5.5.1 两角差的余弦公式说课稿-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦两角差的余弦公式，通过复习三角函数定义、单位圆及两点间距离公式导入，提出cos15°=cos(45°-30°)是否等于cos45°-cos30°的问题制造认知冲突，衔接单角到复角的知识跨越，构建三角恒等变换的逻辑起点。 以单位圆旋转对称性和两点间距离公式推导公式，体现数形结合思想，通过问题驱动、小组合作探究培养数学抽象与逻辑推理素养，如推导中引导学生构造图形、建立等式。分层教学与作业设计兼顾全体与个体，助力学生提升数学运算能力，为教师提供清晰教学路径与核心素养培育方案。

《5.5.1 两角差的余弦公式》说课稿 尊敬的各位评委老师： 大家好！我是 06号考生。 今天我说课的题目是人教A版高中数学必修第一册第五章《5.5 三角恒等变换》第一节《5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一课时《两角差的余弦公式》。 下面我将从说教材、说学情、说教法学法、说教学过程、说板书设计五个方面展开我的说课。 一、说教材 1. 教材的地位与作用 两角差的余弦公式是必修第一册第五章“三角恒等变换”5.5.1的第一课时内容，也是整个三角恒等变换板块的逻辑起点。从知识结构图可以看出，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式，几乎都可以由两角差的余弦公式推导得到，因此它在三角恒等变换中具有奠基性地位。 本节是在学生已经学习任意角三角函数的定义、诱导公式、三角函数的图象与性质以及平面向量等知识之后安排的。学生在前面的学习中接触的多是一个角的三角函数问题，而本节开始研究两个角的和与差的三角函数关系，是从“单角”到“复角”的重要跨越。通过本节课的学习，学生不仅能掌握一个重要的三角恒等变换工具，更能体会“以形助数、数形结合”的思想方法，发展直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养。同时，本节内容在高考中常以化简、求值、证明的形式出现，具有较强的工具性和应用性。 2. 教学目标 根据新课标要求和教材特点，结合本课教学设计，我制定了以下教学目标： 1. 经历利用单位圆的旋转对称性和两点间距离公式推导两角差的余弦公式的过程，理解公式的意义和结构特征，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次。 2. 理解两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，体会由特殊到一般、数形结合的思想方法，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次。 3. 能够针对求值、化简、证明等问题，合理运用两角差的余弦公式进行运算，关注角的范围与三角函数值的符号判断，达到数学运算核心素养学业质量水平二的层次。 4. 通过小组合作探究和自主推导，提升学生分析问题、解决问题的能力，培养主动建构知识的意识和数学表达与交流的能力。 以上四个维度相互融合、相互渗透，共同指向“直观想象”“数学抽象”“逻辑推理”“数学运算”等核心素养的培育。 3. 教学重难点 重点：两角差的余弦公式的推导过程及其初步应用。 难点：两角差的余弦公式的推导过程，特别是如何借助单位圆构造相关点、利用旋转对称性建立等量关系，以及公式中“同名积相加、符号看左边”的结构理解。 二、说学情 1. 知识基础 对学生而言，前面已经学习了任意角三角函数的定义、三角函数的诱导公式、三角函数的图象与性质，掌握了单位圆中角的终边与三角函数值之间的对应关系，也熟悉了两点间的距离公式。这些知识为本节课利用单位圆推导两角差的余弦公式奠定了坚实的基础。 2. 认知特点 高一学生已经具备一定的观察、类比和运算能力，对探究性问题有较高的参与热情，但认知上也存在以下困难：一是受“分配律”思维定势的影响，学生容易错误地猜想 ，需要通过具体的反例制造认知冲突；二是公式的推导过程综合运用了单位圆、旋转对称性和两点间距离公式，对学生的数形结合能力和逻辑推理能力要求较高；三是公式应用时，需要根据角的范围判断三角函数值的正负符号，学生在这方面容易出现符号错误。教师需引导学生经历“问题引入→数形探究→公式推导→应用深化”的认知过程，完成从直观感知到形式化推理的思维跨越。 三、说教法学法 基于学情分析，我采用以下教法与学法： 教法方面： 第一，问题驱动法。直接引用教材中的问题情境：我们知道 ， 那么 ？通过计算发现猜想错误，从而制造认知冲突，激发学生探究两角差余弦公式的强烈欲望。 第二，启发式与多媒体结合法。借助几何画板或PPT课件动态演示单位圆中角 α、β、α−β 的终边位置，以及圆的旋转对称性，使“等弧所对弦相等”这一几何关系变得直观可见，帮助学生突破推导难点；同时向学生展示公式推导的严谨之美，渗透数学美育。 第三，分层教学法。贯彻启发性原则，体现教师主导、学生主体，做到提问分层、评价分层、练习分层，既关注全体学生的基础落实，又为学有余力的学生提供拓展空间，充分调动不同层次学生的学习积极性。 学法方面： 引导学生采用自主探究与合作交流相结合的方式。在公式形成环节，让学生分组讨论如何在单位圆中表示相关点的坐标，如何利用旋转对称性建立等量关系，由小组代表展示推导思路，培养观察、分析与表达能力；在公式应用环节，学生独立思考、自主完成例题和练习，通过板演暴露思维过程，教师及时点评纠错，发展逻辑推理与数学运算素养；每个环节结束后，学生参与归纳方法与步骤，主动建构三角恒等变换的知识体系。 四、说教学过程 这是本节课的核心。下面我将重点阐述教学过程，本节课我设计了 5 个教学环节： 环节一：复习引入，制造认知冲突 首先，我将带领学生复习三角函数的定义、单位圆以及两点间的距离公式，为后续推导做好知识准备。接着，我提出第一个问题：我们知道 cos45°=√2/2，cos30°=√3/2，那么 cos15°=cos(45°−30°) 等于多少？大家能否猜想它等于 cos45°−cos30°？ 环节二：探究新知，推导公式 这是本节课的核心环节，我将分三步引导学生完成公式的推导。 第一步，构造图形。教师提出问题：如何在单位圆中表示角 α、β 以及 α−β 的终边？终边与单位圆的交点坐标分别是什么？学生通过小组合作，在单位圆中描出点 以及 ，并尝试画出弦 与 。 第二步，建立等式。教师利用多媒体演示：将单位圆绕圆心旋转任意角后仍与原图形重合，即圆具有旋转对称性，因此等弧所对的弦相等，有 。我适时提出第三个问题：能否用两点间距离公式分别表示弦 和 的长度？学生在教师引导下完成如下运算： 由 ，化简整理即可得到 。 第三步，完善条件。教师组织学生进行小组讨论：上述推导是在 的条件下完成的，当 时，公式是否仍然成立？学生通过直接代入验证，发现公式依然成立，从而说明公式对任意角 α、β 均成立。最后教师强调公式的结构特征：“余弦差角公式，同名积相加，符号看左边”，帮助学生快速记忆。 环节三：初步应用，深化理解 这是知识内化的第一个层次。 例1：利用公式 C(α−β) 证明： 1. 2. 学生独立思考、自主完成证明，并安排两位学生上台板演。教师对学生的书写规范性进行点评，并引导学生发现：例1的结论实际上是诱导公式的另一种证明方式，体现了新公式与旧知识之间的内在联系，有助于学生构建完整的知识结构。之后学生完成教材第217页练习第1题，巩固公式的正用。 环节四：典型例题，巩固提升 这是知识内化的第二个层次，重点培养学生“知三求一”和符号判断的能力。 例2：已知 ，β 是第三象限角，求 的值。 师生共同分析解题思路：要求 ，需要知道 四个量，其中和 已知，还需利用同角三角函数基本关系求出 和 ，并注意根据角的象限确定正负号。 学生独立完成计算后，教师板书规范步骤，并强调“先定角、再定名、后定号”的解题习惯。之后学生完成教材第217页练习第3题，通过变式训练提升运算能力。 环节五：归纳小结，布置作业 这是知识系统化的环节。归纳小结围绕三个方面展开：①公式的推导思路——如何利用单位圆的旋转对称性和两点间距离公式建立等量关系；②公式的结构特征——“同名积相加，符号看左边”；③公式的应用注意——关注角的范围、函数值的符号以及公式的正用与逆用。学生相互交流本节课的收获与体会，教师进行适时补充。 作业布置：必做题——教材第217页练习第2、4题，教材第228页习题5.5第1、2题；选做题——教材第217页练习第5题。通过分层作业使学生对所学内容得到巩固，并为有余力的学生提供进一步探究的机会。 五、说板书设计 我的板书力求简洁清晰、重点突出，便于学生笔记和课后复习。 总之，我希望通过本节课的教学，学生收获的不仅是两角差的余弦公式这一重要的运算工具，更是对“以形助数、数形结合”这一数学思想方法的深刻体验，以及用联系的观点研究三角函数问题的能力。我的说课到此结束，感谢各位评委老师的聆听！ 学科网（北京）股份有限公司 $