得， 解得或，则或， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 解得． （3）解：如图，过点作的平分线的垂线并延长交的延长线于点， 在和中， ， ， ，， 根据（2）可知直线向上平移单位后的直线解析式为， 将与联立， 可得， 解得或， 点在第一象限， ，则， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 点的坐标为， 点为的中点， 点的坐标为，即． 25．（10分）随着夏天的到来，天气变热，蚊子增多．某校对教室采用药薰法进行灭蚊，药物燃烧时，室内空气的含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，室内空气的含药量与成反比例（如图），已知药物点燃后燃尽，此时室内空气的含药量为． (1)求出药物燃尽后y与x之间函数的表达式， (2)从熏药开始经过时，求此时室内空气的含药量是多少？ (3)当室内空气的含药量不低于．且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？ 【答案】(1) (2)此时空气中的含药量是 (3)本次灭蚊有效， 理由如下 当时，，得， 由图可得，时，， ∴， ∴本次灭蚊有效． 【详解】（1）设药物燃尽后的函数表达式为， 由题意得，当时，， ∴， ∴函数表达式为； （2）当时，， 答：此时空气中的含药量是； （3）略 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（重庆专用） 第二十七章 反比例函数（参考答案） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D B A C C C A 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．-2 12．或 13． 14．①③④ 15． 16． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．(8分)（1）解：图象经过点， ， 解得：．................3分 （2）解：当时， ， ， 双曲线的两支分别位于第一、三象限．................6分 （3）解：当时，函数值y随x的增大而减小．................8分 18．(8分)（1）解：设P与V的函数关系式为， 则， 解得， ∴函数关系式为．................4分 （2）解：将代入中， 得， 解得， ∴当气球内的气压为时，气球的体积为2立方米．................8分 19．(10分)（1）解：∵反比例函数经过点， ∴． ∴． ∴反比例函数的解析式为．................5分 （2）解：由反比例函数k的几何意义可知的面积的面积． ∵的面积是矩形面积的， ∴矩形的面积． ∴．...............10分 20．(10分)（1）解：与的一个交点纵坐标为2， 将代入，得， 交点坐标为， 将代入，得 解得， 反比例函数解析式为， 当时，；................5分 （2）解：， 反比例函数在每个象限内，随的增大而增大． ∴当时，；当时，． ．................10分 21．(10分)（1）解：将代入： ， ∴， ∴反比例函数为， 将代入： ， ∴， ∴， 将，代入： ， 解得：， ∴一次函数为；................4分 （2）解：已知，，， 一次函数与轴交于点， ∴；...............7分 （3）解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方的部分为：当或时 ∴不等式的解集为或．................10分 22．(10分) （1）解：∵点O为矩形的对角线的中点，，， ∴，， ∴， 如图，作于， ， ∵， ∴， ∵点P是对角线上的一点（点P 不与点B、点D 重合），以x表示线段的长度， ∴当点在线段上时，即时，，则，此时的面积为； 当点在线段上时，即时，，则， ， 此时的面积为； 综上所述，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴的面积与线段的长之比为；................4分 （2）画出函数图象如图所示： 由图象可得：当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大；................7分 （3）解：令， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故由函数图象可得：当时x的取值范围．...............10分 23．(10分)（1）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为， 把代入，得， 把代入，得， ， 第6分钟时学生的注意力更集中；................3分 （2）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为；................7分 （3）解：由题意得， 在线段段时，， 解得， 在双曲线段，， 解得， 注意力指数不低于40的总时长为（分钟）， ， 教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题．................10分 24．(10分)（1）解：根据题意可知，点位于上， 将代入可得， 解得， 则点的坐标为， 将代入， 解得， 故反比例函数的表达式为．................3分 （2）解：如图，直线向上平移个单位后与轴交于点， 直线向上平移个单位后的直线解析式为， 令可得， 点的坐标为， ， 将与联立， 可得， 解得或，则或， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 解得．................6分 （3）解：如图，过点作的平分线的垂线并延长交的延长线于点， 在和中， ， ， ，， 根据（2）可知直线向上平移单位后的直线解析式为， 将与联立， 可得， 解得或， 点在第一象限， ，则， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 点的坐标为， 点为的中点， 点的坐标为，即．................10分 25．(10分)（1）设药物燃尽后的函数表达式为， 由题意得，当时，， ∴， ∴函数表达式为； ................3分 （2）当时，， 答：此时空气中的含药量是；................6分 (3)本次灭蚊有效， 理由如下 当时，，得， 由图可得，时，， ∴， ∴本次灭蚊有效．................10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(重庆专用) 第二十七章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果反比例函数的图象经过点，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 2．若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 3．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 5．若一次函数的图象经过点，则反比例函数的图象经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 6．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（   ） A．反比例函数的解析式是 B．两个函数图象的另一交点坐标为 C．当或时， D．反比例函数随的增大而减小 8．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 9．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为，当时，x的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 10．如图，直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上一动点，过点作轴，轴，垂足分别是点、，，若双曲线经过点，则的值为（    ）      A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．若是反比例函数，则的值为_________． 12．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 13．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为________． 14．老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 15．如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 16．如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）已知关于x的反比例函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)判断该反比例函数图象经过的象限； (3)当时，函数值y随x的增大怎样变化？ 18．（8分）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示． (1)求这一函数的表达式； (2)当气体压强为时，求V的值． 19．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数与矩形的两条边的交点分别是M，N，其中点M的坐标为．连接，，已知的面积是矩形面积的．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 20．（10分）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2． (1)当时，求反比例函数的函数值； (2)当时，求反比例函数的取值范围． 21．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 22．（10分）如图，点O为矩形的对角线的中点，，，点P是对角线上的一点（点P 不与点B、点D 重合），连接、，过点P作交于点H ．以x表示线段的长度，的面积为，的面积与线段的长之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23．（10分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图1，将直线向上平移个单位，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，，如果的面积为，求的值． (3)在（2）的条件下，过点作的平分线的垂线，垂足为，求点的坐标． 25．（10分）随着夏天的到来，天气变热，蚊子增多．某校对教室采用药薰法进行灭蚊，药物燃烧时，室内空气的含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，室内空气的含药量与成反比例（如图），已知药物点燃后燃尽，此时室内空气的含药量为． (1)求出药物燃尽后y与x之间函数的表达式， (2)从熏药开始经过时，求此时室内空气的含药量是多少？ (3)当室内空气的含药量不低于．且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 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