第二十六章 二次函数 单元测试 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章 二次函数单元测试 时间：90分钟 满分：100分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数属于二次函数的是（　　） A． B．y＝（x﹣2）2﹣x2 C．y＝﹣2x+1 D．y＝x（x﹣1） 2．若是二次函数，则m的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．0 3．若点（1，3）在函数y＝ax2+2x的图象上，则a的值为（　　） A．1 B．5 C． D．﹣1 4．关于二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+5，下列说法正确的是（　　） A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴为直线x＝﹣2 C．其最小值为5 D．当x＜2时，y随x的增大而增大 5．抛物线y＝﹣（x+2）2+1的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，﹣2） 6．将抛物线y＝2x2向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x﹣4）2﹣1 B．y＝2（x+4）2+1 C．y＝2（x﹣4）2+1 D．y＝2（x+4）2﹣1 7．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（　　） A．B． C． D． 8．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（　　） A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0 9．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　） A．小球的飞行高度不能达到15m B．小球的飞行高度可以达到25m C．小球从飞出到落地要用时4s D．小球飞出1s时的飞行高度为10m 10．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（　　） A． B． C．1 D．0 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．抛物线y＝2（x﹣3）2﹣4与y轴的交点坐标为___________ ． 12．已知二次函数y＝（x﹣2）2+3，当x _______ 时，y随x的增大而减小． 13．二次函数y＝x2﹣2x+3图象的顶点坐标为__________ ． 14．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 ___________ ． 15．若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 ___________ ． 16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是_______ ．（写出所有正确结论的序号） ①b＞0 ②a﹣b+c＜0 ③阴影部分的面积为4 ④若c＝﹣1，则b2＝4a． 三．解答题（共5小题，共52分） 17．（8分）已知：如果抛物线的顶点为B（3，﹣4），且经过点C（0，5）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）抛物线上的一点E的横坐标是6，求△CBE的面积． 18．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m． （1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标． 19．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标； （3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB＝8，并求出此时P点的坐标． 20．（12分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系． （1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义； （2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式； （3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 21．（12分）如图，直线yx+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过点A，B． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． ①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； ②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值． 第二十六章 二次函数单元测试 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．解：由题知， 因为函数y是反比例函数， 故A选项不符合题意； 因为y＝（x﹣2）2﹣x2﹣4x+4， 所以该函数是一次函数， 故B选项不符合题意； 因为函数y＝﹣2x+1是一次函数， 故C选项不符合题意； 因为y＝x（x﹣1）＝x2﹣x， 所以该函数是二次函数， 故D选项符合题意． 故选：D． 2．解：∵是二次函数， ∴m2﹣2＝2且m+2≠0， 解m2﹣2＝2得：m＝2或m＝﹣2， 解m+2≠0得：m≠﹣2， ∴m＝2． 故选：B． 3．解：由题意可得：3＝a×12+2×1， 解得：a＝1． 故选：A． 4．解：根据题目中的函数解析式逐项分析判断如下： A、该函数的图象开口向下，不符合题意； B、对称轴是直线x＝2，不符合题意； C、当x＝2时y取得最大值5，不符合题意； D、当x＜2时，y随x的增大而增大，符合题意； 故选：D． 5．解：∵二次函数y＝﹣（x+2）2+1， ∴该函数图象的顶点坐标为（﹣2，1）， 故选：A． 6．解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0）， 把点（0，0）先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（﹣4，1） 所以平移后所得的抛物线的解析式y＝2（x+4）2+1， 故选：B． 7．解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限． 故选：C． 8．解：抛物线的对称轴是直线x＝1， 则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值； 当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值． 故选：A． 9．解：A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2， 解得：t1＝1，t2＝3， 故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误； B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20， 故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误； C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2， 解得：t1＝0，t2＝4， ∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确； D、当t＝1时，h＝15， 故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误； 故选：C． 10．解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝﹣x2+1与正比例函数y＝﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B． 令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x或， ∴A（，），B（，）． 观察图象可知： ①当x时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为； ②当x时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于； ③当x时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为． 综上所述，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 11．解：令x＝0，代入抛物线解析式y＝2（x﹣3）2﹣4， 得 y＝2×（0﹣3）2﹣4＝2×9﹣4＝14， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，14）． 故答案为：（0，14）． 12．解：在y＝（x﹣2）2+3中，a＝1， ∵a＞0， ∴开口向上， 由于函数的对称轴为x＝2， 当x≤2时，y的值随着x的值增大而减小； 当x≥2时，y的值随着x的值增大而增大． 故答案为：≤2． 13．解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线顶点坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2）． 14．解：根据抛物线的图象可知： 抛物线的对称轴为x＝﹣1，已知一个交点为（1，0）， 根据对称性，则另一交点为（﹣3，0）， 所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1． 故答案为：﹣3＜x＜1． 15．解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1， ∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1， ∵P（m，n）到y轴的距离小于2， ∴﹣2＜m＜2， 而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1）， 当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10， 当m＝﹣1时，n＝1， ∴n的取值范围是1≤n＜10， 故答案为：1≤n＜10． 16．解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， 又∵对称轴为x0， ∴b＜0， ∴结论①不正确； ∵x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， ∴结论②不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数y＝ax2+bx+c的最小值是y＝﹣2， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：2×2＝4， ∴结论③正确； ∵，c＝﹣1， ∴b2＝4a， ∴结论④正确． 综上，结论正确的是：③④． 故答案为：③④． 三．解答题（共5小题） 17．解：（1）∵抛物线的顶点为B（3，﹣4）， ∴设y＝a（x﹣3）2﹣4（a≠0）， ∵经过点C（0，5）， ∴5＝a（0﹣3）2﹣4， 解得a＝1， ∴y＝（x﹣3）2﹣4，即y＝x2﹣6x+5； （2）∵点E在抛物线上，且横坐标为6， ∴将x＝6代入y＝x2﹣6x+5，得y＝62﹣6×6+5＝5， ∴点E的坐标为（6，5）， ∵E（6，5），C（0，5）， ∴线段CE平行于x轴，CE＝6﹣0＝6， ∵点B的坐标为（3，﹣4）， ∴点B到直线CE的距离为5﹣（﹣4）＝9， ∴． 18．解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴Δ＝22+4m＞0 ∴m＞﹣1； （2）∵二次函数的图象过点A（3，0）， ∴0＝﹣9+6+m ∴m＝3， ∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3， 令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， 设直线AB的解析式为：y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3， ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，的对称轴为：x＝1， ∴把x＝1代入y＝﹣x+3得y＝2， ∴P（1，2）． 19．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴方程x2+bx+c＝0的两根为x＝﹣1或x＝3， ∴﹣1+3＝﹣b， ﹣1×3＝c， ∴b＝﹣2，c＝﹣3， ∴二次函数解析式是y＝x2﹣2x﹣3． （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标（1，﹣4）． （3）设P的纵坐标为yP， ∵S△PAB＝8， ∴AB•|yP|＝8， ∵AB＝3+1＝4， ∴|yP|＝4， ∴yP＝±4， 把yP＝4代入解析式得，4＝x2﹣2x﹣3， 解得，x＝1±2， 把yP＝﹣4代入解析式得，﹣4＝x2﹣2x﹣3， 解得，x＝1， ∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB＝8． 20．解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元； （2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1＝k1x+b1， ∵y1＝k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42）， ∴ ∴， ∴这个一次函数的表达式为：y1＝﹣0.2x+60（0≤x≤90）； （3）设y2与x之间的函数关系式为y＝k2x+b2， ∵经过点（0，120）与（130，42）， ∴， 解得：， ∴这个一次函数的表达式为y2＝﹣0.6x+120（0≤x≤130）， 设产量为xkg时，获得的利润为W元， 当0≤x≤90时，W＝x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]＝﹣0.4（x﹣75）2+2250， ∴当x＝75时，W的值最大，最大值为2250； 当90≤x≤130时，W＝x[（﹣0.6x+120）﹣42]＝﹣0.6（x﹣65）2+2535， 由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160， ∴当x＝90时，W＝﹣0.6（90﹣65）2+2535＝2160， 因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250． 21．解： （1）∵yx+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B， ∴0＝﹣2+c，解得c＝2， ∴B（0，2）， ∵抛物线yx2+bx+c经过点A，B， ∴，解得， ∴抛物线解析式为yx2x+2； （2）①由（1）可知直线解析式为yx+2， ∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N， ∴P（m，m+2），N（m，m2m+2）， ∴PMm+2，AM＝3﹣m，PNm2m+2﹣（m+2）m2+4m， ∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM， ∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°， 当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN， ∴N点的纵坐标为2， ∴m2m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m， ∴M（，0）； 当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C， 则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BCm2m+2﹣2m2m， ∵∠NBP＝90°， ∴∠NBC+∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝∠BNC， ∴Rt△NCB∽Rt△BOA， ∴， ∴，解得m＝0（舍去）或m， ∴M（，0）； 综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（，0）或（，0）； ②由①可知M（m，0），P（m，m+2），N（m，m2m+2）， ∵M，P，N三点为“共谐点”， ∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点， 当P为线段MN的中点时，则有2（m+2）m2m+2，解得m＝3（舍去）或m＝0.5； 当M为线段PN的中点时，则有m+2+（m2m+2）＝0，解得m＝3（舍去）或m＝﹣1； 当N为线段PM的中点时，则有m+2＝2（m2m+2），解得m＝3（舍去）或m； 综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为0.5或﹣1或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/12 21:22:38；用户：高凌；邮箱：yyhyzx20@xyh.com；学号：23684392 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $