第二十五章 一元二次方程 单元培优卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版 九上数学 第二十五章 一元二次方程 单元培优卷 考试时间：90分钟　满分：120分　 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A．　　B．　　 C．　　 D． 2. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为（ ） A．2　　B．-2　　C．±2　　D．0 3. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 4. 已知一元二次方程的两个根分别为、，则的值为（ ） A．3　　B．7　　C．-3　　D．-7 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A．　　B．且　　C．　　D．且 6. 已知等腰三角形的两边长分别为一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为（ ） A．8　　B．10　　C．8或10　　D．12 7. 某校建立了一个名为“青春校园”的微信群，群中每个成员都向其他成员发送一条祝贺新年的消息，已知群内共发送了870条消息，设微信群共有x个成员，则所列方程正确的是（ ） A．　　 B．　　 C．　　D． 8. 已知关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A．总有两个不相等的实数根　　B．总有两个相等的实数根 C．总有一个根为-1　 　D．没有实数根 9. 已知实数x满足，则的值为（ ） A．-5或1　　B．-1或5　　C．5　　D．1 10. 在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画四周镶一条宽度相同的金色边框，制成一幅矩形挂图，若整个挂图的面积为，设金色边框的宽度为x cm，则所列方程正确的是（ ） A．　　 B．　　 C．　　D． 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 1. 把一元二次方程化为一般形式是__________，其中一次项系数是__________。 2. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为__________。 3. 方程的根是__________。 4. 设m、n是一元二次方程的两个根，则=__________。 5. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，则道路的宽为__________m。 6. 对于实数p，q，定义运算：，若，则m=__________。 三、解答题（共5题，共66分） 1. 用适当的方法解下列一元二次方程（每小题5分，共20分） （1）　　（2） （3）　　（4） 2. 已知关于x的一元二次方程（10分） （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（5分） （2）若方程的两个根满足，求m的值和此时方程的根。（5分） 3. 为了满足居民的健身需求，某小区计划修建一块面积为900平方米的矩形健身场地，场地的长比宽多10米，求该矩形健身场地的长和宽。（10分） 4. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（12分） （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（8分） （2）求每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最大，最大盈利是多少？（4分） 5. 已知关于x的一元二次方程（14分） （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（6分） （2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值。（8分） 人教版九年级上册数学 第二十五章一元二次方程 单元培优卷 参考答案 一、选择题 1. B　　2. B　　3. A　　4. B　　5. B　　6. B　　7. A　　8. A　　9. C　　10. D 二、填空题 1.；-17 2. 3 3. 4. 5 5. 1 6. 4或-3 三、解答题 1. 解答： （1）因式分解得，解得（5分） （2）移项得，提取公因式得，解得（5分） （3）这里，判别式，由求根公式得，即（5分） （4）移项得，平方差分解得，整理得，解得（5分） 2. 解答： （1）证明：由题意，判别式，（2分） ∵无论m取何实数，，∴，因此无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。（5分） （2）∵x1²-x2²=0，即(x1-x2)(x1+x2)=0，所以要么x1=x2，要么x1+x2=0，x1=x2不可能，所以x1+x2=0，所以-(m+3)=0，得m=-3，（3分） 代入原方程得，解得，（5分） 所以m=-3，根为和。 3. 解答：设矩形健身场地的宽为x米，则长为(x+10)米，（2分） 由题意得，整理得，（4分） 解得，（6分） ∵宽度为正数，∴（米），（8分） 长为（米）， 答：矩形健身场地的长为米，宽为米，约为35.41米和25.41米。（10分） 4. 解答：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得： ，（3分） 整理得，因式分解得，解得，（6分） ∵商场要尽快减少库存，∴降价越多销量越大，因此选择x=20。 答：每件衬衫应降价20元。（8分） （2）设盈利为y元，则，（2分） ∵，∴当x=15时，y取得最大值，最大值为1250。 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最大，最大盈利为1250元。（4分） 5. 解答：（1）证明：判别式，（4分） ∴方程总有两个不相等的实数根，得证。（6分） （2）解：由求根公式得方程的根为，即，（2分） ∵△ABC是等腰三角形，BC=5，∴分两种情况讨论： ①当AB=k=5时，k=5，此时三边长为5，6，5，满足三角形三边关系，符合题意；（3分） ②当AB=k+1=5时，k=4，此时三边长为4，5，5，满足三角形三边关系，符合题意；（3分） 综上，k的值为4或5。 1页 学科网（北京）股份有限公司 $