5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修·第一册~2026~2027学年~5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、教学内容解析 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式。本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第五节《三角恒等变换》。以下是本节的课时安排： 课时内容 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 简单的三角恒等变换 所在位置 教材第215页 教材第225页 新教材 内容 分析 教材首先利用了圆的旋转对称性推导了两角差的余弦公式，在此基础上，推到了两角和的余弦公式、两角和差的正弦、正切公式以及二倍角公式，是一个逻辑推理的过程，也是认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换特点的过程。教材重视对推出公式的理解，应用，重视推导过程所承载的育人功能。 教材通过例题展现三角恒等变换在数学中的应用，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据条件变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学方法的认识，从而进一步理解变换思想，提高学生的推理能力，数学运算素养。 核心素养培养 通过两角和差的公式以及二倍角公式的推导，培养数学抽象的核心素养；通过公式的应用，提升数学运算的核心素养. 通过三角恒等变换，培养数学运算的核心素养。 教学主线 两角差的余弦公式 二、教学目标解析 本节课引导学生从两角差的余弦公式出发，通过诱导公式进行代换与推导，得出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式，进而探索两角和与差的正切公式。学生需准确理解公式中角的意义，明确公式对任意角均成立，并在推导过程中体会三角恒等变换的内在联系与化归思想。 要求学生能够正用、逆用及变形使用上述公式进行简单的求值、化简与证明。在已知单角三角函数值的前提下，能准确选定符号并求出两角和或差的三角函数值。通过公式的正向应用与逆向构造，培养学生观察结构特征、灵活拆分角与组合角的能力，提升逻辑推理与数学运算素养。 三、学情分析 学生在上一节已经掌握了平面向量数量积的坐标表示，并以此推导出了两角差的余弦公式，具备了从几何与代数两个角度研究三角函数的基础。本节课需要在此基础上，推导两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦、正切公式，公式数量明显增多，逻辑链条变长，对学生符号推演和逻辑联想的能力要求较高。 在认知特点上，高一学生已具备一定的抽象思维，但对于多公式间的内在联系往往缺乏整体认识，容易将公式孤立记忆。例如在利用诱导公式由两角和的余弦推导正弦时，学生常对角替换的技巧感到生疏，容易产生畏难情绪。此外，在正切公式的推导中，学生可能忽视分母不能为零的隐含条件，对公式成立的限制范围缺乏自觉反思。 针对上述情况，教学中应着重引导学生体会公式间的逻辑主线，避免死记硬背。可通过设置问题串，让学生自主经历由已知推未知的过程，并在推导环节适时提醒他们关注限制条件，帮助学生构建结构化的公式网络。 本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 四、教学过程 1.复习引入，温故知新（5分钟） 同学们，前几节课我们学习了三角函数的诱导公式，请大家回忆：已知任意角与终边相同的角，它们的同名三角函数值相等。利用这组公式，我们可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数。那么，如果已知两个任意角，能否求出这两个角的和或差的三角函数值呢？ 请大家思考一个具体问题：已知四十五度和三十度都是特殊角，它们的正弦、余弦和正切值我们都能求出。那么，七十五度作为四十五度与三十度的和，它的正弦值是多少？能否直接用四十五度的正弦值加上三十度的正弦值来算？显然不行，因为正弦函数不满足这种简单的加法分配。 这就引出今天要探究的核心问题：两角和与差的三角函数值，与这两个单角的三角函数值之间，究竟存在怎样的关系？我们将从两角差的余弦公式入手，展开推导。 2.公式代换，发现新知（8分钟） 二倍角公式 （1）： （2）： （3）： 注意：1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n∈N*)． 2.二倍角公式的应用： （1）．正用：从条件出发，顺着问题的线索，以“展开”公式的方式使用． （2）．逆用：逆向转换，应用时要求对公式特点有一个整体感知． 主要形式有2sinαcosα＝sin 2α，sinαcosα＝sin 2α，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α等． （3）．二倍角公式变形用：①升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2，1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2. ②降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，(sinα±cosα)2＝1±sin 2α. 【做一做1】已知sin2α＝，α∈，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值． 【解析】∵α∈，，，∴cos2α＝. ∴sin 4α＝2sin2αcos 2α＝2××（）＝， cos 4α＝2cos22α－1＝2×－1＝， ∴tan 4α＝＝. 3.课堂探究，公式证明（12分钟） 两角和与差的余弦公式 【探究1】由公式出发 ， 你能推导出两角和的余弦公式吗？ 【提示】 在公式C(α－β)中，令－β代替β，则有cos(α＋β)＝ cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ. 即cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(C(α＋β)) =．简记作 C（α ＋ β ） ． 【做一做1】求cos 105°的值。 【解析】原式＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝×－×＝. 【探究2】用诱导公式五 （ 或六 ） 可以实现正弦 、 余弦的互化 ． 你能根据 Ｃ （α ＋ β ） ， Ｃ （ α － β ） 及诱导公式五 （ 或六 ）， 推导出用任意角α ， β 的正弦 、 余弦表示 sin （ α ＋ β ）， sin（ α － β ） 的公式吗 ？ 【提示】运用C(α＋β)和诱导公式，有 sin(α＋β)＝cos()＝cos＝coscosβ＋sinsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ. 在公式S(α＋β)中用－β代替β，可以得到sin(α－β)＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ. 4.几何解释，加深理解（5分钟） 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 思考 由公式出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 下面以公式为基础来推导其他公式． 问题2 试比较cos(α－β)和cos(α＋β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？ 例如，比较与．并注意到与之间的联系：，则由公式，有 于是得到了两角和的余弦公式，简记作． ． 这里用到的是加法和减法的联系．也可用换元的观点来考虑：由于公式对于任意，都成立，那么把其中的换成后，也一定成立．由此，也可推得公式． 问题3 : 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式? 探究 上面得到了两角和与差的余弦公式．我们知道，用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化．你能根据，及诱导公式五(或六)，推导出用任意角，的正弦、余弦表示，的公式吗？ 通过推导，可以得到： 注意点： (1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”． (2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序． 你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从，出发，推导出用任意角，的正切表示，的公式吗？ 公式，，给出了任意角，的三角函数值与其和角的三角函数值之间的关系，为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式． 类似地，，，都叫做差角公式． 和(差)角公式中，，都是任意角，如果令为某些特殊角，就能得到许多有用的公式，你能从和(差)角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？ 两角差的余弦公式 1.探究 如果已知任意角，，能由此推出，的正弦、余弦吗？ 下面，我们来探究与角，的正弦、余弦之间的关系． 不妨令． 如图所示,设单位圆与轴的正半轴相交于点,以轴非负半轴为始边作角,它们的终边与单位圆分别相交于点. 问题 1: 你能根据三角函数的定义,写出点坐标吗? 提示:. 问题 2 : 图中弦长吗? 提示: 连接,若把扇形绕着点旋转角,则点分别与重合. 根据圆的旋转对称 性可知,与重合,从而,所以. 问题 3:根据两点间距离公式你能得到吗? 如何推导呢? 提示: 可以. 根据两点间距离公式,得 化简得. 问题 4 : 当时,公式成立吗? 提示: 成立. 结论: 对于任意角有. 此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为. 此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作． 平面上任意两点，间的距离公式不妨令,根据两点间的距离公式，． 化简得：． 当时，容易证明上式仍然成立． 所以，对于任意角，有 ． 【设计意图】 通过开门见山，提出问题，利用坐标法，推导两角差的余弦公式，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养. 2. 公式的记忆. 公式右端为的同名三角函数积,连接符号与左边 角的连接符号相反. 说明: (1) 公式中的都是任意角. (2) 差角的余弦公式不能按分配律展开,即. (3)要正确地识记公式结构, 公式右端的两部分为同 名三角函数积, 左端为两角差的余弦. 3. 公式的变形. (1) 逆用: 公式使用时不仅要会正用, 还要能够逆用, 在很多时 候,逆用更能简捷地处理问题. 如: 由能迅速地想到. (2) 角变换后使用, 如: . 两角和与差的三角函数 上面得到了两角和与差的余弦公式 ． 我们知道 ， 用诱导公式五 （ 或六 ） 可以实现正弦 、 余弦的互化 ． 你能根据 Ｃ （α ＋ β ） ， Ｃ （ α － β ） 及诱导公式五 （ 或六 ）， 推导出用任意角α ， β 的正弦 、 余弦表示 sin （ α ＋ β ）， sin（ α － β ） 的公式吗 ？ 你能根据正切函数与正弦函数 、 余弦函数的关系 ， 从 Ｃ(α ± β ) ， Ｓ( α ± β ) 出发 ， 推导出用任意角 α ， β 的正切表示   tan(α+β)  ，   tan(α−β)  的公式吗 ？ 公式 Ｓ (α ＋ β ) ， Ｃ(α ＋ β ) ， Ｔ(α ＋ β ) 给出了任意角 α ， β 的三角函数值与其和角 α ＋ β 的三角函数值之间的关系 ． 为方便起见 ， 我们把这三个公式都叫做和角公式 ． 类似地 ， Ｓ(α －  β ) ， Ｃ(α －  β ) ， Ｔ(α －  β )都叫做 差角公式 ． 和 （ 差 ） 角公式中 ， α ， β 都是任意角 ． 如果令 α 为某些特殊角 ， 就能得到许多有用的公式 ． 你能从和 （ 差 ） 角公式出发推导出诱导公式吗 ？ 你还能得到哪些等式 由公式 cos(α−β)出发 ， 你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 下面以公式 cos(α−β)为基础来推导其他公式 ． 例如 ， 比较cos(α−β) 与cos(α+β) ，并注意到 α ＋ β 与 α−β之间的联系 ：α+β＝α−（−β）则由公式 cos(α−β)  ， 有cos(α+β)=cos[α−(−β)] ＝cosαcos(−β)+sinαsin(−β) 于是得到了两角和的余弦公式 ， 简记作 C（α ＋ β ） ． cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ． 【设计意图】通过其它和差角公式的推导和应用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养 5.学以致用，迁移内化（8分钟） 例3 已知，是第四象限角，求，，的值． 解：由，是第四象限角，得． 所以． 于是有， ， ． 思考 1: 在本题中,,那么对任意角,此等式成立吗? 若成立,你能否证明? 思考 2 若把条件中的“是第四象限角”去掉,结果 如何呢? 归纳总结: 本题是运用和 (差) 角公式求解的基础题, 解题的关键是根据所在的象限及的值,利用同角 三角函数式求出及的值,再代人相应的和 (差) 角公式求解. 思考 由以上解答可以看到，在本题条件下有．那么对于任意角，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？ 【变式】已知；求的值. 【答案】 【分析】根据，解得，再对进行化简计算即可. 【详解】由， 解得. 所以 . 反思感悟 探究解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式． 例4  利用和(差)角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 分析：和、差角公式把的三角函数式转化成了，的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简． 解：(1)由公式，得． (2)由公式，得． (3)由公式，及．得． 点评 本例体现了对公式的全面理解. (1) 是两角差 的正弦公式的逆用; (2) 是两角和的余弦公式的逆用; (3) 是先用代替式中的 1,再逆用两角和的正切公 式.需要我们牢记各个公式的形式, 以免出现代人错误公 式的情况. 【师生互动】教师指导学生完成例题,并总结解 决问题的方法. 例 1 要注意角所在的象限,确保 符号正确. 例 2 则是和差角公式的逆向应用, 需要让学生牢记各个公式的元素,以免 错用公式,得出错误的结论. 学生分两组板演，尝试求解、答题， 教师适时适当指导,评析. 【变式】下列化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用三角函数的和角公式判断AB，逆用三角函数的和角公式判断CD，从而得解. 【详解】对于A， ，故A正确. 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB 反思感悟 给值求值的解题策略 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． (2）此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围． 例.已知，求的值. 例.在中，求的值 解：由，得 又所以于是 解法1：在中，由得 所以 又，所以 于是 解法2：在中，由得 所以 又，所以 所以 【设计意图】根据课前练习提供的思路，学生自主推导二倍角公式，通过二倍角公式的推导，感受二倍角公式是和角公式的特例，进一步体会从一般化归为特殊的基本数学思想，了解知识之间的内在联系，完善知识结构，培养逻辑推理能力。进行公式的直接运用，加强公式的记忆。教师引领学生完成解答，规范格式这是一道综合题，考查学生综合运用和差公式二倍角公式，以及三角形知识解决问题的能力，本题提供两种解题思路，开拓学生眼界。并且本题计算较多，培养学生运算能力。 1. 已知，，求的值 ． 例 .利用和 （ 差 ） 角公式计算下列各式的值 ： （ １ ）sin72°cos42°－ cos72°sin42° ; （ ２ ） cos20°cos70°－ sin20°sin70° ; （ 3 ）; 解 ： 由，， 得 所以== - 于是有 )= )= 7 分析 ： 和 、 差角公式把 α ± β 的三角函数式转化成了 α ， β 的三角函数式 ． 如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角函数式化简 ． 解 ：（ １ ） 由公式 S（α － β ） ， 得 sin72°cos42°－ cos72°sin42°=Sin(72°－ 42°)=sin30°= cos20°cos70°－ sin20°sin70°= cos(20°+70°)=cos90°=0 （3） 由公式 T（α +β ）及， 得 ==== 【设计意图】通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养 6.巩固运用，深化理解（5分钟） 例１ 利用公式证明： （１）=; （２）=． 例２ 已知，∈(,),，是第三象限角，求的值． 1.证明: (1)=+ =0＋1×=． (2)==+ =(-1)×．＝－． 2.解：由，∈(,),得 又由，是第三象限角，得 所以=+ =() ×()+() ×()= 【设计意图】通过对两角差的余弦公式的运用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养 例5 已知，．求，，的值． 分析：已知条件给出了的正弦函数值．由于是的二倍角，因此可以考虑用倍角公式． “倍”是描达两个数量之间关系的，是的二倍，是的二倍，是的二倍，这里蕴合着换元思想． 解：由，得，又，所以． 于是， ， ． 点评 (1) 本例是直接应用二倍角公式解题, 解题的 关键是由及,求出的值,代人 二倍角公式直接计算即可. (2) 为了保证计算的正确性, 最好使用原始数据, 如选 用公式就是如此. (3) 本题也可以先求出,再用求值. 【变式】已知角的终边在函数的图象上． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意先可以求出，然后根据诱导公式化简待求表达式，分子分母同时除以解决； （2）补上分母，然后同时除以解决. 【详解】（1）由题意得， 所以． （2）． 反思感悟 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式：应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换． (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值． 二、给值求值(角) 例6 在中，，，求的值． 与，之间能构成怎样的关系？ 想一想 1:的三个内角和满足什么关系? 每个 内角的取值范围是什么? 想一想可以看作哪两个角的和? 是哪个 角的二倍角? 分析: 由的值及为三角形的内角,利用同角 三角函数间的基本关系求出的值,进而确定出的值; 利用二倍角的正切公式结合已知的值分别求 出与的值,利用两角和的正切公式将所求 式子化简后, 把各自的值代人即可求出结果. 解法1：在中，由，，得， 所以，． 又，所以． 于是． 解法2：在中，由，，得， 所以，又，所以， 所以． 【变式】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对两边平方，然后利用二倍角公式和诱导公式可得答案. 【详解】由，得， 则. 故选：D. 反思感悟 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解． (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小． 例1.(1)sincos；(2)1－2sin2750°； (3)－；(4)cos 20°cos 40°cos 80°. 【解析】 (1)原式＝＝＝. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝. (3)原式＝＝ ＝()＝＝4. ＝＝ ＝. 【类题通法】1．同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等都可应用于三角函数式的化简．在应用时，应找到化简思路后再动手化简． 2．注意观察式子的特点及角之间的特殊关系，灵活运用二倍角公式解题，通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，创造条件正用或者逆用二倍角公式，使问题得以解决． 【巩固练习1】计算()＝________. 【解析】原式＝()＝()＝() ＝＝＝－4. 7.回顾反思，提高升华（2分钟） 1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧． 2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定． 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 【设计意图】学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $