5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修第一册--5.4.1正弦函数、余弦函数的图象_2026-2027学年 一、教学内容解析 正弦余弦函数的图像是2019版新人教A版必修第一册第五章第四节的内容，在学习这些知识前,学生对一次函数和二次函数等的画法有了一定的认识，因此本节课的重点是学会画正弦和余弦函数的图像。 本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第四节《三角函数的图象与性质》。以下是本节的课时安排： 课时内容 正弦函数、余弦函数的图象 正弦函数、余弦函数的性质 正切函数的图象与性质 所在位置 教材第196页 教材第201页 教材第209页 新教材 内容 分析 对于画正弦函数的图象，教材突出了单位圆的作用，充分利用了三角函数周期性的特点，从画函数图象上任一点出发，明确作图的原理，再画出具有代表性的点，初步感受图象的特点，最后画出足够多的点，得到对正弦图象的直观认识。借助已知的直线函数图象来画余弦函数的图象，加强了两者的联系，体现了化归思想。 借助对图象特征的观察获取函数的性质是一个基本方法。教材通过探究，引导学生明确三角函数性质的研究内容，选择适当的研究方法。 教材首先通过诱导公式，先从代数的角度获得正切函数的周期性与奇偶性，将正切函数在整个定义域内的性质归结为区间 上的图象与性质，利用正切函数的定义，可以得到正切函数值的变化趋势，从而确定函数的单调性，体现了数形结合的思想。 核心素养培养 通过正弦余弦函数的图象及应用，提升直观想象的核心素养. 通过图象，引导学生探究正弦、余弦函数的性质，培养直观想象的核心素养。 通过图象，引导学生探究正切函数的性质，培养直观想象的核心素养。 教学主线 三角函数的图象 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.1正弦函数、 余弦函数的图像。本节的主要内容是正弦函数的图象，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、 指数函数和对数函数等，此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦 函数y=sinx的图象，为今后正弦函数的性质、余弦函数、正切函数的图象与性质，函数y=Asin(ωx+φ) 的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。发展学 生数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。 二、教学目标解析 学生能借助单位圆中的正弦函数定义，说出任意角终边与单位圆交点的纵坐标即为正弦值，理解利用平移交点纵坐标来描点作图的原理，掌握正弦函数图象即正弦曲线的几何画法。 学生能观察正弦曲线的形状特征，记住正弦函数图象在零到二π区间上的五个关键点的坐标，掌握用五点法画出正弦函数简图的操作步骤，并能在理解正弦曲线特征的基础上，利用诱导公式中正弦与余弦的转化关系，画出余弦函数的简图。 在描点与作图的过程中，学生体会数形结合与化归思想，经历从图形直观到代数描点再到整体图象的认知过程，提升直观想象与逻辑推理素养。 三、学情分析 本节的主要内容是正弦函数的图象，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等 此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦 函数y=sinx的图象，为今后正弦函数的性质、余弦函数、正切函数的图象与性质，函数y=Asin(ωx+φ) 的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。 四、教学过程 1.复习引入，温故知新（5分钟） 同学们，我们在前面已经学习了任意角的三角函数，知道任意角的正弦和余弦本质上都是实数。既然是函数，按照我们研究指数函数和对数函数的经验，接下来自然需要研究它们的图象与性质。那么，正弦函数和余弦函数的图象到底长什么样呢？ 在画图之前，我们需要先明确一个关键问题：如何精确地在坐标系中描出某个角对应的正弦值？大家回忆一下三角函数的定义，在直角坐标系中，以原点为圆心作一个半径为长度单位的圆。对于任意一个角，设它的终边与这个圆的交点横坐标就是该角的余弦值，而该交点的纵坐标就是该角的正弦值。 这就意味着，单位圆上点的纵坐标能直观地反映出正弦函数值随角度变化的情况。今天，我们就借助这个几何特征，用物理实验中常见的描点法，把正弦函数的图象先在一个周期内精准地绘制出来，然后再顺势得到余弦函数的图象。请大家准备好直尺，我们开始探究。 2.公式代换，发现新知（8分钟） 五点法画余弦函数的图像 问题:由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数．你能利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象吗？ 师生活动:学生先用排除法观察诱导公式，选择简洁的公式，作为正弦函数、余弦函数关系 研究的依据.教师引导学生通过比较进行选择.从数的角度看，对于函数， 由诱导公式得，∈R． 追问1：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？ 师生活动:函数∈R 的图象可以通过正弦函数，∈R 的图象向左平移个单位长度而得到．将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图5.4.5 所示． 知识梳理：余弦函数，∈R的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线． 追问2：你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗？ 师生活动：这是教学的难点，教师要首先进行示范.教师可以先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析.得到图象之后还可以再利用图象进行验证. 设(）是函数图象上任意一点，则有==sin. 令=，则，即在函数图象上有对应点（，）. 比较两个点：（，）与（，）.因为=即=-. 所以点（，）可以看做是点（，）向左平移个单位得到的，只要将函数图象上的点向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，如图5.4.5 所示． 知识梳理：余弦函数，∈R的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线． 设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象；增强对两 个函数图象之间的联系性的认识. 问题:类似于用“五点法”画正弦函数的图象，你能找出余弦函数在区间［－π，π］上相应的五个关键点吗？可以画出，∈［－π，π］的简图吗? 师生活动:画余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)． 用光滑曲线顺次连接这五个点，得到余弦曲线的简图． 设计意图：观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法”． 3.课堂探究，公式证明（12分钟） 五点法画正弦函数的图像 问题:在［0,2π］上任取一个值，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值并画出点T（，）？ 师生活动:方法1：一起作图探讨，如图5.4.1，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A（１，0）．在单位圆上，将点A绕着点O旋转弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T（，）. 追问：如何科学地将单位圆上每一点对应的图像画出？ 师生活动:若把x轴上从0到２π这一段分成12等份，使的值分别为,,，… ，2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T（，）的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点（图5.4.2）． 方法2：利用信息技术，可使在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的点T（，）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数，∈［0,2π］的图象. 设计意图：通过正弦函数的定义，得到点的坐标，通过分析点的坐标的几何意义，准确描点.进一步熟悉，描点连线成图，即点动成线的作图过程. 问题:根据函数，∈［0,2π］的图象，你能想象函数，∈R 的图象吗？ 师生活动:由诱导公式一可知，函数，∈ ［２kπ，２（k＋１）π ］ ，k∈Z且k≠０的图象与，∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数，∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数，∈R的图象（图5.4.4）． 知识梳理：正弦函数的图象叫做正弦曲线（sinecueve），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线． 追问：确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？ 师生活动:观察图5.4.3，在函数，∈［0,2π］的图象上，以下五个点： 在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数数，∈［0,2π］的图象形状就基本确定了． 知识梳理：在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．这种作图方法近似地称为“五点（画图）法”，今后作简图是非常实用的． 设计意图：观察函数图象，概括其特征，获得“五点法”画图的简便画法. 4.几何解释，加深理解（5分钟） 正弦函数的图像 1．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y＝sinx(x∈R)和余弦函数y＝cosx(x∈R)的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． (2)图象：如图所示． 2．“五点法”画图 步骤：(1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 cos x 1 0 －1 0 1 (2)描点：画正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．； (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图． 3．正、余弦曲线的联系 依据诱导公式cosx＝sin，要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移个单位长度即可． 【设计意图】通过对正弦函数图像的分析，归纳总结五点作图法，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过对正弦函数图像，推导出余弦函数图像的方法，发展学生，逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过探究让学生获得五点法作图的简便画法，提升直观想象的核心素养。 【思考1】根据函数，∈［0,2π］的图象，你能作出函数，∈R 的图象吗？ 【提示】由诱导公式一可知，函数，∈ ［２kπ，２（k＋１）π ］ ，k∈Z且k≠０的图象与，∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数，∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数，∈R的图象。 正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线． 【思考2】在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？ 【提示】 观察图，在函数，∈［0,2π］的图象上，以下五个点： 【思考3】你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？ 【提示】对于函数， 由诱导公式得，∈R ． 而函数∈R 的图象可以通过正弦函数，∈R 的图象向左平移个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象 5.学以致用，迁移内化（8分钟） 例 用“五点法”作出下列函数的简图． y＝-cosx，x∈[0,2π]. 【精彩点拨】 在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可． 列表： x 0 π π 2π cos x 1 0 －1 0 1 -cos x -1 0 1 0 -1 描点连线，如图 你能利用函数y＝cosx，x∈[0,2π] 图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝-cosx，x∈[0,2π] 的图象？ 方法与规律 1．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点与x轴的交点． 2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点． 【设计意图】通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养 1.画出函数y＝|sinx|，x∈R的简图． 【答案】见解析． 【解析】按三个关键点列表： x 0 π sin x 0 1 0 y ＝|sin x | 0 1 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图3)． 图3 2. 在给定的直角坐标系如图4中，作出函数f(x)＝cos(2x＋)在区间[0，π]上的图象． 【解析】列表取点如下： x 0 π 2 x ＋ π 2π f ( x ) 1 0 － 0 1 描点连线作出函数f(x)＝cos(2x＋)在区间[0，π]上的图象如图5所示． 图4                                               图5 6.巩固运用，深化理解（5分钟） 例画出下列函数的简图 y＝1＋sinx，x∈[0,2π]； 【答案】见解析 【解析】(1)按五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋sin x 1 2 1 0 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1)． 图1 1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sinx或y＝cosx的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点. 2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换. (1)，；(2)，． (2) 按五个关键点列表: 【变式】 用“五点法”画出函数y＝＋sinx，x∈[0，2π]的简图． 【知识点】y=Asinx+B的图象、五点法画正弦函数的图象 【分析】由于正弦函数的周期是，取一个周期内的五个关键点，即令，分别将五个点的横坐标代入中，求出对应的纵坐标的值，列出表格，然后描点连线即可画出函数简图. 【详解】（1）取值列表如下： x 0 π 0 1 0 －1 0 （2）描点、连线，如图所示． 【点睛】本题考查了用五点法画三角函数简图问题，考查了数学运算能力和画图能力，属于一般题目. 思考: 你能利用函数，的图象，通过图象变换得到图象吗?同样地，利用函数，的图象，通过怎样的图象变换就能得到函数，的图象? 7.回顾反思，提高升华（2分钟） 1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线. 2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法. 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧教师补充 【设计意图】学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $