第二十五章 一元二次方程（单元自测·培优卷）数学新教材人教版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 一元二次方程·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程 的一次项系数和常数项分别是（     ） A．2， B．2，3 C．1，3 D．，3 3．对于方程，下列说法正确的是（     ） A．方程无实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程的根无法确定 4．用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 5．某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．已知一元二次方程的两根为，则的值为（     ） A．2 B． C．8 D． 7．在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 8．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 9．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 11．已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 12．对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 14．若关于的一元二次方程（为常数）没有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 15．若是方程的一个根，则___________． 16．若一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个三角形的第三边的长度可以是______．（写出一个即可） 17．对于实数a，b，定义运算""：，例如：．如果，那么x的值为________． 18．图1是第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，看上去像一个风车，代表着中国人民的热情与好客．小瑞同学发现，把一个平行四边形分割成5块（如图2），按照图3的样式无缝拼接恰好成一个矩形．若矩形的面积为，，则图2中平行四边形的周长为________． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）解方程： (1)； (2)． 20．（6分）已知关于x的一元二次方程的两个实数根的绝对值相等，求k的值及方程的两个实数根． 21．（8分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 22．（8分）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根和，且． (1)求的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求的整数值． 23．（8分）阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)若，求、的值； (2)已知，，是的三边长，满足，且是等腰三角形，求的值． 24．（8分）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程（）有一个实数根为，求方程的一个实数根． 25．（10分）操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (2)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 26．（12分）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】材料1：定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，（），以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 材料2：解决含参数（如，，等）直线方程过定点问题时，定点坐标与参数数值无关，即无论参数取何值，定点都满足直线方程．如直线可化为，所以直线恒过点． 【初步思考】 (1)请直接写出一元二次方程的衍生点的坐标为_________． 【尝试应用】 (2)关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标． ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，直接写出直线解析式_________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 (3)是否存在、，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上．若有请直接写出、，的值；若没有，请说明理由． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 一元二次方程·培优（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D C D A C A A A C B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 14. （答案不唯一） 15. 16. （填大于且小于的实数均正确） 17. 或 18. 三、解答题（共8小题，共66分） 19.【详解】（1）解： 或 解得，；(3分) （2）解： 或 解得，．(6分) 20.【详解】解：由根与系数的关系可得，， 又∵方程的两个实数根的绝对值相等， ∴或，（2分） 由于， 当时，方程为，解得或，不符合两实根的绝对值相等的条件，故， ∴， ∴，解得，（4分） 将代入，得，解得． ∴k的值为，方程的两个实数根分别为．（6分） 21.【详解】（1）解：设月平均增长率为， ∵9月份销售量为500件，月平均增长率为， ∴11月份销售量为件， 可得方程，（3分） 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为；（4分） （2）解：设售价应降低元，则降价后每件利润为元， ∵原每天销售20件，售价每降低1元每天多售出2件， ∴降价后每天销售量为件， ∵每天获利1200元， ∴可得，（6分） 解得， ∵要尽量减少库存，即销售量尽可能大， ∴取较大值20， 答：售价应降低20元．（8分） 22.【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ，（1分） ， ， 解得．（3分） （2）解：由根与系数的关系，得，，（4分） ， ， ， 解得．（7分） 结合（1）的结论，得， 的整数值为，．（8分） 23.【详解】（1）解： ∴ ， ，， ，．（4分） （2）解：， ， ， ， ∵，， ∴，， 解得，，（6分） 是等腰三角形， 或， 经检验，或都符合三角形的三边关系．（8分） 24.【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入得到； 化简得；（3分） （2）解：关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ， 两边同除得， 移项得， 对比方程可知，当时，等式成立， 的一个实数根为．（5分） 25.【详解】（1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解为，；（4分） （2）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，．（10分） 26.【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得，（满足）， 则这个方程的衍生点的坐标为， 故答案为：．（2分） (2)①∵这个方程根的判别式为， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 因式分解，得， 解得，（满足）， ∴该方程的衍生点的坐标为．（3分） ②∵该方程的衍生点的坐标为， 设衍生点在直线上，则， 解得，， ∴所有衍生点都在同一条直线上，这条直线的解析式为， 故答案为：．（4分） ③∵，， ∴ ，（8分） ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为．（7分） （3）解：直线可化为：， ∴直线的图象经过定点，（8分） 要使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为，， ∴， ∴，，（11分） 故存在，，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，此时，．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 一元二次方程·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、方程未明确，当时不是二次方程，不符合题意； B、方程含两个未知数，不符合一元要求； C、方程只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程，符合要求； D、方程分母含未知数，是分式方程，不符合题意． 2．一元二次方程 的一次项系数和常数项分别是（     ） A．2， B．2，3 C．1，3 D．，3 【答案】D 【详解】解：一元二次方程中， 一次项为， 一次项系数为，常数项为． 3．对于方程，下列说法正确的是（     ） A．方程无实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程的根无法确定 【答案】C 【分析】计算方程的根的判别式，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 4．用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 移项，得． 配方，得．即． 5．某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题中所给的总共发送短信条，直接列出符合题意的一元二次方程． 【详解】解：设参加培训的有人，每人需向其余人各发一条短信，总短信条数为条，由题意得． 6．已知一元二次方程的两根为，则的值为（     ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ． 7．在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 8．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 10．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 11．已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 12．对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断③；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断④． 【详解】解：①若方程的两个根为和1，则， ∴， ∴，即，故①正确； ② ， ∴将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数解， ∴由根与系数的关系可知，原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，故③正确； ④若，则都是关于的一元二次方程的实数根， ∵关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根， ∴是可以存在这种情况的，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需满足， 由解得或又由得， ∴． 14．若关于的一元二次方程（为常数）没有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程没有实数根的条件，列出关于的不等式，求解得到的取值范围，再取范围内任意一个值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， ∵在方程中，，， ∴ 解得， ∴可取该范围内任意一个数，如． 15．若是方程的一个根，则___________． 【答案】 【分析】根据方程根的定义得到满足的等式，对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 整理得， ∴． 16．若一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个三角形的第三边的长度可以是______．（写出一个即可） 【答案】（填大于且小于的实数均正确） 【分析】先解给定的一元二次方程得到三角形两边长，再利用三角形三边关系得到第三边的取值范围，写出范围内任意一个数即可． 【详解】解：整理原方程，得， 移项得， 提取公因式得， 解得：，， 即三角形的两边长为和， 设第三边长为， 由三角形三边关系可得，即，在此范围内任取一个数即可，例如． 17．对于实数a，b，定义运算""：，例如：．如果，那么x的值为________． 【答案】 或 【分析】根据定义新运算的法则，解方程即可． 【详解】解：依题意得， ， ， 或， 解得或． 18．图1是第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，看上去像一个风车，代表着中国人民的热情与好客．小瑞同学发现，把一个平行四边形分割成5块（如图2），按照图3的样式无缝拼接恰好成一个矩形．若矩形的面积为，，则图2中平行四边形的周长为________． 【答案】 【分析】图形拼接前后面积不变，矩形面积等于原平行四边形面积，设短直角边，由得到小矩形的边长，用含的代数式表示出拼接后矩形的长与宽，根据矩形面积列出一元二次方程，求出，再利用勾股定理算出平行四边形两条邻边的长度，最后代入周长公式求得平行四边形周长． 【详解】解，如图，设，则， ， ， ，， ， 矩形的面积为， ， 化简得， ， ， ， ， ，， ，， 平行四边形的周长为． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： 或 解得，． 20．（6分）已知关于x的一元二次方程的两个实数根的绝对值相等，求k的值及方程的两个实数根． 【答案】 的值为，方程的两个实数根分别为，． 【分析】一元二次方程根与系数的关系：如果一元二次方程(的两个根是，那么 ，，反之，如果满足 ，，那么必是方程的两根． 【详解】解：由根与系数的关系可得，， 又∵方程的两个实数根的绝对值相等， ∴或， 由于， 当时，方程为，解得或，不符合两实根的绝对值相等的条件，故， ∴， ∴，解得， 将代入，得，解得． ∴k的值为，方程的两个实数根分别为． 21．（8分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低元 【分析】（1）根据9月、11月销售量及月平均增长率相同的条件，列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取对应解． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， ∵9月份销售量为500件，月平均增长率为， ∴11月份销售量为件， 可得方程， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元，则降价后每件利润为元， ∵原每天销售20件，售价每降低1元每天多售出2件， ∴降价后每天销售量为件， ∵每天获利1200元， ∴可得， 解得， ∵要尽量减少库存，即销售量尽可能大， ∴取较大值20， 答：售价应降低20元． 22．（8分）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根和，且． (1)求的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求的整数值． 【答案】(1) (2)的整数值为， 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，利用判别式大于列不等式求解； （2）利用根与系数的关系得到两根和与两根积，代入已知不等式，结合（1）的取值范围确定整数解． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 解得． （2）解：由根与系数的关系，得，， ， ， ， 解得． 结合（1）的结论，得， 的整数值为，． 23．（8分）阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)若，求、的值； (2)已知，，是的三边长，满足，且是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用完全平方公式得出，根据平方的非负数性质得出，，即可求出、的值； （2）根据，利用完全平方公式得出，根据平方的非负数性质求出，，根据等腰三角形的定义结合三角形的三边关系即可得出答案． 【详解】（1）解： ∴ ， ，， ，． （2）解：， ， ， ， ∵，， ∴，， 解得，， 是等腰三角形， 或， 经检验，或都符合三角形的三边关系． 24．（8分）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程（）有一个实数根为，求方程的一个实数根． 【答案】(1)所求一元二次方程为 (2)方程的一个实数根为 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入得到； 化简得； （2）解：关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ， 两边同除得， 移项得， 对比方程可知，当时，等式成立， 的一个实数根为． 25．（10分）操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (2)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 【答案】(1)，，，，， (2)， 【分析】（1）仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，设，，再仿照例题，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解为，； （2）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，． 26．（12分）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】材料1：定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，（），以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 材料2：解决含参数（如，，等）直线方程过定点问题时，定点坐标与参数数值无关，即无论参数取何值，定点都满足直线方程．如直线可化为，所以直线恒过点． 【初步思考】 (1)请直接写出一元二次方程的衍生点的坐标为_________． 【尝试应用】 (2)关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标． ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，直接写出直线解析式_________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 (3)是否存在、，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上．若有请直接写出、，的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①∵这个方程根的判别式为， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 因式分解，得， 解得，（满足）， ∴该方程的衍生点的坐标为． ②；③； (3)存在，， 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再根据一元二次方程的衍生点的定义即可得； （2）①利用一元二次方程根的判别式即可得证；再利用因式分解法求出方程的解，由此即可得； ②根据这个一元二次方程的衍生点的坐标即可得； ③先求出，再根据可得，由此即可得； （3）先求出直线的图象经过定点，则可得关于的方程的两个根为，，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得，（满足）， 则这个方程的衍生点的坐标为， 故答案为：． （2）解：① 略 ②∵该方程的衍生点的坐标为， 设衍生点在直线上，则， 解得，， ∴所有衍生点都在同一条直线上，这条直线的解析式为， 故答案为：． ③∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． （3）解：直线可化为：， ∴直线的图象经过定点， 要使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为，， ∴， ∴，， 故存在，，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，此时，． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 一元二次方程·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程 的一次项系数和常数项分别是（     ） A．2， B．2，3 C．1，3 D．，3 3．对于方程，下列说法正确的是（     ） A．方程无实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程的根无法确定 4．用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 5．某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．已知一元二次方程的两根为，则的值为（     ） A．2 B． C．8 D． 7．在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 8．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 9．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 11．已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 12．对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 14．若关于的一元二次方程（为常数）没有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 15．若是方程的一个根，则___________． 16．若一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个三角形的第三边的长度可以是______．（写出一个即可） 17．对于实数a，b，定义运算""：，例如：．如果，那么x的值为________． 18．图1是第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，看上去像一个风车，代表着中国人民的热情与好客．小瑞同学发现，把一个平行四边形分割成5块（如图2），按照图3的样式无缝拼接恰好成一个矩形．若矩形的面积为，，则图2中平行四边形的周长为________． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）解方程： (1)； (2)． 20．（6分）已知关于x的一元二次方程的两个实数根的绝对值相等，求k的值及方程的两个实数根． 21．（8分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 22．（8分）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根和，且． (1)求的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求的整数值． 23．（8分）阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)若，求、的值； (2)已知，，是的三边长，满足，且是等腰三角形，求的值． 24．（8分）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程（）有一个实数根为，求方程的一个实数根． 25．（10分）操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (2)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 26．（12分）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】材料1：定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，（），以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 材料2：解决含参数（如，，等）直线方程过定点问题时，定点坐标与参数数值无关，即无论参数取何值，定点都满足直线方程．如直线可化为，所以直线恒过点． 【初步思考】 (1)请直接写出一元二次方程的衍生点的坐标为_________． 【尝试应用】 (2)关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标． ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，直接写出直线解析式_________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 (3)是否存在、，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上．若有请直接写出、，的值；若没有，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $